呂 輝，鐘順江，李振聰，曹懿莎，上官文斌，趙克剛

（1. 華南理工大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院，廣州 510641； 2. 中汽檢測(cè)技術(shù)有限公司，廣州 510530）

前言

在汽車結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中，受材料特性退化、制造裝配誤差、工況變化以及主觀經(jīng)驗(yàn)的影響，系統(tǒng)參數(shù)不可避免地存在不確定性。在實(shí)際工程中，這種參數(shù)不確定性會(huì)引起系統(tǒng)響應(yīng)（如應(yīng)力、應(yīng)變、固有特性等）產(chǎn)生波動(dòng)，并影響著結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的安全性和適用性［1］。因此，開展不確定條件下汽車結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的可靠性研究具有重要的工程意義。

在工程中，可靠性通常定義為在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)和給定的條件下，完成既定功能的能力。在傳統(tǒng)的生產(chǎn)設(shè)計(jì)中，通常采用安全系數(shù)法來(lái)減少參數(shù)波動(dòng)對(duì)系統(tǒng)性能的影響。為了確保系統(tǒng)安全可靠，往往需要設(shè)定很大的安全系數(shù)，導(dǎo)致系統(tǒng)設(shè)計(jì)過(guò)于保守。隨著不確定性理論的發(fā)展，研究人員提出了概率模型［2］、區(qū)間模型［3］、模糊模型［4］等，并基于這些模型發(fā)展出了一些成熟的可靠性分析方法。然而，以上模型通常沒(méi)有考慮參數(shù)之間的相關(guān)性，導(dǎo)致設(shè)計(jì)結(jié)果過(guò)于保守。近年來(lái)，為有效考慮不確定參數(shù)的相關(guān)性，人們提出了多維平行六面體模型（multidimensional parallelepiped model，MPM），它可以將獨(dú)立和相關(guān)的不確定參數(shù)置于一個(gè)統(tǒng)一的框架之內(nèi)進(jìn)行研究［5］。Wang 等［6］基于MPM 提出了一種使用樣本的統(tǒng)計(jì)特征獲得不確定參數(shù)的邊緣區(qū)間和相關(guān)系數(shù)的方法，并引入徑向基函數(shù)代理模型進(jìn)行了結(jié)構(gòu)不確定性分析。Zheng 等［7］基于MPM 描述具有相關(guān)性的不確定參數(shù)，提出了一種基于非概率可靠性的拓?fù)鋬?yōu)化方法。Ni 等［8］通過(guò)正則化將MPM轉(zhuǎn)化成區(qū)間模型，基于泰勒展開和鏈?zhǔn)椒▌t提出了一種不確定性分析方法，即1 階攝動(dòng)法（first-order perturbation method，F(xiàn)OPM），并分析了參數(shù)相關(guān)性對(duì)可靠性指標(biāo)的影響。近幾年，作者課題組將MPM 和蒙特卡洛仿真技術(shù)相結(jié)合，有效求解了汽車動(dòng)力總成懸置系統(tǒng)特性的不確定性響應(yīng)［9］。

可以看出，基于MPM 進(jìn)行工程問(wèn)題的不確定性和可靠性分析已經(jīng)取得了較多研究成果。隨著工程問(wèn)題日趨復(fù)雜，可能還存在一些關(guān)鍵問(wèn)題需要進(jìn)一步解決。例如，現(xiàn)有研究主要將MPM 和FOPM 相結(jié)合進(jìn)行可靠性分析，但FOPM 只有在泰勒展開點(diǎn)附近才具有較高的分析精度，也即其僅適用于處理小不確定度或弱非線性問(wèn)題。然而，在越來(lái)越復(fù)雜的汽車結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中，一些系統(tǒng)參數(shù)往往具有較大的不確定度，并且部分參數(shù)之間同時(shí)具有一定的相關(guān)性［10］。MPM和FOPM相結(jié)合的方法在處理這類復(fù)雜情形時(shí)必然會(huì)產(chǎn)生較大誤差。因此，很有必要提出一種適用于處理系統(tǒng)參數(shù)同時(shí)具有大不確定度和相關(guān)性的可靠性分析方法，以方便研究人員獲得更為精確的可靠性設(shè)計(jì)結(jié)果。

