王俊峰，陳吉清，蘭鳳崇，劉青山

（1. 華南理工大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院，廣州 510640；2. 華南理工大學(xué)，廣東省汽車工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣州 510640）

前言

在實(shí)際工程中，結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的不確定性和隨機(jī)性普遍存在，如制造和安裝誤差、材料模型和屬性、隨機(jī)載荷以及其他不確定因素?？煽啃苑治鲆殉蔀橐环N趨勢(shì)和必要，也是可靠性設(shè)計(jì)優(yōu)化的基礎(chǔ)環(huán)節(jié)。目前已開發(fā)了多種可靠性分析方法，1階和2階可靠性方法是分別在極限狀態(tài)面設(shè)計(jì)點(diǎn)處進(jìn)行Taylor 展開取至一次和二次項(xiàng)來(lái)近似估計(jì)故障概率，這對(duì)處理強(qiáng)非線性問題存在缺陷［1］。而蒙特卡洛（Monte Carlo， MC） 模擬作為一種替代方法，用來(lái)估計(jì)基于樣本點(diǎn)的計(jì)算模擬的故障概率，在非線性和維度上具有魯棒性，其缺點(diǎn)是在小概率問題上，需要大量樣本進(jìn)行函數(shù)評(píng)估，比較耗時(shí)。為提高模擬效率，提出了各種改進(jìn)方法，如重要抽樣（importance sampling，IS）、子集模擬［2］、線抽樣［3］、方向抽樣 （directional sampling， DS）［4］和方向重要抽樣 （directional importance sampling， DIS）［5-6］等方法，在不同程度上減少了計(jì)算負(fù)擔(dān)。

本文中對(duì)DIS 方法進(jìn)行研究，因?yàn)樵摲椒ㄔ谔幚矸蔷€性問題方面具有優(yōu)勢(shì)，其基本理論來(lái)源于DS方法［7］。Ditlevsen 等［8］結(jié)合IS 方法思想提出了DIS方法，進(jìn)一步提高了計(jì)算效率。目前DS 和DIS 方法已被應(yīng)用于結(jié)構(gòu)可靠性分析中，如時(shí)不變可靠性分析［8］、靈敏度分析［6，9-10］和可靠性優(yōu)化［11］。該方法也可與機(jī)器學(xué)習(xí)或元模型結(jié)合應(yīng)用，如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［12］和Kriging方法［13］。

在DIS 方法中，有一個(gè)重要的環(huán)節(jié)是基于設(shè)計(jì)點(diǎn)來(lái)生成重要方向矢量 （important direction vectors，IDVs）。由于向量的多維性，原始概率密度函數(shù)（probability density function， PDF） 很難直接通過編程生成IDV，因此重構(gòu)PDF 是必不可少的步驟。Gong等［14］結(jié)合DIS和徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)計(jì)算隱式極限狀態(tài)函數(shù) （limit state function， LSF） 的設(shè)計(jì)點(diǎn)，并構(gòu)建了重要性抽樣的聯(lián)合PDF，確保更多的樣本屬于失效域。Shayanfar 等［1］通過Kullbak-Leibler交叉熵度開發(fā)了一個(gè)接近最優(yōu)的采樣函數(shù)，并通過一個(gè)封閉的更新規(guī)則使其具有自適應(yīng)性。

通常使用Ditlevsen 等［8］提出的重建方法。該方法通過創(chuàng)建一個(gè)通過原點(diǎn)并與設(shè)計(jì)點(diǎn)位置矢量正交的輔助超平面，采用了降維的思路。IDV 可以被分解為設(shè)計(jì)點(diǎn)方向的向量（一維空間）和超平面上的向量（n-1 維空間）。超平面上的向量可以通過將隨機(jī)向量投射到超平面上得到，而設(shè)計(jì)點(diǎn)方向的向量則通過縮放這個(gè)方向的單位向量得到，這很容易通過程序?qū)崿F(xiàn)，該方法也被Guo 等［15］應(yīng)用。在作者之前的研究中，提出了另一種降維方法［16］，基于矢量-角度幾何映射的DIS 可靠性分析方法，先構(gòu)造重要方向角度（important direction angle， IDA） 的PDF，然后將IDA 映射到多維IDV 上。IDA 的PDF 可以分析IDA/IDV 在高斯空間的分布特征，樣本量分配方面更靈活。但該方法得到的分布函數(shù)是基于理論推導(dǎo)，涉及到積分等復(fù)雜計(jì)算，在IDVs 生成方面沒有給出高效的實(shí)施策略。

