摘要：在現(xiàn)行教育模式下，中學(xué)數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)不論在知識(shí)體系、教育理念還是思想方法上都有著很大的差異。如何有效地進(jìn)行兩者之間的銜接，是擺在數(shù)學(xué)教育者面前的一個(gè)難題。對(duì)此，從尺規(guī)作圖這一經(jīng)典問(wèn)題出發(fā)，重溫其提出、發(fā)展到徹底解決的波瀾壯闊的歷史，展示其與中學(xué)數(shù)學(xué)中的幾何、代數(shù)乃至分析等分支的聯(lián)系，揭示其在中學(xué)數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)之間的紐帶作用，以期給中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)帶來(lái)一些啟發(fā)。

關(guān)鍵詞：中學(xué)數(shù)學(xué)；大學(xué)數(shù)學(xué)；尺規(guī)作圖；數(shù)域；數(shù)學(xué)史

一、引言

不知道從什么時(shí)候開(kāi)始，中學(xué)數(shù)學(xué)和大學(xué)數(shù)學(xué)有了一道溝壑，這道溝壑也“與時(shí)俱進(jìn)”越來(lái)越大。盡管有人試圖填補(bǔ)這道溝壑，把一些大學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容放到中學(xué)數(shù)學(xué)教材中，但是從結(jié)果（大學(xué)新生的基本功和邏輯思維能力）來(lái)看，效果微乎其微。一方面，很多學(xué)生失去了求知的欲望，對(duì)新的數(shù)學(xué)理論不求甚解、懶于思考；另一方面，想思考的學(xué)生面對(duì)越來(lái)越多的數(shù)學(xué)概念、越來(lái)越復(fù)雜的數(shù)學(xué)理論，往往不得要領(lǐng)，不知道從何入手，理不清數(shù)學(xué)理論的脈絡(luò)，從而很難形成更深刻的理解。

正所謂“冰凍三尺非一日之寒”，不管是求知欲的喪失還是邏輯思維能力的欠缺，都不是一朝一夕形成的。要尋蹤溯源，就不得不回到中學(xué)。看現(xiàn)行中學(xué)數(shù)學(xué)教材，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)比較全面：從代數(shù)、幾何、分析到組合、概率、統(tǒng)計(jì)，幾乎囊括了數(shù)學(xué)的所有分支。不過(guò)仔細(xì)看內(nèi)容，不難發(fā)現(xiàn)每個(gè)分支都是淺嘗輒止，甚至很多以前有的內(nèi)容都被刪掉了。比如，現(xiàn)行中學(xué)數(shù)學(xué)教材里只有函數(shù)的概念，而映射這個(gè)重要概念已經(jīng)消失很久了。這樣的扁平化設(shè)計(jì)帶來(lái)的問(wèn)題是顯而易見(jiàn)的：在如此狹窄的范圍內(nèi)出題只能越來(lái)越偏，越來(lái)越追求所謂的技巧。

諸如此類的問(wèn)題有很多。這就要求我們?cè)诮虒W(xué)中適當(dāng)提高知識(shí)的深度和廣度。當(dāng)然，這個(gè)工作不容易做，沒(méi)有足夠的知識(shí)儲(chǔ)備，沒(méi)有對(duì)“海平面之下”數(shù)學(xué)的足夠了解，就無(wú)法從高觀點(diǎn)看待初等數(shù)學(xué)，也不能更好地融合初等數(shù)學(xué)的各部分內(nèi)容。然而，高等數(shù)學(xué)的難度又會(huì)讓很多中學(xué)數(shù)學(xué)教師望而卻步——盡管很多人學(xué)過(guò)不少大學(xué)數(shù)學(xué)課程，但是當(dāng)年學(xué)得未必精通，學(xué)過(guò)多年后很少使用也就基本忘卻了。應(yīng)該從哪里入手呢？有一個(gè)很重要但又經(jīng)常被忽略的重要問(wèn)題是很好的切入點(diǎn)，這就是尺規(guī)作圖。