針對(duì)上述存在的問(wèn)題，本文基于MPM 建立一種多維子平行六面體模型，并在此基礎(chǔ)上提出一種子平行六面體攝動(dòng)法，用于處理汽車系統(tǒng)參數(shù)同時(shí)具有大不確定度和相關(guān)性的復(fù)雜情形；同時(shí)，基于子平行六面體攝動(dòng)法對(duì)系統(tǒng)開展不確定性及可靠性分析研究。分析方法能為汽車系統(tǒng)可靠性設(shè)計(jì)提供參考和指導(dǎo)。

1 多維平行六面體模型

在汽車結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中，多源不確定性問(wèn)題廣泛存在。MPM 可將系統(tǒng)不確定參數(shù)的獨(dú)立性與相關(guān)性置于一個(gè)統(tǒng)一的框架內(nèi)進(jìn)行研究［8］。當(dāng)給定不確定參數(shù)的邊緣區(qū)間和任意兩個(gè)不確定參數(shù)之間的相關(guān)系數(shù)時(shí)，即可構(gòu)造一個(gè)MPM 來(lái)量化系統(tǒng)參數(shù)的不確定域。

對(duì)于具有n個(gè)不確定參數(shù)Xi(i= 1，2，…，n)的n維問(wèn)題，定義Xi的邊緣區(qū)間為其不確定度為。其中和分別代表的中點(diǎn)和半徑。描述參數(shù)相關(guān)性的n維相關(guān)矩陣可定義為

基于MPM所構(gòu)建的不確定域可通過(guò)下式描述：

式中：ΔX=X-XC；T= diag(w1，w2，…，wn)；wi= 1/C=RTρ；e=(1，1，…，1)T。

為便于描述，以具有兩個(gè)不確定參數(shù)Xp和Xq的二維問(wèn)題為例，可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)建立一個(gè)包絡(luò)所有二維樣本點(diǎn)且面積最小的平行四邊形，如圖1 所示。圖1 中的點(diǎn)A定義為“起點(diǎn)”，以“起點(diǎn)A”為端點(diǎn)的兩條平行四邊形的邊定義為“邊界區(qū)間”，分別表示為和。

圖1 平行四邊形模型

在上述平行四邊形模型中，變量Xp和Xq之間的相關(guān)系數(shù)定義為

式中a和b分別表示向量EC和EB的長(zhǎng)度。

2 多維子平行六面體模型

本節(jié)將提出一種MPM 的拓展模型，即多維子平行六面體模型（multidimensional sub-parallelepiped model， MSPM）。假設(shè)n個(gè)不確定參數(shù)由一n維MPM來(lái)描述，為處理其大不確定性，將n維MPM 的每個(gè)“邊界區(qū)間”Xi*均勻劃分成m個(gè)子區(qū)間。通過(guò)這種劃分方式，總共生成mn個(gè)形狀相同但位置不同的MSPM。

由式（2）可知，為獲得每個(gè)MSPM 所描述的不確定域的表達(dá)式，需要知道每個(gè)MSPM 的形狀矩陣Csub和中心點(diǎn)坐標(biāo)。分析易知。因此，建立MSPM表達(dá)式的核心問(wèn)題為計(jì)算每個(gè)MSPM 的中心點(diǎn)坐標(biāo)。為方便分析，下面首先介紹二維的MSPM模型。

2.1 子平行四邊形模型

對(duì)于具有不確定參數(shù)X1和X2的二維問(wèn)題，假設(shè)X1和X2的邊緣區(qū)間為XI1和XI2；“邊界區(qū)間”分別為X*1和X*2。X1和X2之間的相關(guān)性可通過(guò)式（3）表示。

圖2 為一個(gè)平行四邊形不確定域，其中每個(gè)“邊界區(qū)間”被平均劃分為m=4 個(gè)子區(qū)間。計(jì)算每個(gè)子平行四邊形模型中心點(diǎn)坐標(biāo)的具體步驟如下。

圖2 子平行四邊形模型

（1）根據(jù)圖2 所示的規(guī)則使用m進(jìn)制數(shù)字(ij)m，i，j= 0，1，…，m- 1 為每個(gè)子平行四邊形編號(hào)。為的第i+ 1個(gè)子區(qū)間和的第j+ 1個(gè)子區(qū)間組成的子平行四邊形的中心。