基于此，為高效生成IDVs，對(duì)復(fù)雜分布函數(shù)進(jìn)行近似構(gòu)造，利用一維拉丁超立方方法插值抽樣，快速得到具有分層均勻性的樣本。另外，從多設(shè)計(jì)點(diǎn)、多失效模式、非線性和維度等方面討論了DIS 方法的適用性和特點(diǎn)，并通過數(shù)值算例和車身工程問題進(jìn)行了驗(yàn)證，為方法的改進(jìn)以及可靠性評(píng)估提供參考。

1 方向重要抽樣與樣本生成

1.1 失效概率及其無(wú)偏估計(jì)

DS/DIS方法適用于變量服從獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的可靠性分析，設(shè)隨機(jī)向量x=(x1，x2，…，xn)T用極坐標(biāo)表示為x=RA，其中R為極半徑，A為向量x對(duì)應(yīng)的單位方向向量。在極坐標(biāo)下，DS 方法的失效概率PF可表示為［17］

式中：X、R和A分別是x、r和a的集合；φRA(r，a)為R和A的聯(lián)合PDF ；(·)為自由度為n的卡方分布的累積分布函數(shù) （cumulative distribution function，CDF）；EA( ·)表示PDF 為fA(·)的期望值；fA(·)為單位方向向量A的PDF，由于DS 方法為均勻分布，因此，fA(·)服從單位球面上的均勻分布，可由每個(gè)分量隨機(jī)生成。

生成N個(gè)樣本ai（i=1， 2， ... ，N），如圖1所示，以二維空間為例，每個(gè)ai對(duì)應(yīng)一個(gè)子失效域Fi（i=1，2， ... ，N），并指向子失效域面的中心點(diǎn)di（i=1，2， ... ，N）。這些中心點(diǎn)也位于實(shí)際的極限狀態(tài)失效面g（x）=0 上。容易看出，極限狀態(tài)下的失效面是由一系列子失效域面近似組成。因此，失效概率可近似描述為

圖1 DS方法樣本與失效域示意圖

為提高模擬效率，利用IS 方法的思想，可讓更多的樣本矢量指向?qū)κЦ怕视休^大貢獻(xiàn)的區(qū)域，即與設(shè)計(jì)點(diǎn)矢量夾角在90°范圍內(nèi)的重要區(qū)域。如圖2 所示，以二維高斯空間為例，過原點(diǎn)的虛線與設(shè)計(jì)點(diǎn)矢量aX互相垂直，虛線作為分界線，其矢量aX所在的一側(cè)區(qū)域作為重要區(qū)域，該區(qū)域重要方向矢量 （IDVs） （如a1和a2） 與aX構(gòu)成重要方向角（IDAs） （如θ1和θ2，均小于90°）?；诖耍珼itlevsen等［8］提出了DIS方法，通過構(gòu)建一個(gè)重要性PDF來(lái)代替原來(lái)的均勻PDF （即fA(·)），實(shí)現(xiàn)更多的IDVs 被引導(dǎo)到重要區(qū)域，從而提高抽樣效率并加快了仿真過程的收斂速度。

圖2 重要區(qū)域、重要矢量和重要角

假設(shè)IDV 的PDF 為hA（a），DIS 方法失效概率由式 （1） 改寫為［18］

由DIS 方法產(chǎn)生N個(gè)樣本，失效概率的無(wú)偏估計(jì)為［17］

式中1.96表示置信水平為95%對(duì)應(yīng)的系數(shù)。

1.2 分布函數(shù)與樣本生成流程

DIS方法的重要PDFhA（a） 可描述為

式中：Φ(·)表示標(biāo)準(zhǔn)高斯分布的CDF；β為可靠性指標(biāo)；＞0 表示a與設(shè)計(jì)點(diǎn)矢量aX夾角小于90°，即a屬于重要方向矢量；≤0 表示矢量a沒有指向重要區(qū)域，因此，對(duì)應(yīng)概率為0。

