曹紫薇，林南南，劉志鋼

摘? 要：基于城市軌道交通客流時(shí)間分布不均勻，考慮客流出行隨機(jī)性，通過(guò)建立雙層規(guī)劃模型，探究不同風(fēng)險(xiǎn)類(lèi)型乘客的出行時(shí)段選擇對(duì)軌道交通運(yùn)營(yíng)的優(yōu)化方案。上層模型考慮企業(yè)運(yùn)營(yíng)成本與乘客出行成本，以發(fā)車(chē)時(shí)間間隔建立列車(chē)多時(shí)段行車(chē)間隔優(yōu)化模型，下層模型則考慮乘客隨機(jī)出行需求產(chǎn)生的影響，結(jié)合乘客出行成本建立隨機(jī)乘客均衡模型來(lái)獲得不同出行風(fēng)險(xiǎn)類(lèi)型乘客下的確定性出行時(shí)段客流及乘客期望出行成本。通過(guò)算例分析驗(yàn)證模型有效性，分析不同的風(fēng)險(xiǎn)類(lèi)型乘客的出行時(shí)段對(duì)列車(chē)發(fā)車(chē)間隔設(shè)置的影響。結(jié)果表明，乘客對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度越高，選擇客流高峰出行的乘客會(huì)減少，轉(zhuǎn)而在非高峰時(shí)段出行。所建立的模型可以幫助企業(yè)選擇合理的運(yùn)營(yíng)方案使得企業(yè)運(yùn)營(yíng)成本不高的同時(shí)提高乘客服務(wù)質(zhì)量，保證運(yùn)營(yíng)安全。

關(guān)鍵詞：軌道交通；運(yùn)營(yíng)成本；雙層規(guī)劃模型；乘客出行需求

中圖分類(lèi)號(hào)：F570? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? DOI：10.13714/j.cnki.1002-3100.2023.11.020

Abstract： Considering the randomness of urban rail transit passenger flow， a bi-level programming model is established to explore the optimal scheme for rail transit operation under different risk types of passenger travel time choice. The upper model considers the operation cost of the enterprise and the travel cost of the passengers， and establishes a multi-period interval optimization model based on the departure time interval， while the lower model considers the impact of the random travel demand of the passengers， a stochastic passenger equilibrium model is established to obtain the deterministic travel time flow and expected travel cost of passengers with different travel risk types. The validity of the model is verified by an example， and the influence of the travel time of passengers with different risk types on the train departure interval settings is analyzed. The results show that the more risk-averse passengers are， the fewer passengers will choose to travel in rush hour， and they will travel in non-rush hour. The established model can help enterprises to choose a reasonable operation plan to make low operating costs while improving the quality of passenger service， to ensure the safety of operation.

Key words： rail transit; operation cost; bi-level programming model; passenger travel needs