（2）將二維情形下的式的不等號(hào)改寫為等號(hào)，可得到“起點(diǎn)A”、“邊界區(qū)間”X*1的右端點(diǎn)D以及“邊界區(qū)間”X*2的右端點(diǎn)C的坐標(biāo)為

并記A點(diǎn)坐標(biāo)為(AX1，AX2)，計(jì)算可得：

基于以上分析，任意子平行四邊形模型的不確定域的表達(dá)式為

2.2 n維子平行六面體模型

對(duì)于更一般的n維問(wèn)題，變量的邊緣區(qū)間為XIi，i= 1，2，…，n；“邊界區(qū)間”為X*=[X*1，X*2，…，X*n]T；相關(guān)矩陣ρ表示同式（1）。計(jì)算每個(gè)n維MPSM 中心點(diǎn)坐標(biāo)的具體步驟如下。

（1）使用n位m進(jìn)制數(shù)字(ij…k)m為每個(gè)n維MPSM 編號(hào)。的第i+ 1 個(gè)子區(qū)間、X*2的第j+ 1 個(gè)子區(qū)間、…、的第k+ 1 個(gè)子區(qū)間組成的n維MPSM的中心。 為

（2）將式（2）的不等號(hào)改寫為等號(hào)，可得到“起點(diǎn)A”以及所有“邊界區(qū)間”的右端點(diǎn)的坐標(biāo)。由此進(jìn)一步求得MPM 中心點(diǎn)到所有“邊界區(qū)間”右端點(diǎn)的向量坐標(biāo)。

（3）根據(jù)n維MPSM 的劃分規(guī)則以及向量加法，可得坐標(biāo)系原點(diǎn)O到任意n維MPSM 中心點(diǎn)的向量的坐標(biāo)。

“邊界區(qū)間”X*i的右端點(diǎn)的坐標(biāo)可通過(guò)求解方程C-1ΔX= -e-i得到。由此，任意“邊界區(qū)間”X*i的右端點(diǎn)坐標(biāo)為

式中：ρp是相關(guān)矩陣ρ的第p行元素組成的行向量；e-i=[11，…，1i-1，- 1i，1i+1，…，1n]T表示第i個(gè)元素為-1，其余元素為1的列向量。

基于上述過(guò)程，可得到任意n維MPSM 的中心點(diǎn)坐標(biāo)為

因此，任意n維MPSM的不確定域表達(dá)式為

3 基于MSPM 的非概率不確定性及可靠性分析

為有效地處理汽車結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中不確定參數(shù)同時(shí)具有大不確定度和相關(guān)性的問(wèn)題，本文提出了一種基于MSPM的非概率不確定性及可靠性分析方法。

3.1 非概率不確定性分析

假設(shè)系統(tǒng)響應(yīng)函數(shù)為φ(X)，為求得φ(X)的不確定邊界，將描述系統(tǒng)參數(shù)大不確定性和相關(guān)性的MPM 劃分為一定數(shù)量的MSPM。這樣不確定參數(shù)的不確定域被劃分為多個(gè)子不確定域，從而在每個(gè)子不確定域中，不確定參數(shù)只具有較小的不確定度。為便于描述，將MPSP 的n位m進(jìn)制數(shù)字編號(hào)(ij…k)m轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)字編號(hào)r=imn-1+jmn-2+…+km0+ 1，r= 1，2，…，mn。

在第r個(gè)MPSM中，系統(tǒng)響應(yīng)函數(shù)φ(X)經(jīng)正則變化轉(zhuǎn)化為Φ(δ)r。Φ(δ)r可由其在子不確定域中心點(diǎn)δC處的1階泰勒展開式近似替代：

式中：ΔXq=[0，…，ΔXq，…，0]；ΔXq為一微小增量。考慮到，系統(tǒng)響應(yīng)函數(shù)為

考慮到δi∈[ - 1，1]，i= 1，2，…，n，所以Φ(δ)r的最大值和最小值可以由下式確定：

最后，通過(guò)匯總分析所有MSPM 子不確定域中Φ(δ)的極值，可確定原大不確定度問(wèn)題的系統(tǒng)響應(yīng)函數(shù)φ(X)的上下界分別為