為更好地適應(yīng)各種失效面，對(duì)DS 和DIS 的PDF進(jìn)行加權(quán)求和，加權(quán)hA(a)可表示為

從式（7）可以看出，DIS 的PDF 是關(guān)于矢量建立的，文獻(xiàn)［17］應(yīng)用接受/拒絕采樣方式生成IDVs，需要大量的樣本作為代價(jià)，效率較低，比較通用的是Ditlevsen 等［8］提出的抽樣方法，首先是隨機(jī)抽樣，即均勻方向抽樣，然后對(duì)n維隨機(jī)向量X進(jìn)行分解，如圖3所示。位于過原點(diǎn)并與ZL平行的n-1維超平面Z⊥上。加入一個(gè)隨機(jī)變量V，假設(shè)V的CDF為

圖3 DIS方法抽樣示意圖

矢量X+(V-aTXX)αX便服從式 （7） 的概率分布。向量的分布函數(shù)轉(zhuǎn)換為一個(gè)一維變量V的分布函數(shù)，容易實(shí)現(xiàn)抽樣。采用逆CDF 方法對(duì)V進(jìn)行抽樣，即v=F-1V(u)，u是服從均勻分布U（0，1） 的隨機(jī)數(shù)。逆CDF表示如下：

通過這種方式，可獲得服從式 （7） 分布的IDVs。用到的參數(shù)有可靠性指標(biāo)β、變量維度n以及權(quán)重系數(shù)p。文獻(xiàn)［18］中對(duì)該方法的編程實(shí)現(xiàn)提供了開源代碼。

2 矢量-角度幾何映射的DIS 抽樣函數(shù)近似構(gòu)造

2.1 矢量-角度幾何映射的DIS抽樣方法

上節(jié)介紹一種生成IDVs 的抽樣函數(shù)，從圖3 可以看出，IDAs 是由X和V共同決定，由于X為隨機(jī)矢量樣本，因此難以控制IDAs，即少量樣本情況下可能導(dǎo)致分布特征不準(zhǔn)確。而矢量-角度幾何映射的DIS 抽樣函數(shù)可有效避免這個(gè)問題，接下來(lái)介紹該方法原理以及編程實(shí)現(xiàn)。

矢量-角度幾何映射的DIS 抽樣函數(shù)同樣是把向量的重要性PDF轉(zhuǎn)化為一個(gè)一維的PDF。雖然向量每個(gè)維度的分量不易控制，但每個(gè)向量與設(shè)計(jì)點(diǎn)的角度是一維的，如果確定了角度，便可通過幾何映射生成相應(yīng)矢量。因此需要把矢量的重要性PDF轉(zhuǎn)換為角度的PDF，通過生成IDAs 再映射到對(duì)應(yīng)的IDVs。這是該方法的基本原理［16］。如圖4所示，θ為IDA，單位向量aV便是θ對(duì)應(yīng)的IDV。單位向量aV可由下式計(jì)算得到：

圖4 基于矢量-角度映射的DIS方法抽樣示意圖

式中：aX為單位化的設(shè)計(jì)點(diǎn)向量；bZ是由上節(jié)超平面Z⊥上隨機(jī)向量X-aTXXaX單位化后的結(jié)果。得到的aV同樣為單位向量，且與aX的夾角為θ。

而θ的重要性PDF 可在超球坐標(biāo)系下，利用矢量與角度的概率關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)，推導(dǎo)過程可參考之前的研究工作［16］，θ為IDA，因此θ∈[0°，90°)，則

式中：gθ(θ|β，n)是關(guān)于θ的PDF，與上節(jié)方法類似，同樣涉及到參數(shù)可靠性指標(biāo)β和變量維度n，此處并沒有對(duì)PDF 進(jìn)行歸一化處理；Q(β，n)是關(guān)于β和n的函數(shù)，即β和n確定后，Q(β，n)也唯一確定。β和n對(duì)樣本分布的影響在文獻(xiàn)［16］中有具體討論。

得到的PDF 對(duì)應(yīng)式 （6） 的PDF，因此，不涉及到參數(shù)p。而關(guān)于DS 與DIS 方法的加權(quán)組合，計(jì)算方式與上節(jié)不同，而是以p為權(quán)重進(jìn)行樣本量分配。假設(shè)樣本量為N，則用于DS 方法抽樣的樣本量為N×p，用于DIS 方法抽樣的樣本量為N×(1 -p)，如果不是整數(shù)，進(jìn)行圓整，獲得樣本后再根據(jù)式 （7） 分別做可靠性分析，得到PDS和PDIS。最后計(jì)算總體失效概率為