二、無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)與正多邊形

尺規(guī)作圖在數(shù)學(xué)發(fā)展史上起到了非常重要的作用。很早的時(shí)候，人類就開(kāi)始使用自然數(shù)，也學(xué)會(huì)了四則運(yùn)算。不過(guò)就像我們小學(xué)時(shí)學(xué)過(guò)的那樣，減法和除法不是總能做，于是負(fù)數(shù)和分?jǐn)?shù)被引入，從而有了有理數(shù)，四則運(yùn)算得以自由進(jìn)行。這一點(diǎn)，古希臘人在大約公元前500年就已經(jīng)意識(shí)到了，因此有了“萬(wàn)物皆數(shù)”（數(shù)指有理數(shù)）的理念。然而，古希臘人很快就發(fā)現(xiàn)了無(wú)理數(shù)的存在：正方形的對(duì)角線長(zhǎng)與邊長(zhǎng)之比不是有理數(shù)，或者說(shuō)等腰直角三角形的底邊和腰之比不是有理數(shù)。

我們都知道這個(gè)比值是2。這個(gè)結(jié)論，初中數(shù)學(xué)教材一般都會(huì)提到，但并不是每本教材都會(huì)提供證明（提到的證明也都是利用反證法）。然而，歷史可能要有趣得多。如果等腰直角三角形的底邊和腰之比是有理數(shù)，設(shè)為mn，其中m、n都是正整數(shù)，則可以作一個(gè)底邊為m、腰為n的等腰直角三角形。據(jù)說(shuō)畢達(dá)哥達(dá)斯學(xué)派的希帕索（Hippasus）斯進(jìn)行了如圖1所示的作圖。圖1中有無(wú)窮多個(gè)等腰直角三角形，其邊長(zhǎng)都是正整數(shù)。希帕索斯知道這是不可能的。

不過(guò)，2或許并不是第一個(gè)被發(fā)現(xiàn)的無(wú)理數(shù)，一個(gè)強(qiáng)有力的競(jìng)爭(zhēng)者與正五邊形有關(guān)。有學(xué)者認(rèn)為，希帕索斯進(jìn)行了如下頁(yè)圖2所示的作圖。從而可以得到無(wú)窮多個(gè)正五邊形，由此說(shuō)明正五邊形的對(duì)角線與邊長(zhǎng)之比不是有理數(shù)。

順便說(shuō)一下，將圖2中最大的正五邊形的對(duì)角線與邊長(zhǎng)記為數(shù)對(duì)（m，n），則正五邊形從大到小的對(duì)角線與邊長(zhǎng)的變化為：（m，n）→（n，m-n）→（m-n，2n-m）→…。這里蘊(yùn)藏了輾轉(zhuǎn)相除法。輾轉(zhuǎn)相除法是非常有用的，如可以用來(lái)證明算術(shù)基本定理。

此時(shí)，一個(gè)很自然的問(wèn)題是：正五邊形的邊長(zhǎng)與對(duì)角線的比到底是多少？它實(shí)際上是一個(gè)很有名的數(shù)值——黃金分割數(shù)。不難發(fā)現(xiàn)，正五邊形的邊長(zhǎng)與對(duì)角線之比（黃金分割數(shù)）也等于頂角為108°的等腰三角形的腰與底邊之比，還等于頂角為36°的等腰三角形的底邊與腰之比。

三、正五邊形的尺規(guī)作圖

正五邊形是很常見(jiàn)的。比如隨處可見(jiàn)的紅五星，南京大學(xué)的標(biāo)志性建筑——北大樓樓頂上就有（如圖3所示）。

古希臘人為什么會(huì)對(duì)正五邊形感興趣呢？從幾何上看，正n邊形具有很強(qiáng)的對(duì)稱性，是古希臘數(shù)學(xué)家關(guān)心的幾何對(duì)象；而正三角形、正四邊形和正六邊形都很容易用尺規(guī)作圖得到，其他正n邊形又如何呢？首先要考慮的自然是正五邊形。希帕索斯在利用正五邊形發(fā)現(xiàn)無(wú)理數(shù)的時(shí)候，就應(yīng)該知道如何用尺規(guī)作正五邊形了。

30多年前的初中課堂上，我的數(shù)學(xué)老師曾經(jīng)演示用尺規(guī)作正五邊形，那一幕至今還印在我的腦海中，只是當(dāng)時(shí)我并不知道作圖的原理。直到很久以后回想這些問(wèn)題，才明白其中的關(guān)鍵。如今，正五邊形尺規(guī)作圖這樣的問(wèn)題已經(jīng)在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中消失了（課標(biāo)要求會(huì)用尺規(guī)作圓的內(nèi)接正方形和內(nèi)接正六邊形，有些教材還會(huì)引導(dǎo)學(xué)生在圓內(nèi)作正三角形、正八邊形、正十二邊形），很少有學(xué)生知道如何用尺規(guī)作正五邊形，多數(shù)學(xué)生大概也不會(huì)對(duì)這個(gè)問(wèn)題感興趣。這是很可惜的：作圖方法并不復(fù)雜，隱藏在平時(shí)遇到的一些小練習(xí)中，但其中蘊(yùn)含了重要的思想——幾何問(wèn)題代數(shù)化。