為表述方便，上述非概率不確定性分析方法簡(jiǎn)記為子平行六面體攝動(dòng)法（sub-parallelepiped perturbation method，SPPM）。

3.2 可靠性分析

在汽車結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中，由失效準(zhǔn)則確定的極限狀態(tài)函數(shù)為

式中：Xi(i= 1，2，…，n)為系統(tǒng)不確定參數(shù)，類似系統(tǒng)性能響應(yīng)函數(shù)；g(X)為極限狀態(tài)函數(shù)，也存在不確定性，記g(X)的最大和最小值分別為g(X)U和g(X)L。根據(jù)非概率可靠性理論，可定義系統(tǒng)的非概率可靠性指標(biāo)［11］為

當(dāng)η> 1 時(shí)，g(X)的下界大于0，系統(tǒng)可靠；當(dāng)η< -1 時(shí)，g(X)的上界小于0，系統(tǒng)失效；當(dāng)-1 <η< 1 時(shí)，g(X)可能大于0 也有可能小于0，系統(tǒng)可能可靠也可能失效。

極限狀態(tài)函數(shù)g(X)一般為由系統(tǒng)響應(yīng)函數(shù)φ(X)與常數(shù)C組成的函數(shù)，即g(X) =C±φ(X)。因此，進(jìn)行系統(tǒng)可靠性分析時(shí)，可以直接利用不確定性分析中φ(X)的上下界計(jì)算得到g(X)的上下界，由此得到系統(tǒng)的可靠性指標(biāo)η。

4 算例分析

4.1 汽車聲固耦合系統(tǒng)模型

汽車車身結(jié)構(gòu)和內(nèi)部聲場(chǎng)構(gòu)成一典型的聲固耦合系統(tǒng)。在本算例中，引用文獻(xiàn)［12］中的一簡(jiǎn)化聲固耦合模型進(jìn)行分析，如圖3所示。聲腔為空氣域，聲腔和頂部的耦合界面為彈性邊界，其余為剛性邊界。

圖3 聲固耦合系統(tǒng)模型

該系統(tǒng)中聲速c與空氣的密度ρf具有負(fù)相關(guān)性［13］，因此，設(shè)置其不確定度為30%，相關(guān)系數(shù)為-0.3。殼結(jié)構(gòu)的彈性模量E、泊松比υ、厚度t和密度ρs則設(shè)為確定參數(shù)，具體取值如表1所示。模型頂部邊界線中點(diǎn)處豎直方向上施加頻率為200 Hz 的單位正弦激振力。

表1 聲固耦合系統(tǒng)不確定參數(shù)取值

蒙特卡洛仿真（Monte Carlo simulation，MCS）在樣本規(guī)模足夠大的情況下能獲得較高的計(jì)算精度，通常用于驗(yàn)證不確定性分析方法的有效性，因此本文選取MCS 作為參考方法［14］。使用MCS、FOPM 以及SPPM 計(jì)算沿頂部邊界線分布的聲壓響應(yīng)區(qū)間，結(jié)果如圖4 所示。其中，SPPM（m）符號(hào)代表劃分m個(gè)子區(qū)間的SPPM 方法?；贛CS 的概率收斂特性，此處設(shè)置其樣本數(shù)量為10萬(wàn)。

圖4 系統(tǒng)聲壓響應(yīng)區(qū)間

鑒于系統(tǒng)聲壓響應(yīng)的數(shù)量級(jí)較小，圖4中FOPM和SPPM 的計(jì)算結(jié)果與MCS 的計(jì)算結(jié)果對(duì)比不明顯。為了清晰地展示FOPM 和SPPM 預(yù)測(cè)聲壓響應(yīng)區(qū)間的準(zhǔn)確性，圖5 給出了以MCS 為參考時(shí)，F(xiàn)OPM和SPPM計(jì)算的相對(duì)誤差。

