文|胡冬南

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。數(shù)學(xué)來源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象，通過對(duì)數(shù)量和數(shù)量關(guān)系、圖形和圖形關(guān)系的抽象，得到數(shù)學(xué)的研究對(duì)象及其關(guān)系。由于小學(xué)生心理的發(fā)展特點(diǎn)，小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)以直觀和具象為主，這樣更適合學(xué)生對(duì)數(shù)的感知和認(rèn)識(shí)。因此，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)需要讓學(xué)生能從具象中抽象出數(shù)和關(guān)系，使學(xué)生獲得良好的數(shù)學(xué)教育，得到知識(shí)、技能，進(jìn)而逐步形成適應(yīng)終身發(fā)展的核心素養(yǎng)?？梢?，在一節(jié)課中，促進(jìn)學(xué)生的思維進(jìn)階就尤為重要。下面筆者以《數(shù)與形》一課教學(xué)為例，談?wù)勗鯓油ㄟ^“數(shù)形結(jié)合”的方法進(jìn)行圖解數(shù)學(xué)，引領(lǐng)學(xué)生在讀圖、畫圖、說圖等過程中將思維可視化，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生的思維進(jìn)階。

一、《數(shù)與形》一課中的思維路徑分析

在人教版數(shù)學(xué)廣角《數(shù)與形》一課中，教材從兩道例題出發(fā)，讓學(xué)生從例1 的一組圖形中完成填空發(fā)現(xiàn)規(guī)律，通過例2 畫圖解決算式中的問題。但在以往的實(shí)際教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生很難在兩道例題的解決中理解和感悟“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想，不同學(xué)生在學(xué)習(xí)這節(jié)課后的思維水平差異很大，且例2 中“無限”的概念非常抽象。因此，分析清楚這節(jié)課學(xué)生的思維發(fā)展路徑對(duì)教學(xué)的開展尤為重要。

（一）教材中的教學(xué)路徑

（二）學(xué)生學(xué)習(xí)的思維路徑

教材是靜態(tài)地呈現(xiàn)學(xué)生需要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，而學(xué)生在課堂上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是動(dòng)態(tài)的。所以，有經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)教師不僅要“吃透”教材，而且更重要的是“吃透”學(xué)情。在教學(xué)前，通過讓學(xué)生進(jìn)行簡單的預(yù)習(xí)和試做課后習(xí)題，發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在“觀察——找規(guī)律——應(yīng)用”簡單地套用“方法”，而不是真正內(nèi)化方法、掌握方法并學(xué)會(huì)應(yīng)用。因此，教師必須對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的思維路徑進(jìn)行調(diào)整和優(yōu)化，在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)中，我把本課的教學(xué)分為兩大塊內(nèi)容，即“以數(shù)助形”和“以形解數(shù)”。

在“用形想數(shù)”中通過學(xué)生自己舉例子，以自己的例子畫出對(duì)應(yīng)的圖形，把自己的思維通過“畫圖”進(jìn)行可視化，不同的例子對(duì)應(yīng)不同的圖形，進(jìn)而形成一組學(xué)生“思維可視化”的作品，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和內(nèi)化其中的規(guī)律。預(yù)設(shè)如下：

在“用數(shù)想形”中通過學(xué)生選用“正方形”或“圓”，用不同的畫圖方法來表示算式：把自己對(duì)這個(gè)算式計(jì)算過程的思維進(jìn)行“可視化”，然后通過對(duì)自己的“作品”進(jìn)行上臺(tái)講解，深化學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合方法的認(rèn)識(shí)，擴(kuò)展方法多樣性，突出數(shù)形結(jié)合方法的妙用。預(yù)設(shè)如下：