這三大尺規(guī)作圖難題困擾了世間智者2000多年（當(dāng)然，古希臘以及后來(lái)2000多年內(nèi)的數(shù)學(xué)家們都沒(méi)有數(shù)域的概念），直到18世紀(jì)末一位偉大數(shù)學(xué)家的出現(xiàn)。

五、正十七邊形的尺規(guī)作圖

有一個(gè)非常不靠譜的傳說(shuō)。1796年3月30日，一個(gè)學(xué)生晚飯后照常完成老師留的作業(yè)，發(fā)現(xiàn)多了一張小紙條，上面的題目就是要求用尺規(guī)作正十七邊形。他發(fā)現(xiàn)這道題很難，就一直苦思冥想。直到第二天清晨的第一縷陽(yáng)光照進(jìn)窗口時(shí)，他才終于作出了正十七邊形。當(dāng)他滿懷愧疚地告訴老師，自己竟然花了一晚上才完成這道作業(yè)題時(shí)，老師意識(shí)到這是一個(gè)美麗的錯(cuò)誤，于是用顫抖的聲音告訴他：這不是作業(yè)，而是一道有2000多年歷史的難題！這個(gè)學(xué)生就是高斯（Gauss）。

類似的數(shù)學(xué)家故事有不少，然而大多經(jīng)不起推敲，不知道為什么總有人樂(lè)此不疲地傳播。上述傳說(shuō)當(dāng)然也經(jīng)不起推敲：老師怎么會(huì)考慮正十七邊形的尺規(guī)作圖，不應(yīng)該考慮“更簡(jiǎn)單”的正七、九……邊形的尺規(guī)作圖嗎？要知道，在高斯之前，沒(méi)有人意識(shí)到正七邊形不能尺規(guī)作圖，而正十七邊形可以尺規(guī)作圖。

至于正n邊形作圖問(wèn)題，則需要更深刻的理論［4］，關(guān)系到高次方程求根問(wèn)題，難度要大得多，這里略過(guò)不表。

八、教學(xué)意義

之所以從尺規(guī)作圖開(kāi)始，是因?yàn)槲矣X(jué)得這樣的問(wèn)題比較有意思，牽涉到很多數(shù)學(xué)概念，并且中學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)該比較熟悉。然而，這可能有點(diǎn)一廂情愿：尺規(guī)作圖這個(gè)曾經(jīng)在數(shù)學(xué)史上大放異彩的重要問(wèn)題，在如今的中學(xué)數(shù)學(xué)教材中卻幾乎沒(méi)有多少分量了。

不過(guò)，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在初中階段強(qiáng)調(diào)了“通過(guò)尺規(guī)作圖等直觀操作的方法，理解平面圖形的性質(zhì)與關(guān)系”［5］，增加了尺規(guī)作圖的內(nèi)容，要求作平行線、垂線、垂直平分線、角平分線、圓的切線、三角形及其外接圓和內(nèi)切圓，還有圓的內(nèi)接正方形和正六邊形。表面上看，這些問(wèn)題都很初等，沒(méi)什么難度，似乎也沒(méi)有多少啟發(fā)性。然而，事情并不是這樣的：

一方面，尺規(guī)作圖是邏輯性的，符合論證幾何的追求，在作圖過(guò)程中可以加深對(duì)幾何知識(shí)的理解，使得知識(shí)成為關(guān)聯(lián)的體系，而非散點(diǎn)的結(jié)論。例如，各種平分線的作圖運(yùn)用的是全等三角形的性質(zhì)，內(nèi)切圓、外接圓的作圖又讓學(xué)生切實(shí)體會(huì)到三角形的角平分線、中垂線是共點(diǎn)的。

另一方面，尺規(guī)作圖是代數(shù)、幾何甚至分析課程的紐帶，很多尺規(guī)作圖問(wèn)題的解決給了我們很大的啟發(fā)，不僅能加深對(duì)數(shù)學(xué)各分支知識(shí)的理解，而且能帶來(lái)新的發(fā)現(xiàn)。在這個(gè)過(guò)程中，有求知欲的學(xué)生能學(xué)到很多有趣的數(shù)學(xué)知識(shí)，有好奇心的學(xué)生能發(fā)現(xiàn)很多好玩的數(shù)學(xué)問(wèn)題，有悟性的學(xué)生能體會(huì)到美妙的數(shù)學(xué)思想——這正是尺規(guī)作圖在數(shù)學(xué)發(fā)展史中的功績(jī)，也是可能在中小學(xué)日常教學(xué)中產(chǎn)生的功效。