0? 引? 言

軌道交通高效快速，安全環(huán)保且運(yùn)力強(qiáng)大，逐漸成為出行人員的首選交通方式，各城市在逐步加快軌道交通的建設(shè)。在城市軌道交通也就是地鐵運(yùn)營(yíng)過(guò)程中，如何設(shè)計(jì)列車(chē)開(kāi)行方案至關(guān)重要，需協(xié)調(diào)各部門(mén)的工作，也關(guān)系到乘客滿(mǎn)意度與企業(yè)的經(jīng)濟(jì)效益。由于客流的不確定性，軌道交通不同運(yùn)營(yíng)時(shí)段的客流量有較大差異，Sun等[1]將時(shí)變客流需求作為一個(gè)變量，構(gòu)建了軌道交通列車(chē)開(kāi)行方案的優(yōu)化模型，并進(jìn)行了對(duì)比分析；Erfan等[2]考慮了關(guān)于列車(chē)運(yùn)行中的不確定性，優(yōu)化了軌道交通始發(fā)站列車(chē)的發(fā)車(chē)時(shí)間優(yōu)化模型。但是都假設(shè)乘客的到達(dá)分布已知且相對(duì)穩(wěn)定，而這在現(xiàn)實(shí)生活中是不成立的。關(guān)于乘客的出行，朱宇婷等[3]研究發(fā)現(xiàn)，乘客的出行選擇會(huì)因公共交通的開(kāi)行方案發(fā)生變化，如在客流高峰乘客會(huì)根據(jù)開(kāi)行方案及客流量，考慮列車(chē)容量而調(diào)整自己的出行時(shí)段。對(duì)于成本問(wèn)題，鄧連波等[4]構(gòu)建彈性需求函數(shù)來(lái)考慮乘客廣義出行成本；湯蓮花等[5]則是基于成本建立了雙層規(guī)劃模型來(lái)優(yōu)化軌道交通開(kāi)行方案；丁小兵等[6]從多交通方式的角度構(gòu)建成本模型，分析乘客選擇的出行路徑。本文考慮乘客對(duì)出行風(fēng)險(xiǎn)的不同，考慮不同風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)的乘客進(jìn)行出行時(shí)段選擇情況下，結(jié)合運(yùn)營(yíng)企業(yè)和乘客雙方利益需求，建立關(guān)于列車(chē)發(fā)車(chē)間隔的優(yōu)化模型，從而對(duì)軌道交通運(yùn)營(yíng)方案進(jìn)行優(yōu)化。

1? 問(wèn)題描述與分析

1.1? 問(wèn)題描述

軌道交通運(yùn)行中易出現(xiàn)客流時(shí)空分布不均，如早晚可能會(huì)出現(xiàn)單向高峰客流，也會(huì)出現(xiàn)客流稀疏的情況，列車(chē)運(yùn)行中車(chē)內(nèi)人員數(shù)量稀少，供需不匹配會(huì)導(dǎo)致企業(yè)運(yùn)營(yíng)成本高于運(yùn)營(yíng)收入，但若是將列車(chē)發(fā)車(chē)間隔增加過(guò)多，可能會(huì)使乘客未能乘坐上班列車(chē)，但等待下班列車(chē)到達(dá)時(shí)間較長(zhǎng)，增加乘客的出行成本。對(duì)于軌道交通線(xiàn)路平峰時(shí)段，列車(chē)運(yùn)行間隔過(guò)短會(huì)造成運(yùn)營(yíng)成本上升，過(guò)長(zhǎng)會(huì)使得乘客等待時(shí)間加長(zhǎng)，影響服務(wù)質(zhì)量，對(duì)此建立仿真模型。

1.2? 乘客一般出行成本分析

根據(jù)陳治亞等[7]的研究，乘客實(shí)際出行時(shí)段會(huì)由于隨機(jī)因素與其期望出行時(shí)段存在一定差異，令n=1，2，…，N為車(chē)站集合，GH為線(xiàn)路OD對(duì)gh的集合，T為時(shí)段集合。將OD對(duì)路段gh且乘客期望在出行時(shí)段■的確定性需求表示為q■■，選擇實(shí)際出行時(shí)段■表示為q■■，實(shí)際在時(shí)段■出行的乘客表示為q■■，其中：q■■=Σ■q■■；q■■=Σ■q■■，乘客出行成本考慮如下。

1.2.1? 候車(chē)時(shí)間成本

乘客出行時(shí)，希望出行時(shí)間最小，在考慮乘客出行成本時(shí)，需考慮乘客候車(chē)時(shí)間成本。假設(shè)乘客到達(dá)服從均勻分布，站臺(tái)上的乘客可以全部上車(chē)，如圖1所示，可以看出乘客出行平均候車(chē)時(shí)間可表示為列車(chē)發(fā)車(chē)間隔的一半，即：

c■=■t■? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（1）

式中：t■為時(shí)段■的列車(chē)在站點(diǎn)n的間隔時(shí)間，對(duì)于全自動(dòng)運(yùn)行列車(chē)而言其就是列車(chē)發(fā)車(chē)時(shí)間間隔。

