摘要：輔助線的有效應(yīng)用可以幫助學(xué)生更好地學(xué)習(xí)幾何知識(shí)，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力，落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng).文章將闡述輔助線的具體內(nèi)容，分析初中數(shù)學(xué)中輔助線應(yīng)用中存在的問(wèn)題，提出促進(jìn)初中數(shù)學(xué)中輔助線應(yīng)用的有效路徑.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；輔助線；有效路徑

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2023）08-0011-03

輔助線應(yīng)用是幾何教學(xué)的重點(diǎn)與線索，可以培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維、邏輯推理能力和空間想象能力，從而對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)產(chǎn)生積極的學(xué)習(xí)意義.伴隨新課改的逐漸推進(jìn)，初中數(shù)學(xué)教學(xué)的側(cè)重點(diǎn)不是在普通的知識(shí)傳遞上，而是在學(xué)生能力培養(yǎng)的層面上.因此，促進(jìn)初中數(shù)學(xué)中輔助線應(yīng)用的教學(xué)，可以加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的思維訓(xùn)練和能力培養(yǎng)［1］.

1輔助線的具體內(nèi)容

1.1輔助線的含義

輔助線的基礎(chǔ)含義是指學(xué)生在解答數(shù)學(xué)幾何問(wèn)題時(shí)，基于原圖所作的具有解題價(jià)值的直線或線段.在作輔助線時(shí)，學(xué)生需要遵守以下原則：首先，需要秉承“集合”的原則，即將題目和圖形中分散的幾何元素轉(zhuǎn)化為集中的幾何元素，比如說(shuō)在關(guān)于三角形的問(wèn)題中可以將分散的幾何元素集中于一個(gè)三角形或兩個(gè)全等的三角形之中，以便于應(yīng)用其他定理完成證明［2］；其次，需要堅(jiān)持“化繁為簡(jiǎn)”的原則，即面對(duì)不規(guī)則的圖形時(shí)需要第一時(shí)間想到通過(guò)輔助線將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圖形，面對(duì)復(fù)雜的圖形時(shí)需要第一時(shí)間通過(guò)輔助線將其轉(zhuǎn)化為清晰可見的簡(jiǎn)單圖形；最后，應(yīng)當(dāng)注重虛實(shí)線的結(jié)合，即在平面幾何問(wèn)題中用虛線表示輔助線.在立體幾何中用虛線表示看不見的輔助線，用實(shí)線表示看得見的輔助線.

1.2輔助線的數(shù)學(xué)作用

1.2.1挖掘隱含的性質(zhì)或條件

輔助線在數(shù)學(xué)題型中的具體作用之一是為學(xué)生挖掘隱含的幾何性質(zhì)或條件等.即在題目條件與結(jié)論之間關(guān)系不明晰時(shí)，學(xué)生可以透過(guò)合適的輔助線發(fā)現(xiàn)隱藏的圖形性質(zhì)或其他已知條件，從而獲得過(guò)渡性的推論，最終得出正確結(jié)論.

1.2.2集中分散的幾何因素

輔助線在數(shù)學(xué)題型中的具體作用之二是為學(xué)生集合分散的幾何因素.即通過(guò)輔助線的應(yīng)用將圖形中分散、遠(yuǎn)離的幾何因素轉(zhuǎn)化為集中呈現(xiàn)的幾何因素，為題設(shè)條件和結(jié)論之間構(gòu)建合理的邏輯關(guān)系，從而得出正確結(jié)論.

1.2.3化復(fù)雜為簡(jiǎn)單

輔助線在數(shù)學(xué)題型中的具體作用之三是為學(xué)生化繁為簡(jiǎn).即通過(guò)輔助線的設(shè)計(jì)將復(fù)雜的圖形通過(guò)拆解分為若干個(gè)簡(jiǎn)單的圖形呈現(xiàn)出來(lái)，從而化復(fù)雜為簡(jiǎn)單、化難為易.