2.2 抽樣函數(shù)近似構(gòu)造及插值編程實(shí)現(xiàn)

上節(jié)提出利用IDAθ來(lái)映射生成IDV 的方法，但θ的PDF 較復(fù)雜，同時(shí)還涉及到β和n兩個(gè)參數(shù)，難以給出類似式 （9） 的逆CDF 顯式表達(dá)。面對(duì)不同的可靠性問題，即β和n變化時(shí)，PDF 表達(dá)式也會(huì)發(fā)生改變。文獻(xiàn)［16］中也沒有提出高效的解決方案。一個(gè)解決思路是可利用近似代理模型來(lái)解決，比如利用響應(yīng)面或機(jī)器學(xué)習(xí)構(gòu)造分布函數(shù)的代理模型，然而若對(duì)β和n兩個(gè)參數(shù)所有可能值同時(shí)考慮到近似模型中，需要大量的樣本去學(xué)習(xí)和驗(yàn)證，比較繁瑣和耗時(shí)。

本文中提出一種高效解決方法，利用插值函數(shù)近似構(gòu)造，無(wú)須對(duì)β和n兩個(gè)參數(shù)的所有值都進(jìn)行學(xué)習(xí)，而是根據(jù)β和n的值實(shí)時(shí)更新模型，具體步驟如下。

首先，把IDA 均勻分為m個(gè)連續(xù)的小區(qū)間，每個(gè)區(qū)間間距看做一個(gè)步長(zhǎng)，近似認(rèn)為每個(gè)步長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的PDF 是相同的，計(jì)算每個(gè)步長(zhǎng)中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的PDF 值pi（i=1， 2， … ，m）。則第j（j=1， 2， … ，m） 個(gè)節(jié)點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)化后的累計(jì)值Pj為

式 （13） 便是近似的CDF 對(duì)應(yīng)值，完成近似構(gòu)造。近似精度受步長(zhǎng)大小的影響，如圖5 所示，展示不同步長(zhǎng)下近似的標(biāo)準(zhǔn)高斯分布曲線?？梢钥闯?，步長(zhǎng)區(qū)間越小越精確。

圖5 不同步長(zhǎng)近似正態(tài)分布曲線

其次，實(shí)現(xiàn)均勻分層抽樣，設(shè)樣本量為N，對(duì)分布值區(qū)間［0， 1］均勻等分，可以用一維拉丁超立方函數(shù)實(shí)現(xiàn)。得到N個(gè)樣本對(duì)應(yīng)的概率值Ps（s=1，2， … ，N），進(jìn)一步利用一維線性插值方法計(jì)算對(duì)應(yīng)的角度。為保證精度，區(qū)間數(shù)量m要盡量大，且大于樣本量N。

編程實(shí)現(xiàn)時(shí)，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)插值點(diǎn)不唯一，導(dǎo)致執(zhí)行程序出錯(cuò)，為此，提出了兩種改善策略：一是提高編程環(huán)境的數(shù)字精度，并對(duì)式 （13） 每個(gè)節(jié)點(diǎn)累加浮點(diǎn)相對(duì)精度；另一種方式是找到樣本概率值最近的節(jié)點(diǎn)作為插值點(diǎn)。兩種方式用“try”函數(shù)組合起來(lái)，如果一維插值方式?jīng)]有任何語(yǔ)句生成錯(cuò)誤則不執(zhí)行第二種方式，否則執(zhí)行第二種方式。插值方法還可以通過Kriging 元模型進(jìn)行構(gòu)造，這里不做進(jìn)一步闡述。

編程時(shí)式 （11） 可不引入Q(β，n)函數(shù)，因?yàn)棣潞蚽確定時(shí)，Q(β，n)也唯一確定，不影響式 （13） 歸一化結(jié)果，這也是式 （11） 沒有采用文獻(xiàn)［16］中提出的歸一化公式的原因，減少了積分等復(fù)雜計(jì)算，提高了運(yùn)算效率。

以設(shè)計(jì)點(diǎn)D（0， 1） 的二維空間為例，比較上節(jié)原方法與本文提出方法產(chǎn)生樣本的分布情況。圖6給出10 和20 個(gè)單位矢量樣本在某個(gè)隨機(jī)種子下的分布。從計(jì)算用時(shí)可以看出，所提方法在計(jì)算效率上并沒有降低，且產(chǎn)生的樣本分布具有分層均勻性，避免樣本聚集。而原方法在設(shè)計(jì)點(diǎn)貢獻(xiàn)大的地方缺失樣本，還可能存在部分樣本聚集的現(xiàn)象，導(dǎo)致分布不均勻。在樣本多的情況下，兩種方法趨于一致。