1.2.2? 乘車(chē)擁擠成本

乘客出行除了候車(chē)時(shí)間，不同時(shí)段的車(chē)內(nèi)人員擁擠也會(huì)一定程度影響乘客的出行選擇。相關(guān)研究[8-9]認(rèn)為乘客在車(chē)廂內(nèi)感知擁擠度隨在車(chē)內(nèi)時(shí)間增長(zhǎng)而增加，參考陳治亞等[7]的研究中使用的BPR 函數(shù)來(lái)構(gòu)建車(chē)廂擁擠度函數(shù)，在列車(chē)運(yùn)營(yíng)時(shí)段■的線(xiàn)路段n，n+1上的擁擠成本為：

c■=r■1+λt■■■■? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（2）

式中：r■為列車(chē)n-1與n站點(diǎn)間的運(yùn)行時(shí)間，λ和 k為車(chē)內(nèi)擁擠參數(shù)，C為列車(chē)額定載客量。x■■和x■■分別為列車(chē)運(yùn)營(yíng)時(shí)段■內(nèi)站點(diǎn)間的確定與隨機(jī)性客量。

x■■=∑■q■■? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（3）

x■■=∑■q■■? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（4）

式中：GHn是站點(diǎn)n，n+1之間的OD對(duì)集合。

1.2.3? 時(shí)段偏移成本

企業(yè)對(duì)線(xiàn)路運(yùn)營(yíng)進(jìn)行優(yōu)化的同時(shí)可能會(huì)影響到乘客出行，可能使乘客提前或者延后出行，從而產(chǎn)生時(shí)段偏移成本，用η表示乘客的單位時(shí)段偏移成本。該成本可表示為：

c■=η■-■? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（5）

1.2.4? 乘車(chē)票價(jià)費(fèi)用

乘客乘坐軌道交通需購(gòu)買(mǎi)乘車(chē)車(chē)票，用f■表示時(shí)段■內(nèi)乘客的單位公里乘車(chē)票價(jià)成本：

c■=f■·l■? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （6）

式中：l■為乘客出行距離。

綜上，乘客出行時(shí)，OD對(duì)gh期望出行時(shí)段為■實(shí)際為■的確定性乘客需求的一般出行成本為：

C■=c■+∑■■c■+c■+c■? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （7）

2? 模型建立

2.1? 下層模型建立

乘客的隨機(jī)出行需求使得確定性乘客的出行成本不確定，當(dāng)乘客對(duì)于出行時(shí)段要求不嚴(yán)格時(shí)，會(huì)出現(xiàn)其根據(jù)軌道交通運(yùn)營(yíng)做出更改出行時(shí)段的選擇，假設(shè)■時(shí)段OD對(duì)gh隨機(jī)需求q■■服從正態(tài)分布Nμ■， σ■■且相互獨(dú)立，根據(jù)中心極限定理，由公式（4）、公式（2）可知x■■服從 Nμ■， σ■■，c■服從 NE■， σ■■■，其中：μ■=∑■μ■；σ■■=∑■σ■■; E■=r■+■·∑■■■σ■■μ■+x■■■j-1?。。沪摇觥觥?■■·∑■■■σ■■μ■+x■■■j-1?。?∑∑■■■σ■■μ■+x■■■j-1??！■。

假設(shè)乘客一般出行成本中的各成本相互獨(dú)立，則C■服從 NE■， σ■■，其中E■=c■+∑■■E■+c■+c■；σ■■=∑■■σ■■■。

由于乘客選擇出行時(shí)期望出行成本最小，但隨機(jī)性會(huì)使成本發(fā)生變動(dòng)，考慮出行成本預(yù)算[10]。

ξ■=E■+ε■? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （8）

由于乘客隨機(jī)需求，根據(jù)文獻(xiàn)[10]將持有不同風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度等級(jí)乘客的出行概率表示為ρ=PC■≤ξ■=P■≤■，則其分布函數(shù)為φξ■-E■σ■=ρ，故出行成本為：