回顧尺規(guī)作圖的歷史，它首先告訴我們無(wú)理數(shù)的存在，其后的研究揭示了它的關(guān)鍵性質(zhì)：尺規(guī)作圖能做四則運(yùn)算和開(kāi)平方。簡(jiǎn)單如2、5，復(fù)雜如cos2π17這樣的數(shù)都能得到。但是，很多無(wú)理數(shù)，如32、cos20°等，都不能作出。這樣的數(shù)都是有理系數(shù)方程的根，稱為代數(shù)數(shù)。我們可以認(rèn)為代數(shù)數(shù)是可構(gòu)造實(shí)數(shù)的推廣，是人類認(rèn)識(shí)數(shù)過(guò)程中的一個(gè)跨越。事實(shí)上，所有代數(shù)數(shù)也構(gòu)成一個(gè)數(shù)域，這個(gè)數(shù)域目前仍然是數(shù)論研究的重要問(wèn)題。

方程求根的探索告訴我們，盡管很多方程的根不是可構(gòu)造實(shí)數(shù)，但它們都可以由方程的系數(shù)經(jīng)過(guò)四則運(yùn)算和開(kāi)平方得到。是不是把開(kāi)平方的條件放松為開(kāi)任意次方就可以解決問(wèn)題了呢？這又把研究對(duì)象向前推進(jìn)了：有理系數(shù)方程的根能不能由系數(shù)的四則運(yùn)算和開(kāi)方的方式得到？經(jīng)過(guò)數(shù)百年的努力，數(shù)學(xué)家們終于發(fā)現(xiàn)，并不是所有代數(shù)數(shù)都

可以用有理數(shù)的四則運(yùn)算和開(kāi)方的方式得到。這一發(fā)現(xiàn)引起了代數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一場(chǎng)革命，很多嶄新的概念和理論被提出，迅速發(fā)展成一個(gè)個(gè)龐大的研究分支。

接著，埃爾米特（Hermite）和林德曼等人的發(fā)現(xiàn)告訴我們，有些數(shù)（如e、π等）甚至不是任何非零有理系數(shù)方程的根，這些數(shù)就是超越數(shù)。這個(gè)發(fā)現(xiàn)促使數(shù)學(xué)家們重新審視實(shí)數(shù)，并建立了嚴(yán)格的實(shí)數(shù)體系。進(jìn)一步研究表明，超越數(shù)要比代數(shù)數(shù)多得多。而對(duì)負(fù)數(shù)開(kāi)方的問(wèn)題又導(dǎo)致了復(fù)數(shù)的發(fā)現(xiàn)，將數(shù)的理論推到了新的高度。

這些都是數(shù)學(xué)研究的波瀾壯闊的歷史，值得每一個(gè)后來(lái)人了解、學(xué)習(xí)，從中吸取營(yíng)養(yǎng)，當(dāng)然也應(yīng)該是我們?cè)谥行W(xué)乃至大學(xué)數(shù)學(xué)教育中使用的寶貴素材——利用它們（可以“混而不錯(cuò)”的方式）引導(dǎo)學(xué)生思考、探索，體會(huì)數(shù)學(xué)之美，從而保持好奇心，并有勇氣作出新的發(fā)現(xiàn)。

參考文獻(xiàn)：

［1］［2］JohnDerbyshire.代數(shù)的歷史：人類對(duì)未知量的不舍追蹤［M］.馮速，譯.北京：人民郵電出版社，2010：97，98.

［3］朱富海，陳智奇.高等代數(shù)與解析幾何［M］.北京：科學(xué)出版社，2018：117.

［4］鄧少?gòu)?qiáng)，朱富海.抽象代數(shù)［M］.北京：科學(xué)出版社，2017：153-203.

［5］中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：14.

（朱富海，南京大學(xué)數(shù)學(xué)系，教授。從事基礎(chǔ)數(shù)學(xué)方向李群李代數(shù)的研究，對(duì)本科數(shù)學(xué)教育有深入思考，編著多本本科教材，并在個(gè)人公眾號(hào)“數(shù)林廣記”中寫(xiě)下了數(shù)十萬(wàn)字的教育心得。）