圖5 聲壓響應(yīng)的計(jì)算誤差

從圖5可知，F(xiàn)OPM 求得的部分節(jié)點(diǎn)的聲壓響應(yīng)區(qū)間存在較大誤差。特別地，F(xiàn)OPM 計(jì)算得到的節(jié)點(diǎn)8（x=215.7 mm）的聲壓下界相對(duì)誤差高達(dá)36.39%。而對(duì)SPPM（2）來(lái)說(shuō)，除節(jié)點(diǎn)8 處的聲壓響應(yīng)下界誤差為10.19%外，其余各節(jié)點(diǎn)的聲壓響應(yīng)上下界的相對(duì)誤差均在6%以下。此外，還可知SPPM（4）和SPPM（8）求得的聲壓響應(yīng)上下界的相對(duì)誤差均在1.5%以下，較多節(jié)點(diǎn)處的相對(duì)誤差在0.1%附近。這說(shuō)明，F(xiàn)OPM求得的系統(tǒng)聲壓響應(yīng)區(qū)間差強(qiáng)人意，部分節(jié)點(diǎn)誤差比較大；SPPM（2）計(jì)算的聲壓響應(yīng)區(qū)間則較為準(zhǔn)確，而且隨著劃分多維子平行六面體數(shù)量的增多，SPPM能獲得更加精確的計(jì)算結(jié)果。

此外，MCS 計(jì)算系統(tǒng)響應(yīng)特性的時(shí)間約為112800 s；FOPM 的計(jì)算時(shí)間約為6 s；SPPM（2）、SPPM（4）和SPPM（8）的計(jì)算時(shí)間分別為22、90 和358 s。因此，相較于FOPM，提出的SPPM 在略微降低計(jì)算效率的情況下有效提高了計(jì)算精度。

對(duì)此聲固耦合系統(tǒng)進(jìn)行可靠性分析時(shí)，考慮以下極限狀態(tài)函數(shù)：

式中φ(X)為本算例中節(jié)點(diǎn)8（x= 215.7 mm）的聲壓響應(yīng)。根據(jù)式（19），基于不確定性分析的結(jié)果，可計(jì)算得到節(jié)點(diǎn)8聲學(xué)響應(yīng)特性的可靠性指標(biāo)，如表2所示。

表2 聲學(xué)響應(yīng)的可靠性指標(biāo)

從表2 可知：MCS 求得的非概率可靠性指標(biāo)為0.949，系統(tǒng)有可能失效也有可能安全；而基于FOPM求得的可靠性指標(biāo)大于1，說(shuō)明系統(tǒng)設(shè)計(jì)是絕對(duì)可靠的；基于SPPM 求得的可靠性指標(biāo)均小于1但大于-1，所以系統(tǒng)有可能失效也有可能可靠。可見(jiàn)，對(duì)系統(tǒng)參數(shù)同時(shí)具有大不確定度和相關(guān)性的聲固耦合系統(tǒng)進(jìn)行可靠性分析時(shí)，F(xiàn)OPM 帶來(lái)的誤差可能會(huì)影響可靠性分析結(jié)果，甚至造成系統(tǒng)可靠性評(píng)估錯(cuò)誤。此外，還可知隨著劃分的多維子平行六面體數(shù)量的增加，基于SPPM計(jì)算的可靠性指標(biāo)誤差隨之減小。

4.2 汽車盤式制動(dòng)器系統(tǒng)

在本算例中，將以汽車盤式制動(dòng)器系統(tǒng)的振動(dòng)穩(wěn)定性為研究對(duì)象，進(jìn)一步驗(yàn)證所提出方法的有效性。圖6 為一盤式制動(dòng)器系統(tǒng)模型，在系統(tǒng)制動(dòng)工作過(guò)程中，如果其處于不穩(wěn)定狀態(tài)，將會(huì)產(chǎn)生制動(dòng)尖叫噪聲［15］。文獻(xiàn)［15］中給出該系統(tǒng)7.2 kHz 處的制動(dòng)尖叫響應(yīng)函數(shù)為

圖6 盤式制動(dòng)器模型

式中：ζ(X)為系統(tǒng)第7階復(fù)模態(tài)阻尼比，即制動(dòng)尖叫響應(yīng)函數(shù)；f為摩擦因數(shù)；ρl為摩擦材料密度；p為制動(dòng)壓力；El為摩擦材料彈性模量。這些參數(shù)均視為不確定參數(shù)，表3給出了其不確定取值情況。