ξ■=E■+σ■φ■ρ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（9）

根據(jù)文獻(xiàn)可知，客流量可采用logit模型分配，從而得到OD 對(duì)gh出行時(shí)段期望為■實(shí)際為■的確定客流為：

q■■=q■■·■? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （10）

q■■≥0? ? ■，■∈T， gh∈GH? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（11）

2.2? 上層模型建立

運(yùn)營(yíng)單位希望保證乘客服務(wù)質(zhì)量的同時(shí)延長(zhǎng)發(fā)車(chē)時(shí)間間隔來(lái)降低企業(yè)運(yùn)營(yíng)成本，上層模型考慮企業(yè)運(yùn)營(yíng)成本與乘客出行成本最小化。

由于軌道交通企業(yè)的運(yùn)營(yíng)成本主要考慮為列車(chē)的運(yùn)行成本，采用列車(chē)的單位車(chē)公里的運(yùn)行成本c■與列車(chē)行駛公里l的乘積進(jìn)行表示，即∑■■·l·c■，故企業(yè)運(yùn)營(yíng)成本為：

Z■=∑■■·l·c■? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（12）

乘客期望出行總成本為：

Z■=∑■∑■∑■q■■·E■? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（13）

由于在城市軌道交通運(yùn)營(yíng)中，同一方向正線(xiàn)的同一運(yùn)行區(qū)間會(huì)有兩列或多列列車(chē)同時(shí)運(yùn)行[11]，因此要考慮列車(chē)發(fā)車(chē)時(shí)間間隔，時(shí)間間隔太小可能會(huì)出現(xiàn)安全隱患且有一定的技術(shù)運(yùn)營(yíng)限制，時(shí)間間隔太大會(huì)增加所有乘客的等待時(shí)間。故列車(chē)發(fā)車(chē)時(shí)間間隔應(yīng)設(shè)置合理閾值范圍。

t■≤t■≤t■? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （14）

3? 模型求解算法

對(duì)于建立的雙層規(guī)劃模型，采用結(jié)合MSA算法的NSGA-Ⅱ算法進(jìn)行求解。下層模型求解得到客流分配，得出乘客需求q■■與乘客期望出行成本E■，作為參數(shù)輸入上層模型中，求解可得到發(fā)車(chē)時(shí)間間隔最優(yōu)解集。

第一步：初始化。設(shè)置遺傳算法的參數(shù)和模型的參數(shù)，分別為下層模型和上層模型生成初始可行解。

第二步：下層模型求解。設(shè)置下層模型迭代次數(shù)，使OD對(duì)gh初始客流為0，計(jì)算下層模型初始出行成本、初始客流分配、初始確定性客流，并更新乘客期望出行成本與出行成本預(yù)算，更新確定性客流。判斷算法是否收斂或迭代次數(shù)是否達(dá)到閾值，是進(jìn)行下一步，否則返回進(jìn)行第二步迭代。

第三步：上層模型求解，設(shè)置上層模型迭代次數(shù)，輸入下層模型最優(yōu)解，隨機(jī)產(chǎn)生初始種群，編碼得到初始種群，計(jì)算上層模型的企業(yè)運(yùn)營(yíng)成本與乘客出行成本，進(jìn)行交叉變異，合成新種群，并對(duì)種群內(nèi)所有個(gè)體非支配排序得到非支配層，再放入新的父代種群，使用擁擠度算法計(jì)算并排序個(gè)體擁擠度，得到新的父代種群，更新企業(yè)運(yùn)營(yíng)成本與乘客出行成本。

第四步：終止判斷。判斷迭代次數(shù)是否達(dá)到最大，是則終止并輸出最終解；否則，轉(zhuǎn)到第三步，進(jìn)行下一次迭代。

4? 算例分析

采用上海軌道交通某線(xiàn)路進(jìn)行算例分析，該線(xiàn)路共有26個(gè)站點(diǎn)，考慮列車(chē)運(yùn)營(yíng)7：00—13：00，將其劃分為三個(gè)時(shí)段，高峰（1）、平峰（2）、低谷期（3），每個(gè)時(shí)段2個(gè)小時(shí)。該線(xiàn)路列車(chē)發(fā)車(chē)時(shí)間間隔為t■=12min， t■=3min，線(xiàn)路全長(zhǎng)36.8km，各時(shí)段初始發(fā)車(chē)間隔為3min、7min、10min，列車(chē)行駛的成本參數(shù)c■=80（元/列·km），乘客出行單位時(shí)段偏移費(fèi)用η=1.55，BPR參數(shù)λ=0.15， k=4，使用MATLAB進(jìn)行求解。