圖6 兩種方法抽樣對(duì)比

3 多設(shè)計(jì)點(diǎn)與多失效模式評(píng)估策略

在實(shí)際工程中，可能存在多個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)或失效域，如果考慮一個(gè)失效域，其他重要域就會(huì)被忽略，就會(huì)得到一個(gè)被低估的結(jié)果。因此，針對(duì)不同失效形式，評(píng)估策略是分別計(jì)算每個(gè)失效域的失效概率，然后加權(quán)求和，類似式 （12）。設(shè)共k個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的可靠度為βi(i= 1，2，...，k)，第i個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)失效域的權(quán)重為［17］

根據(jù)2.1 節(jié)所述，分配到DIS 方法的樣本量為N×(1 -p)，這些樣本再分配到第i個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)失效域的樣本量為N×(1 -p) ×wi，同樣需要圓整。則式（12） 中PDIS的具體形式為

在一些多性能約束的優(yōu)化設(shè)計(jì)或可靠性分析中，涉及到不同失效模式，包括串聯(lián)失效系統(tǒng)和并聯(lián)失效系統(tǒng)：串聯(lián)系統(tǒng)的失效域是所有失效域的并集，即違反任何一個(gè)約束都是失效的；而并聯(lián)系統(tǒng)的失效域是所有失效域的交集，即所有約束都違反時(shí)才失效。因此，在多性能函數(shù)約束的可靠性分析中，考慮不同失效模式具有重要意義。r（a）求解時(shí)應(yīng)滿足［17］：

式中L表示失效LSF的數(shù)量，也可以用LSF的形式描述，設(shè)gi為第i個(gè)LSF的表達(dá)式，有

4 算例

本數(shù)值算例［19］變量為二維，能以圖解的形式更直觀地展示該方法在處理串聯(lián)失效模式和并聯(lián)失效模式的特征和效果，同時(shí)利用數(shù)值積分方法計(jì)算了失效概率的解析解，來(lái)驗(yàn)證該方法的準(zhǔn)確性。該算例包含兩個(gè)LSF：

串聯(lián)與并聯(lián)失效域及其設(shè)計(jì)點(diǎn)如圖7 所示。陰影區(qū)域?yàn)榇?lián)系統(tǒng)失效域，陰影區(qū)域交集部分為并聯(lián)系統(tǒng)失效域，并聯(lián)系統(tǒng)設(shè)計(jì)點(diǎn)為g1=g2= 0 的交點(diǎn)q*，其坐標(biāo)為 （1.6184， 2.7806）。串聯(lián)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)點(diǎn)包括3 個(gè)，其設(shè)計(jì)點(diǎn)可靠度分別為β1、β2和β3。串、并聯(lián)失效概率的解析解分別為

圖7 數(shù)值算例串并聯(lián)失效域及設(shè)計(jì)點(diǎn)

式 （19） 與式 （20） 作為串聯(lián)系統(tǒng)與并聯(lián)系統(tǒng)的失效概率基準(zhǔn)值，對(duì)兩種失效模式分別以樣本量為20、40、100、150 和200 進(jìn)行DIS 模擬。失效域均在設(shè)計(jì)點(diǎn)所在的重要區(qū)域，因此參數(shù)p設(shè)為0，即不需要進(jìn)行DS 方法模擬。圖8 展示了樣本量為20 時(shí)的模擬示意圖。

圖8 模擬串并聯(lián)失效示意圖

每組樣本仿真30 次，串并聯(lián)結(jié)果分別如圖9 和圖10 所示。兩種失效模式的模擬結(jié)果分布類似，不同樣本下箱圖分布幾乎都在10%的誤差以內(nèi)，且平均值接近基準(zhǔn)值，模擬結(jié)果精度高。隨著樣本的增加，誤差減小，并收斂到基準(zhǔn)值，具有較強(qiáng)的魯棒性和準(zhǔn)確性。