表3 制動(dòng)器系統(tǒng)不確定參數(shù)取值

在制動(dòng)器系統(tǒng)中，摩擦因數(shù)f與制動(dòng)壓力p［16］、摩擦材料的密度ρl與彈性模量El［17］通常具有一定的相關(guān)性。本算例設(shè)定不確定參數(shù)f和p的相關(guān)系數(shù)為0.3，不確定參數(shù)ρl和El的相關(guān)系數(shù)為0.3。

由MCS、FOPM 和SPPM 分別計(jì)算得到的系統(tǒng)尖叫響應(yīng)區(qū)間結(jié)果如表4 所示。其中，MCS 的樣本數(shù)為10萬(wàn)。

表4 尖叫響應(yīng)的上下界及計(jì)算誤差

從表4可知：FOPM 求得的響應(yīng)下界和上界的相對(duì)誤差較大，分別達(dá)到了27.1%和92.0%；而劃分2、4、8 個(gè)子區(qū)間的SPPM 求得的下界和上界的相對(duì)誤差分別為9.27% 和21.8%、4.81% 和4.22%、3.69%和0.17%。由此可知，隨著SPPM劃分的多維子平行六面體數(shù)量的增加，其計(jì)算的相對(duì)誤差隨之減小。在計(jì)算時(shí)間方面，MCS的計(jì)算時(shí)間約為107 s，而FOPM 和SPPM 的計(jì)算時(shí)間均小于1 s，計(jì)算效率遠(yuǎn)高于MCS。

由控制理論可知：制動(dòng)器系統(tǒng)的復(fù)模態(tài)阻尼比若為正，則系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)；反之，系統(tǒng)不穩(wěn)定。但由于對(duì)制動(dòng)器系統(tǒng)進(jìn)行仿真分析時(shí)，忽略了材料阻尼的影響，所以大部分學(xué)者將阻尼比大于-0.01視為穩(wěn)定模態(tài)［18］。因此，考慮以下極限狀態(tài)函數(shù)進(jìn)行系統(tǒng)可靠性分析：

根據(jù)式（21），基于不確定性分析的結(jié)果，可計(jì)算得到系統(tǒng)穩(wěn)定的可靠性指標(biāo)，如表5所示。

表5 制動(dòng)器系統(tǒng)穩(wěn)定性的可靠性指標(biāo)

從表5可知，基于以上3種方法計(jì)算的非概率可靠性指標(biāo)均大于-1 且小于1。因此只考慮式（21）極限狀態(tài)函數(shù)時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)可能可靠，也可能失效。另外，以MCS為參考，基于FOPM 和SPPM（2）計(jì)算的非概率可靠性指標(biāo)η的相對(duì)誤差較大。而基于SPPM（4）和SPPM（8）計(jì)算的可靠性指標(biāo)則更加接近參考值。這也同時(shí)說(shuō)明劃分多維子平行六面體的數(shù)量越多，基于SPPM計(jì)算的非概率可靠性指標(biāo)越精確。

4.3 電動(dòng)車動(dòng)力總成懸置系統(tǒng)

為再進(jìn)一步驗(yàn)證所提方法的有效性，考慮一個(gè)具有9 個(gè)不確定參數(shù)的電動(dòng)汽車動(dòng)力總成懸置系統(tǒng)（powertrain mounting system，PMS）的不確定性及可靠性分析問(wèn)題。PMS作為影響汽車舒適性的重要子系統(tǒng)之一，其固有特性分析是汽車振動(dòng)與噪聲性能分析的一項(xiàng)重要任務(wù)。圖7 為某一電動(dòng)汽車的PMS模型，布置方式為三點(diǎn)式橫向布置，電機(jī)總成質(zhì)量為92 kg。系統(tǒng)其它主要參數(shù)如表6～表8所示。

表6 總成的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和慣性積kg·m2

表7 懸置的靜剛度N/mm

表8 懸置的安裝位置mm

圖7 電動(dòng)車PMS模型

電動(dòng)車PMS 橡膠懸置的剛度參數(shù)往往具有一定的不確定性和相關(guān)性，且已有研究大多數(shù)選擇懸置剛度作為PMS 的主要研究參數(shù)。此外，對(duì)于PMS的振動(dòng)特性，通常主要關(guān)注其豎直方向（Z方向）和繞定轉(zhuǎn)子中心線旋轉(zhuǎn)方向（θY方向）的固有特性響應(yīng)。因此，本文重點(diǎn)研究PMS 各懸置的三向剛度存在不確定性和相關(guān)性時(shí)Z和θY方向的固有特性響應(yīng)。系統(tǒng)固有特性的求解過(guò)程詳見(jiàn)文獻(xiàn)［19］。