這樣，學(xué)生學(xué)習(xí)的思維路徑就變?yōu)椋?/p>

例1：學(xué)生讀圖——算式對(duì)照——猜想規(guī)律——舉例寫算式并畫圖——得出規(guī)律

例2：學(xué)生觀察——試著計(jì)算——畫圖表示——說圖解題——直觀理解——感受極限

正是基于以上分析，我認(rèn)為本節(jié)課的核心不是得出規(guī)律和結(jié)論，而是讓學(xué)生通過“數(shù)形結(jié)合”的方法，運(yùn)用“讀圖”“畫圖”“說圖”把自己的思維可視化，通過不同的“圖形”解決方案來感知和體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想，而且在解決數(shù)學(xué)問題中真正提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的意識(shí)和能力。此外，通過本節(jié)課的教學(xué)，讓學(xué)生真正感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最重要的不是“套用”方法，而是真正地把數(shù)學(xué)中的知識(shí)和方法進(jìn)行內(nèi)化并應(yīng)用，從而做到舉一反三。

二、利用數(shù)形結(jié)合，在課堂中使學(xué)生的思維可視化

數(shù)形結(jié)合使抽象的數(shù)據(jù)形象化，使直觀的圖形數(shù)學(xué)化，從而把握?qǐng)D形背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

片斷（一）：數(shù)形結(jié)合，“以數(shù)助形”

1.從圖形歸納出算式

師：出示3 個(gè)正方形，觀察它們有什么共同特點(diǎn)？

生：都是由若干個(gè)小正方形拼成的。

師：你能用一個(gè)算式表示小正方形的個(gè)數(shù)嗎？

生1：乘法算式：2×2（或22） 3×3（或32） 4×4（或42）

師：你還能用其他算式來表示嗎？

生2：加法算式：1＋3 1＋3＋5 1＋3＋5＋7

師：（追問）“1”在哪里？“3”在哪里？請(qǐng)學(xué)生上來指一指。這兩種算式有什么關(guān)系嗎？

生：它們是相等的。

教師小結(jié)并形成板書：1＋3=221＋3＋5=321＋3＋5＋7=42

2.由算式聯(lián)想出圖形

學(xué)生感知規(guī)律，教師啟發(fā)：我們由這3 個(gè)正方形想到了3 組這樣的等式。如果讓你繼續(xù)加上小正方形，像這樣的等式你能寫嗎？試著寫一個(gè)并畫出來。

預(yù)設(shè)如下：1＋3＋5＋7＋9=521＋3＋5＋7＋9＋11=62

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13=72

師：現(xiàn)在我們一邊回憶一下這幾個(gè)圖形，一邊說一下它們所代表的算式。

3.歸納小結(jié)

師：這樣，我們就把算式和圖形對(duì)應(yīng)起來啦！其實(shí)，這樣的算式還有很多。請(qǐng)大家一起來觀察它們，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

學(xué)生四人小組交流討論，組間補(bǔ)充，得出規(guī)律：“從1 開始，幾個(gè)連續(xù)奇數(shù)相加的和等于奇數(shù)個(gè)數(shù)的平方?！?/p>

師生小結(jié)：通過剛才“讀圖”和“畫圖”，我們發(fā)現(xiàn)“數(shù)”與“形”是真的有聯(lián)系的，用形想數(shù)、用數(shù)想形、用數(shù)形結(jié)合的方法在探索形的過程中找到了數(shù)的內(nèi)在特點(diǎn)，幫助我們很快地找到了規(guī)律。

教學(xué)片斷（二）：數(shù)形結(jié)合，“以形解數(shù)”