1.2.4發(fā)掘特殊點(diǎn)、線

輔助線在數(shù)學(xué)題型中的具體作用之四是為學(xué)生發(fā)掘特殊的點(diǎn)和線的數(shù)學(xué)價(jià)值.即通過(guò)輔助線的設(shè)計(jì)將特殊的點(diǎn)、線或圖形性質(zhì)等呈現(xiàn)至學(xué)生面前，驅(qū)使學(xué)生基于這些特殊點(diǎn)、線的作用推導(dǎo)條件與結(jié)論的深層邏輯，最終完成結(jié)論推導(dǎo).

1.2.5構(gòu)造新圖形

輔助線在數(shù)學(xué)題型中的具體作用之五是為學(xué)生在原圖的基礎(chǔ)上構(gòu)造新圖形.由于部分特殊題型的存在，學(xué)生需要應(yīng)用輔助線在原圖基礎(chǔ)上構(gòu)造新圖形，并借助該圖形完成條件與結(jié)論的聯(lián)系，從而完成結(jié)論導(dǎo)出.

1.3輔助線應(yīng)用的教學(xué)意義

1.3.1促進(jìn)新課改的深入推進(jìn)

新課改已明確提出，教師在進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，需要注重增強(qiáng)學(xué)生的幾何直觀意識(shí)和提高學(xué)生的幾何推理能力.而輔助線應(yīng)用在實(shí)際學(xué)習(xí)中將有助于培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維、邏輯推理思維和空間想象能力.因此，輔助線應(yīng)用的優(yōu)化教學(xué)將有利于促進(jìn)新課改這部分內(nèi)容的深入推進(jìn)，落實(shí)以學(xué)生的發(fā)展為本的教育原則.

1.3.2提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力

綜合輔助線具體的數(shù)學(xué)作用，輔助線應(yīng)用可以幫助學(xué)生提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力.具體來(lái)說(shuō)，輔助線應(yīng)用可以挖掘圖形中的潛在信息，以此可以培養(yǎng)學(xué)生的思考能力、推理能力和空間想象能力；輔助線應(yīng)用還可以通過(guò)信息整合幫助學(xué)生提高信息整合能力、數(shù)據(jù)分析能力和空間想象能力；輔助線應(yīng)用還可以通過(guò)化繁為簡(jiǎn)、化難為易等降低學(xué)習(xí)難度，幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心；輔助線的應(yīng)用還可以幫助學(xué)生提高知識(shí)應(yīng)用能力，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思維拓展與能力訓(xùn)練.

2初中數(shù)學(xué)中輔助線應(yīng)用中存在的問(wèn)題

2.1缺乏系統(tǒng)性學(xué)習(xí)

從當(dāng)前初中數(shù)學(xué)的教學(xué)現(xiàn)狀來(lái)看，教師關(guān)于輔助線應(yīng)用的教學(xué)雖有開展，但缺乏系統(tǒng)性.在實(shí)際的初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，輔助線應(yīng)用的教學(xué)常常伴隨著平面幾何或空間幾何的題目教學(xué)而展開，導(dǎo)致學(xué)生在實(shí)際的學(xué)習(xí)中缺乏對(duì)輔助線應(yīng)用的系統(tǒng)性學(xué)習(xí)，從而不利于學(xué)生完成相應(yīng)的知識(shí)遷移，繼而不能靈活運(yùn)用輔助線展開另一類題型的分析與解答.

2.2缺乏深入的概念學(xué)習(xí)

從當(dāng)前初中數(shù)學(xué)的教學(xué)現(xiàn)狀來(lái)看，教師關(guān)于輔助線應(yīng)用的教學(xué)雖有開展，但由于缺乏專題性教學(xué)，輔助線應(yīng)用的教學(xué)往往不能引起學(xué)生深入的概念學(xué)習(xí).而缺乏深入的概念學(xué)習(xí)，會(huì)導(dǎo)致學(xué)生對(duì)于輔助線的認(rèn)識(shí)與理解僅僅停留在基礎(chǔ)淺薄的層面，從而影響了學(xué)生對(duì)輔助線的實(shí)際應(yīng)用，不利于促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，也不利于培養(yǎng)學(xué)生的知識(shí)應(yīng)用能力.

