數(shù)字嵌入詩(shī)詞，早已有之。鄭板橋有詠雪詩(shī)：

一片兩片三四片，

五六七八九十片。

千片萬(wàn)片無(wú)數(shù)片，

飛入梅花都不見(jiàn)。

詩(shī)句抒發(fā)了詩(shī)人對(duì)漫天雪舞的感受。不過(guò)，詩(shī)中盡管嵌入了數(shù)字，卻實(shí)在和數(shù)學(xué)沒(méi)有什么關(guān)系。數(shù)學(xué)和古典人文的聯(lián)接，貴在意境。不妨從徐利治先生的一段往事說(shuō)起。大約在1993年，在無(wú)錫黿頭渚開(kāi)過(guò)一次數(shù)學(xué)方法論的研討會(huì)。有一天下午，徐先生作報(bào)告。他說(shuō)了一個(gè)故事：

“我在數(shù)學(xué)分析課堂上，先在黑板上寫了李白的名詩(shī)：

故人西辭黃鶴樓，

煙花三月下?lián)P州。

孤帆遠(yuǎn)影碧空盡，

唯見(jiàn)長(zhǎng)江天際流。

然后問(wèn)同學(xué)們哪一句可以和極限概念相通？大家的共同回答是‘孤帆遠(yuǎn)影碧空盡’。這說(shuō)明，數(shù)學(xué)和詩(shī)詞是可以溝通的?！?/p>

徐先生的演講觸動(dòng)了我的心弦。我似乎看到了數(shù)學(xué)和人文意境互相溝通的隧道。徐先生的例子事關(guān)“無(wú)限”。無(wú)限，乃是數(shù)學(xué)家和人文學(xué)者都要面對(duì)的問(wèn)題。彼此解決的途徑可以不同，但是思考時(shí)的意境必然會(huì)有相似之處。

于是，我接著思考有關(guān)“無(wú)限”的詩(shī)句。首先想到的是陳子昂的《登幽州臺(tái)歌》：

前不見(jiàn)古人，

后不見(jiàn)來(lái)者。

念天地之悠悠，

獨(dú)愴然而涕下！

一般的語(yǔ)文解釋說(shuō)：前兩句俯仰古今，寫出時(shí)間綿長(zhǎng)；第三句登樓眺望，寫出空間遼闊；第四句描繪了在廣闊無(wú)垠的背景中，詩(shī)人孤單寂寞悲哀苦悶的情緒，兩相映照，分外動(dòng)人。而從數(shù)學(xué)上看來(lái)，這是一篇闡發(fā)時(shí)間和空間感知的佳作。前兩句表示時(shí)間可以看成是一條直線（一維空間）：陳老先生以自己為原點(diǎn)，“前不見(jiàn)古人”指時(shí)間可以延伸到負(fù)無(wú)窮大，“后不見(jiàn)來(lái)者”則意味著未來(lái)的時(shí)間是正無(wú)窮大。后兩句則描寫三維的現(xiàn)實(shí)空間：天是平面，地是平面，悠悠地張成三維的立體幾何環(huán)境。全詩(shī)將時(shí)間和空間放在一起思考，感到自然之偉大，產(chǎn)生了敬畏之心，以至愴然涕下。這樣的意境，數(shù)學(xué)家和文學(xué)家可以共有。尤其是，把時(shí)間和空間放在一起思考，可以說(shuō)也在意境上與愛(ài)因斯坦的四維時(shí)空學(xué)說(shuō)相銜接。我把這一想法和語(yǔ)文學(xué)者交談，他們也覺(jué)得很有意思。但是，在應(yīng)試教育盛行的標(biāo)準(zhǔn)化考試面前，這無(wú)論如何不能算標(biāo)準(zhǔn)答案，無(wú)法進(jìn)入語(yǔ)文研究的視野。

無(wú)限有兩種：其一為沒(méi)完沒(méi)了的“潛無(wú)限”，其二是“將無(wú)限一覽無(wú)余”的“實(shí)無(wú)限”。有一次，一個(gè)朋友來(lái)家閑坐，談起0.9999……=1對(duì)不對(duì)時(shí)，他隨口說(shuō)數(shù)列的無(wú)限就像長(zhǎng)江流水滾滾來(lái)。這促使我想起杜甫的名詩(shī)《登高》中的兩句：

無(wú)邊落木蕭蕭下，

不盡長(zhǎng)江滾滾來(lái)。

前句指的是“實(shí)無(wú)限”，即實(shí)實(shí)在在全部完成了的無(wú)限過(guò)程、已經(jīng)被我們掌握了的無(wú)限?！盁o(wú)邊落木”就是指“所有的落木”，這個(gè)實(shí)無(wú)限集合，已被我們一覽無(wú)余。后句則是所謂“潛無(wú)限”，它沒(méi)完沒(méi)了，不斷地“滾滾”而來(lái)。盡管到現(xiàn)在為止，還是有限的，卻永遠(yuǎn)不會(huì)停止。數(shù)學(xué)的無(wú)限顯示出“冰冷的美麗”，杜甫詩(shī)句中的“無(wú)限”則體現(xiàn)出悲壯的人文情懷，但是在意境上，彼此是聯(lián)通的。