圖9 串聯(lián)失效模擬結(jié)果分布

圖10 并聯(lián)失效模擬結(jié)果分布

5 車身彎扭剛度可靠性分析

白車身的彎曲和扭轉(zhuǎn)剛度對(duì)車輛性能有重要影響，比如噪聲、振動(dòng)與聲振粗糙度（noise、vibration、harshness， NVH）、安全性、操控性能以及穩(wěn)定性，還影響車身輕量化程度，是開發(fā)過程的一個(gè)關(guān)鍵參數(shù)，代表車輛的核心競(jìng)爭(zhēng)力［20］。本案例將所提方法應(yīng)用于某白車身彎扭剛度的可靠性評(píng)估中［21］，以解決一個(gè)實(shí)際工程問題。

取其中8 個(gè)鈑金件的厚度作為設(shè)計(jì)變量，結(jié)構(gòu)示意圖如圖11 所示，變量均服從正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)差為0.05，均值與設(shè)計(jì)變量取值范圍見表1。

表1 變量名稱及其取值mm

圖11 白車身部分結(jié)構(gòu)件

模型豎直（重力）方向?yàn)閆方向，施加在門檻梁上的力Fb與施加在減振塔上的力Ft均是Z向力，彎曲工況下左側(cè)和右側(cè)門檻梁下方節(jié)點(diǎn)在Z向變形最大值分別設(shè)為dLmax和dRmax，設(shè)d為減振塔載荷作用點(diǎn)的距離，扭轉(zhuǎn)工況下減振塔左右加載點(diǎn)的Z向位移分別是dL和dR，可以得到彎曲剛度Kb和扭轉(zhuǎn)剛度Kt的計(jì)算公式：

定義彎曲剛度和扭轉(zhuǎn)剛度的下限分別是Kbmin和Ktmin，若研究同時(shí)失效的概率，屬于并聯(lián)系統(tǒng)，則LSF表示為

復(fù)雜工程問題的輸入和輸出響應(yīng)為黑箱問題，沒有顯式表達(dá)，因此需要進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì) （design of experiment， DOE），算法采用拉丁超立方采樣，對(duì)8個(gè)變量創(chuàng)建DOE 模型，DOE 分析后利用二次響應(yīng)面法擬合出式 （21） 的近似代理模型，Kb與Kt擬合的確定系數(shù)R-square分別為0.999和0.998，接近1，表明擬合精度高。

進(jìn)一步建立式 （22） 的LSF 進(jìn)行可靠性分析。由于變量較多，通過數(shù)值積分計(jì)算失效概率不再適用，則以樣本量為106的MC 方法模擬10 次的平均值作為基準(zhǔn)。

以5組不同樣本量為例，分別模擬30次，并根據(jù)式 （5） 計(jì)算95%置信誤差限。結(jié)果誤差分布如圖12 所示。誤差條顯示第25%、50%和75%分位數(shù)的誤差值，從5 組結(jié)果看，75%分位數(shù)誤差分布均在95%置信誤差限內(nèi)，誤差估計(jì)從樣本量為80起，75%的結(jié)果相對(duì)誤差均在10%以內(nèi)。

圖12 DIS模擬結(jié)果誤差分布

5 組模擬結(jié)果的平均值與MC 方法的基準(zhǔn)值比較如表2 所示。平均值相對(duì)誤差隨樣本增加而減小，但最大誤差也只有2%左右，精度夠高，且從圖12 可以看出，隨著樣本增加，誤差限變化不再顯著。因此，綜合權(quán)衡計(jì)算成本和精度，可采用小樣本量多次模擬求平均值的方式獲得高精度的結(jié)果。

表2 5組DIS模擬結(jié)果的平均值及誤差

6 結(jié)論

提出一種方向重要抽樣方法分布函數(shù)的近似插值構(gòu)造方法，先確定一維變量角度的分布函數(shù)，利用拉丁超立方采樣，獲取的重要角度分布具有分層均勻性。由重要角度再映射到矢量樣本，有效避免了聚集現(xiàn)象。

利用權(quán)重分配方法進(jìn)行樣本分配，靈活處理非線性、多失效模式和多設(shè)計(jì)點(diǎn)的問題，通過數(shù)值算例和車身彎扭剛度的可靠性問題驗(yàn)證了該方法的適用性和準(zhǔn)確性。在少量樣本的情況下，也可以得到穩(wěn)定的結(jié)果，樣本量的選擇可以參考置信度誤差限，有助于權(quán)衡并控制精度與計(jì)算成本。采用多次模擬求平均值可以得到更加趨于準(zhǔn)確的結(jié)果。