3促進(jìn)初中數(shù)學(xué)中輔助線應(yīng)用的有效路徑

3.1設(shè)計(jì)專題教學(xué)

初中數(shù)學(xué)教師可以以“輔助線應(yīng)用”為專題設(shè)計(jì)并開展相應(yīng)的教學(xué)專題，通過(guò)系統(tǒng)性的專題學(xué)習(xí)深化學(xué)生對(duì)于輔助線的概念認(rèn)識(shí)與應(yīng)用.例如，教師可以通過(guò)網(wǎng)絡(luò)查詢、題型分析和教師之間的交流等完善一套“輔助線應(yīng)用”的教學(xué)方案，并以此方案落實(shí)具體教學(xué)［3］.

教師可以根據(jù)三角形、平行四邊形、梯形和圓的分類方式設(shè)計(jì)對(duì)應(yīng)的教學(xué)策略.

首先，關(guān)于三角形的題型，大致包含三種作輔助線的思路.

“中線思路”，如果實(shí)際題型中涉及三角形中線，常常將中線加倍；而無(wú)中線時(shí)通常會(huì)出現(xiàn)中點(diǎn)的概念，學(xué)生應(yīng)該就著中線思路繪制三角形的中位線作為輔助線完成后續(xù)條件的證明與推理，從而化繁為簡(jiǎn)、化難為易，解決問(wèn)題.

“平分線思路”，如果實(shí)際題型中涉及角平分線，學(xué)生常常遵循平分線思路，以角平分線為對(duì)稱軸并利用角平分線自身的特點(diǎn)與性質(zhì)聯(lián)系題中已知條件構(gòu)造出全等三角形，從而利用全等三角形的性質(zhì)與相關(guān)知識(shí)完成問(wèn)題解答.

“等線段思路”，如果實(shí)際遇到的題型中提到“兩線段相等”的結(jié)論，學(xué)生應(yīng)當(dāng)作輔助線以構(gòu)成全等三角形或角平分線段等并利用對(duì)應(yīng)的定理以豐富自身思路，完成后續(xù)解答.

其次，關(guān)于平行四邊形的問(wèn)題，大致包括五種作輔助線的思路.

在開展該小專題的部分教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)當(dāng)在教學(xué)開始之初為學(xué)生闡明矩形、正方形、菱形與平行四邊形的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上共同講解并分析這些圖形關(guān)于兩組對(duì)邊、對(duì)角和對(duì)角線的相同性質(zhì)，提供大致的作輔助線的統(tǒng)一思路［4］.

在完成大致思路的概述后，教師就可以以此展開具體的思路分析.

第一，“對(duì)角線”原則.學(xué)生在遇到平行四邊形問(wèn)題時(shí)可以先考慮“對(duì)角線”原則，通過(guò)連成對(duì)角線或平移對(duì)角線將平行四邊形分成兩個(gè)三角形，從而完成化繁為簡(jiǎn)的作輔助線工作，完成最終的問(wèn)題解答.

第二，“直角”原則.學(xué)生可以按照方法順序考慮直角原則，過(guò)某一頂點(diǎn)作對(duì)邊垂線為輔助線，以此構(gòu)建平行四邊形中的直角三角形.

第三，構(gòu)建線段關(guān)系.比如說(shuō)連接對(duì)角線的交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)或過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)作與一邊形成平行關(guān)系的平行線，從而構(gòu)成線段平行或中位線關(guān)系，促進(jìn)問(wèn)題解答.

第四，構(gòu)造三角形相似或等積關(guān)系.如連接頂點(diǎn)與對(duì)邊上一點(diǎn)的線段或延長(zhǎng)為輔助線，從而促進(jìn)相似三角形或等積三角形的構(gòu)成，最終完成解答.

第五，過(guò)頂點(diǎn)作對(duì)角線的垂線為輔助線，以此構(gòu)造平行四邊形中的線段平行關(guān)系或全等三角形的關(guān)系.