我的第二波思考是將數(shù)學(xué)思想方法和古詩(shī)意境聯(lián)接起來(lái)。有一年，我在河內(nèi)參加一個(gè)會(huì)議。新加坡南洋大學(xué)的李秉彝教授和我同住一個(gè)旅店。他喜歡到古玩街閑逛，有一天收來(lái)一把茶壺，上面有詩(shī)句：

松下問(wèn)童子，言師采藥去。

只在此山中，云深不知處。

品玩之余，我們突然感覺(jué)到這首小詩(shī)在人文意境上和數(shù)學(xué)存在性定理彼此相通。文學(xué)家欣賞“云深不知處”的蒼茫意境，而數(shù)學(xué)家則會(huì)關(guān)注難以名狀的一種不確定性。隱者在哪里？“云深不知處”，但是他確實(shí)就在此山中。與數(shù)學(xué)的意境何等契合！

數(shù)學(xué)上常用反證法。你要駁倒一個(gè)論點(diǎn)，只要將此論點(diǎn)假定為正確，然后據(jù)此推出明顯錯(cuò)誤的結(jié)論，就可以推翻原論點(diǎn)。蘇軾的一首《琴詩(shī)》就是這樣做的：

若言琴上有琴聲，

放在匣中何不鳴？

若言聲在指頭上，

何不于君指上聽(tīng)？

意思是，如果“琴上有琴聲”是正確的，那么放在匣中應(yīng)該“鳴”?，F(xiàn)在既然“不鳴”，那么原來(lái)的假設(shè)“琴上有琴聲”就是錯(cuò)的。由此可見(jiàn)，人文的論辯和數(shù)學(xué)的證明，都需要遵循邏輯規(guī)則。

最近，我開(kāi)始第三波的數(shù)學(xué)意境研究，將數(shù)學(xué)問(wèn)題求解的過(guò)程，用古詩(shī)意境加以比喻。這里也有一些例子。

首先是關(guān)于黎曼積分和勒貝格積分。蘇軾《題西林壁》詩(shī)云：

橫看成嶺側(cè)成峰，

遠(yuǎn)近高低各不同。

不識(shí)廬山真面目，

只緣身在此山中。

將前兩句比喻為黎曼積分和勒貝格積分的關(guān)系，相當(dāng)有趣。蘇軾詩(shī)意是：同是一座廬山，橫看和側(cè)看各不相同。勒貝格則說(shuō)，比如數(shù)一堆疊好了的硬幣，你可以一疊疊豎著數(shù)，也可以一層層橫著數(shù)，同是這些硬幣，計(jì)算的思想方法卻差異很大。橫看和側(cè)看，數(shù)學(xué)意境和人文意境竟可以相隔時(shí)空得到共鳴，發(fā)人深思。

另一個(gè)實(shí)例是局部和整體。仔細(xì)琢磨一下微積分的核心思想之一，在于考察一點(diǎn)的局部。研究曲線上一點(diǎn)的切線，只考慮該點(diǎn)本身不行，必須考察該點(diǎn)周圍的一些點(diǎn)，這就是局部的思想。一點(diǎn)的局部，只是考察該點(diǎn)的“附近”，卻沒(méi)有遠(yuǎn)近的確切要求。這種小大由之的概念，頗有一些哲學(xué)意味，它需要從意境上加以把握。為什么考察一個(gè)人，要問(wèn)他/她的身世、家庭、社會(huì)關(guān)系？也是因?yàn)槿耸且跃植慷嬖诘?。孤立地考察一個(gè)人是不行的。微積分學(xué)就是突破了初等數(shù)學(xué)“就事論事”、孤立地考察一點(diǎn)、不及周圍的靜態(tài)思考，轉(zhuǎn)而用動(dòng)態(tài)地考察“局部”的思考方法，終于創(chuàng)造了科學(xué)的黃金時(shí)代?？墒牵F(xiàn)在的微積分教材，對(duì)此只字不提，頗覺(jué)遺憾。

考察局部，何止于微積分？最近讀到韓愈的詩(shī)句：

天街小雨潤(rùn)如酥，

草色遙看近卻無(wú)。

突然想到，詩(shī)的第二句當(dāng)是闡述拓?fù)鋵W(xué)上局部和整體的一種文學(xué)意境描寫。就曲面來(lái)說(shuō)，遠(yuǎn)看可以有整體的區(qū)分，例如球面和環(huán)面。但是，近看卻都差不多，都是一個(gè)“圓片”：二維的歐氏平面的局部。這正如整體的草色只能“遙看”，一旦近了，到局部狀態(tài)，那種“草色”就“近看無(wú)”了。

數(shù)學(xué)和人文意境的溝通，還有許多其他的例子。比如《道德經(jīng)》所言的“道生一，一生二，二生三，三生萬(wàn)物”，就和自然數(shù)的皮亞諾公理庶幾相近。

（源自“中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)通訊”）

責(zé)編：潘茜