首先探究不同風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)乘客出行，分別取ρ為0.5，0.7，0.9，ρ越大，說(shuō)明乘客厭惡風(fēng)險(xiǎn)。根據(jù)企業(yè)確定的初始列車(chē)發(fā)車(chē)間隔與各時(shí)段的客流數(shù)據(jù)可以得到不同ρ值下的確定客流分配，圖2中折線(xiàn)表示OD對(duì)1，8的各時(shí)段期望出行客流，柱狀圖表示各時(shí)段實(shí)際出行客流，可以發(fā)現(xiàn)實(shí)際出行選擇時(shí)段1的客流量小于期望出行時(shí)段1的客流，圖2中實(shí)際出行時(shí)段2與3的不同色塊表示其他時(shí)段期望出行客流轉(zhuǎn)至該時(shí)段出行客流，看出期望出行時(shí)段為1的乘客會(huì)轉(zhuǎn)向于時(shí)段2、3出行。

從不同ρ值下的帕累托最優(yōu)解集中選取兩端與中間三種方案與初始方案進(jìn)行對(duì)比分析，如表1所示，得出下邊信息，可以看出方案一與方案三相對(duì)于初始方案會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)目標(biāo)向相反方向變動(dòng)較大，綜合考慮目標(biāo)一、目標(biāo)二應(yīng)該可以將方案二作為參考方案。

對(duì)于方案二優(yōu)化后的列車(chē)行車(chē)間隔如表2所示，可以看出對(duì)于不同出行風(fēng)險(xiǎn)類(lèi)型的乘客所設(shè)置的列車(chē)發(fā)車(chē)間隔有所不同，但是高峰時(shí)段可以縮短發(fā)車(chē)間隔，在平峰及低谷時(shí)段可以適當(dāng)延長(zhǎng)發(fā)車(chē)間隔來(lái)緩解乘客出行需求與企業(yè)運(yùn)營(yíng)成本之間的矛盾，對(duì)于時(shí)段1的發(fā)車(chē)間隔的設(shè)置可以看出對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避乘客來(lái)說(shuō)會(huì)盡量避免高峰時(shí)刻出行，此時(shí)的發(fā)車(chē)時(shí)間間隔是相對(duì)較長(zhǎng)的，因此可以考慮不同客流出行需求分布，設(shè)置合理的發(fā)車(chē)時(shí)間間隔以緩解高峰客流列車(chē)與站點(diǎn)服務(wù)壓力并避免非高峰時(shí)段企業(yè)列車(chē)運(yùn)營(yíng)不合理現(xiàn)象。

5? 結(jié)? 論

通過(guò)考慮乘客在不確定性條件下的出行選擇，給予乘客出行成本預(yù)算，引入不同風(fēng)險(xiǎn)類(lèi)型乘客出行需求，建立上層模型考慮企業(yè)成本與乘客出行成本，下層模型考慮隨機(jī)客流分配的雙層規(guī)劃模型。通過(guò)下層模型得到配流結(jié)果調(diào)整上層模型中的軌道交通線(xiàn)路不同運(yùn)營(yíng)時(shí)段的列車(chē)發(fā)車(chē)時(shí)間間隔。從算例結(jié)果中可以知道不同風(fēng)險(xiǎn)類(lèi)型的出行乘客中，對(duì)出行風(fēng)險(xiǎn)越敏感，越多的期望高峰時(shí)段出行的乘客選擇其他時(shí)段出行，會(huì)降低高峰斷面客流，增加其他時(shí)段斷面客流量，企業(yè)可以根據(jù)實(shí)際情況選擇合理的列車(chē)行車(chē)間隔來(lái)有效控制運(yùn)營(yíng)成本提高服務(wù)質(zhì)量。

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