本算例中，懸置各剛度參數(shù)的不確定度取為30%，中心值如表7 所示。同一懸置的三向剛度參數(shù)之間兩兩存在相關(guān)性，設(shè)其相關(guān)系數(shù)均為0.3；而不同懸置的剛度參數(shù)則相互獨(dú)立。

使用MCS、FOPM 和SPPM 分別求得的Z和θY方向的固有特性響應(yīng)區(qū)間及相對(duì)誤差，結(jié)果如表9～表12所示。其中，MCS樣本數(shù)設(shè)為1000萬(wàn)。

表9 PMS的固有頻率Hz

表10 PMS的解耦率%

表11 固有頻率的計(jì)算誤差%

表12 解耦率的計(jì)算誤差%

從表11可知，對(duì)于固有頻率響應(yīng)，F(xiàn)OPM 求得的響應(yīng)上下界誤差均小于0.5%；而SPPM（2）求得的響應(yīng)上下界誤差均小于0.1%。從表12 可知，對(duì)于解耦率響應(yīng)，F(xiàn)OPM 在求解θY方向解耦率上下界時(shí)出現(xiàn)較大的誤差，分別為10.84%和32.15%；而SPPM（2）求得的響應(yīng)誤差則均小于2.6%。綜上所述，由于固有頻率響應(yīng)函數(shù)的非線性程度較小，F(xiàn)OPM 和SPPM都有著較高的精度；但對(duì)于非線性程度較高的解耦率函數(shù)，F(xiàn)OPM 計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)較大偏差，SPPM（2）則能更好地預(yù)測(cè)其響應(yīng)區(qū)間。在計(jì)算時(shí)間方面，MCS 的計(jì)算時(shí)間為1235.43 s，F(xiàn)OPM 耗時(shí)0.13 s，SPPM（2）耗時(shí)5.69 s，可見(jiàn)FOPM 和SPPM（2）計(jì)算效率遠(yuǎn)高于MCS。

在PMS 設(shè)計(jì)中，通常要求解耦率應(yīng)盡可能大，以獲得良好的隔振性能。一般考慮解耦率大于80%，進(jìn)而可得以下極限狀態(tài)函數(shù)：

式中：dZ(X)為Z方向的解耦率；dθY(X)為θY方向的解耦率。表13 給出了PMS 解耦率設(shè)計(jì)的可靠性指標(biāo)。

表13 解耦率的可靠性指標(biāo)

從表13 可知，以MCS 作為參考，對(duì)于可靠性指標(biāo)ηZ而言，基于FOPM 計(jì)算的相對(duì)誤差為5.45%，而基于SPPM（2）計(jì)算的相對(duì)誤差僅為1.81%；對(duì)于可靠性指標(biāo)ηθY，基于FOPM計(jì)算的相對(duì)誤差為61.56%，而基于SPPM（2）計(jì)算的相對(duì)誤差為1.01%?？梢钥闯?，基于SPPM（2）計(jì)算的可靠性指標(biāo)精度遠(yuǎn)優(yōu)于FOPM。

5 結(jié)論

（1）所提出的SPPM 方法能有效處理汽車結(jié)構(gòu)系統(tǒng)不確定參數(shù)同時(shí)具有大不確定度和相關(guān)性的問(wèn)題，傳統(tǒng)的FOPM 方法在大不確定性分析時(shí)計(jì)算精度較低，而SPPM 在略微降低計(jì)算效率的情況下有著很高的計(jì)算精度。

（2）在可靠性分析中，基于SPPM 求得的可靠性指標(biāo)更接近MCS 方法求得的參考值；FOPM 在不確定性分析中的計(jì)算誤差可能會(huì)嚴(yán)重影響可靠性分析結(jié)果，甚至造成系統(tǒng)可靠性評(píng)估錯(cuò)誤。

（3）在不確定性和可靠性分析中，SPPM 的計(jì)算結(jié)果隨劃分的多維子平行六面體數(shù)量的增加而更加精確，但計(jì)算效率會(huì)相應(yīng)降低。