關(guān)于梯形這一特殊四邊形的題型思路分析，基于梯形的特點(diǎn)和性質(zhì)，教師可以通過(guò)綜合平行四邊形和三角形題型的思路概括引導(dǎo)學(xué)生將梯形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為上述的平行四邊形問(wèn)題或三角形問(wèn)題，從而促進(jìn)問(wèn)題的實(shí)際解決.具體而言，學(xué)生可以在梯形內(nèi)部、梯形外部通過(guò)平移一條腰、兩條腰或延長(zhǎng)兩腰轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的三角形或平行四邊形的問(wèn)題；此外還可以通過(guò)以梯形上底的兩端點(diǎn)向下底作高為輔助線、平移對(duì)角線而形成輔助線等構(gòu)成等線段或其他關(guān)系；還可以通過(guò)連接梯形的一個(gè)頂點(diǎn)以及一條腰的中點(diǎn)或過(guò)一條腰中點(diǎn)作另一條腰的平行線、中位線等.

最后一個(gè)小專題是關(guān)于圓形的題型.由于圓形自身的特殊性以及其與其他圖形的分離性，圓形問(wèn)題的處理往往需要借助輔助線的應(yīng)用以構(gòu)建其與其他圖形之間的關(guān)系，從而促進(jìn)問(wèn)題的推進(jìn)與證明.關(guān)于圓形題型的解答，教師亦可以分為以下五個(gè)思路供學(xué)生思考：通過(guò)弦作弦心距為輔助線并利用垂徑平分定理構(gòu)成題目已知條件與求證結(jié)論之間的聯(lián)系；通過(guò)直徑作輔助線為圓周角并利用“直徑所對(duì)的圓周角是直角”的性質(zhì)完成問(wèn)題證明；通過(guò)連結(jié)切點(diǎn)的半徑為輔助線并利用“切線與半徑垂直”的性質(zhì)推進(jìn)結(jié)論證明；作兩圓形的公切線或連心線，聯(lián)系與圓相關(guān)的角的關(guān)系，從而厘清題目已知條件與結(jié)論之間的邏輯關(guān)系；構(gòu)建兩個(gè)相交圓的公共弦，通過(guò)公共弦聯(lián)系兩個(gè)圓形或兩圓之中的圓周角或圓心角的關(guān)系.

在“輔助線應(yīng)用”總結(jié)性專題教學(xué)的最后，教師應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)學(xué)生在運(yùn)用上述原則或思路時(shí)要注重靈活性原則.

3.2引入多媒體教學(xué)

為促進(jìn)初中數(shù)學(xué)輔助線的應(yīng)用，初中數(shù)學(xué)教師可以在系統(tǒng)性的輔助線應(yīng)用專題教學(xué)中借助

信息技術(shù)的特點(diǎn)與優(yōu)勢(shì)，以此豐富課堂教學(xué)的趣味性，提高輔助線應(yīng)用專題教學(xué)的直觀性和形象性，從而提高該專題教學(xué)的效率和質(zhì)量.

教師可以通過(guò)計(jì)算機(jī)技術(shù)的便利在課上幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)不同作輔助線的方法，促使學(xué)生在不斷試錯(cuò)中積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，從而加深學(xué)習(xí)印象.

此外，教師還可以應(yīng)用計(jì)算機(jī)技術(shù)的精確性和靈活性為學(xué)生設(shè)計(jì)專門的電子筆記，為學(xué)生反復(fù)思考與驗(yàn)證提供便利，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率和質(zhì)量.

綜上，為促進(jìn)初中數(shù)學(xué)輔助線的應(yīng)用，初中數(shù)學(xué)教師可以通過(guò)設(shè)計(jì)關(guān)于輔助線應(yīng)用的專題教學(xué)以提高輔助線應(yīng)用的學(xué)習(xí)系統(tǒng)性，通過(guò)引入多媒體，借助信息技術(shù)優(yōu)勢(shì)提高輔助線應(yīng)用課堂教學(xué)的趣味性、直觀性和形象性，從而借助輔助線應(yīng)用這一數(shù)學(xué)方法促進(jìn)學(xué)生的思維培養(yǎng)與能力發(fā)展.

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［責(zé)任編輯：李璟］

收稿日期：2022-12-15

作者簡(jiǎn)介：李麗（1984.1-），女，福建省武夷山人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.