1.了解學(xué)情

生1：后面一個(gè)加數(shù)是前面一個(gè)的二分之一，也就是“一半”。

生2：加數(shù)越來越小了。

師：（追問）這個(gè)算式你在哪里看到過嗎？會(huì)算嗎？

學(xué)生交流討論發(fā)言說出自己遇到的困難。

2.自主畫圖，展示說圖

教師出示：一個(gè)正方形和還有一個(gè)圓，都表示“1”。

要求：任選一個(gè)圖形，畫一畫、算一算，記錄你的想法。

預(yù)設(shè)如下：

生2 敘述畫法：同一個(gè)圓的大小取決于圓心角的大小，于是每次取剩下圓心角的一半，第一次是180度，第二次是90 度，第三次是45 度……

3.歸納小結(jié)（略）

三、思維可視化幫助學(xué)生思維進(jìn)階

（一）利用圖解數(shù)學(xué)，數(shù)形結(jié)合，深刻體會(huì)“數(shù)與形”之間的緊密聯(lián)系

在課前，通過簡單的課前談話調(diào)查，了解學(xué)生對(duì)于“數(shù)與形”的認(rèn)識(shí)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生比較有代表性的兩個(gè)觀點(diǎn):一種是把數(shù)與形分隔開來看待，數(shù)就是數(shù)，形就是形，約占65%；另一種認(rèn)為“數(shù)與形”是有一定聯(lián)系的，但具體聯(lián)系在哪，學(xué)生并不能很好地說明和舉例，約占35%。而在這節(jié)課后，我讓學(xué)生舉例說明數(shù)與形之間的具體聯(lián)系（課本中的例子除外），95%的學(xué)生能舉出各種各樣的例子，植樹問題中的線段圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖的百分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)乘除法等。

這就說明本節(jié)課的教學(xué)讓學(xué)生深刻地經(jīng)歷了“數(shù)形結(jié)合”。通過讓學(xué)生深刻經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)和方法形成的過程，利用圖解數(shù)學(xué)、數(shù)形結(jié)合的方法，使學(xué)生從圖形中歸納出算式，由算式來聯(lián)想出圖形，再自己舉例畫圖，從而體會(huì)到數(shù)與形之間的緊密聯(lián)系，使學(xué)生感受圖解數(shù)學(xué)、數(shù)形結(jié)合的思維方式，把學(xué)生課堂上整個(gè)學(xué)習(xí)思維的過程進(jìn)行了可視化，促進(jìn)了學(xué)生解決此類問題思維的形成和發(fā)展。

（二）通過思維可視化，畫圖說圖，感悟數(shù)學(xué)思想方法，促使思維進(jìn)階

“思維可視化”是為了促進(jìn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建構(gòu)、優(yōu)化，進(jìn)一步提升思維能力及思維品質(zhì)。在《數(shù)與形》的教學(xué)過程中，利用圖解數(shù)學(xué)、數(shù)形結(jié)合的方法，首先讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到了“數(shù)與形”之間密切的聯(lián)系，但并不足以建構(gòu)和優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，也無法一下子提升學(xué)生的思維能力及思維品質(zhì)。所以，在建構(gòu)和優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和提升學(xué)生的思維能力及思維品質(zhì)這兩個(gè)方面，都需要更好的“抓手”。通過讓學(xué)生從算式出發(fā)畫圖，就是在幫助學(xué)生把“數(shù)形結(jié)合”這個(gè)方法在自己的認(rèn)識(shí)體系中建構(gòu)起來，而不同的“畫圖方案”既是學(xué)生個(gè)體思維可視化的圖解表達(dá)，也拓展了群體解題方法的多樣性，從而完成本課知識(shí)的內(nèi)化和方法的建構(gòu)。

通過個(gè)體學(xué)生對(duì)自己“畫圖作品”的闡述，說圖展示讓群體學(xué)生了解不同個(gè)體學(xué)生思維上的一致性。雖然他們的“畫圖作品”略有不同，但利用圖解數(shù)學(xué)、數(shù)形結(jié)合解決問題的思維路徑卻是類似的。而學(xué)生個(gè)體通過群體學(xué)習(xí)，在解決同一個(gè)問題時(shí)，能利用“數(shù)形結(jié)合”進(jìn)行方法多樣的圖解來表達(dá)，本身就是思維品質(zhì)的提升，即思維的進(jìn)階。

這節(jié)課在思維進(jìn)階上，學(xué)生從學(xué)習(xí)《數(shù)與形》這一課對(duì)知識(shí)點(diǎn)的記憶，進(jìn)而理解數(shù)形結(jié)合的方法，到應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法去解決問題的低階思維，發(fā)展到學(xué)生利用“數(shù)形結(jié)合”的方法去分析問題，用“圖解數(shù)學(xué)”讓思維可視化去評(píng)價(jià)，最后自己提出和創(chuàng)造數(shù)學(xué)問題進(jìn)行思考的高階思維。