廣東省肇慶學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院(526061) 邢志濤

廣東省肇慶市端城小學(xué)(526061) 劉海霞

1 引言

2020年5月,教育部頒布《高等學(xué)校課程思政建設(shè)指導(dǎo)綱要》[1]中強(qiáng)調(diào),“培養(yǎng)什么人,怎樣培養(yǎng)人,為誰培養(yǎng)人是教育的根本問題,立德樹人成效是檢驗(yàn)高校一切工作的根本標(biāo)準(zhǔn)”.在此背景下,作為從事幾何教學(xué)的一線教師,結(jié)合學(xué)科特點(diǎn),引導(dǎo)學(xué)生積極探索問題之間的內(nèi)在聯(lián)系,本身就是運(yùn)用馬克思主義的方法論來對(duì)待問題,是符合思政教育精神的.

“點(diǎn)與直線位置關(guān)系”是解析幾何中最簡(jiǎn)單的一類位置關(guān)系,涉及到點(diǎn)與直線上的點(diǎn)的連線長(zhǎng)度,三角形的周長(zhǎng),視角等方面的問題.本文以Heron 定理為出發(fā)點(diǎn),以“點(diǎn)與直線位置關(guān)系”的相關(guān)問題為研究對(duì)象,從淺入深的探索同一問題之間的多種表達(dá)方式以及問題之間的內(nèi)在聯(lián)系,以達(dá)到引導(dǎo)學(xué)生思考,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力的目的.

2 “點(diǎn)與直線位置關(guān)系”的相關(guān)問題

直線外的點(diǎn)與直線上的點(diǎn)的連線問題是“點(diǎn)與直線位置關(guān)系”引起的最常見的一類問題.從最簡(jiǎn)單的問題入手,逐步深入,能對(duì)較復(fù)雜的問題肅清源頭,加深對(duì)問題的理解.

設(shè)P,Q為直線l異側(cè)的兩點(diǎn),顯然P與Q的連線和直線l的交點(diǎn)R能使PR+RQ是由P經(jīng)直線l再到Q的最短路徑,見圖2所示.若P,Q為直線l同側(cè)的兩點(diǎn),上述問題如何回答呢?

Heron 定理[2]如圖1所示,設(shè)P,Q為直線l同側(cè)的兩點(diǎn),則Q關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)Q′與P的連線與直線l的交點(diǎn)R能使PR+RQ是由P經(jīng)直線l再到Q的最短路徑.

Heron 定理是與對(duì)稱點(diǎn)密切相關(guān)的,也就是說,一對(duì)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)與該直線上任一點(diǎn)的連線長(zhǎng)是相等的.運(yùn)用這一思想可以解決很多與此相關(guān)的問題.以上述定理為起點(diǎn),接下來構(gòu)造與此相關(guān)的一系列的問題,并探討這些問題之間的聯(lián)系.

圖1 Heron 定理圖示

圖2 例1 圖示

例1如圖2,在平面坐標(biāo)系下,設(shè)P(1,2),Q(2,-4).在x軸上求一點(diǎn)R,使得PR+RQ最小.

解顯然,連接P(1,2),Q(2,-4)的直線x軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn).不難得到直線lPQ的方程為6x+y-8=0,取y=0,則x=為所求點(diǎn).

如果將例1 的問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式,就可以得到下面的問題,這一類問題往往出現(xiàn)在體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合這一數(shù)學(xué)思想方法的典型例子.

例2求使取得最小值的x的值.

解法1在平面坐標(biāo)系下,設(shè)P(1,2),Q(2,-4),R(x,0)為x軸上一點(diǎn),則應(yīng)用例1 解法即可.若設(shè)P(1,2),Q(2,4),R(x,0)為x軸上一點(diǎn),即求x軸上一點(diǎn)R,使PR+RQ最短,根據(jù)Heron 定理,Q關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)Q′(2,-4)與P(1,2)的連線與x軸的交點(diǎn)R即為所求點(diǎn).

解法2設(shè)a={x-1,2},b={x-2,-4},則原問題轉(zhuǎn)化為求|a|+|b|的最小值,由于|a+b|≤|a|+|b|,并且等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)a,b同向時(shí)成立.則有這時(shí)顯然a,b同向,x=為所求點(diǎn).

比較Horen 定理,一個(gè)很自然的結(jié)論是: 設(shè)P,Q為直線l同側(cè)的兩點(diǎn),并且P,Q的連線與直線l不平行,則P,Q的連線與直線l的交點(diǎn)R能使|PR-RQ|=PQ為最大值,而直線l上的其它點(diǎn)R′與P,Q的連線的長(zhǎng)度差|PR′-RQ|＜PQ,如圖3所示.

圖3 直線同側(cè)點(diǎn)連線與直線交點(diǎn)

由于一對(duì)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)與該直線上任一點(diǎn)的連線長(zhǎng)相等,若P,Q為直線l異側(cè)的兩點(diǎn),并且P,Q與直線l的距離不相等,則Q關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)Q′與P的連線與直線l的交點(diǎn)R使|PR-RQ|取得最大值,如圖4所示.

圖4 直線異側(cè)點(diǎn)與直線上的點(diǎn)連線

例3如圖1,在平面坐標(biāo)系下,設(shè)P(1,2),Q(2,-4).在x軸上求一點(diǎn)R,使得|PR-RQ|取得最大值.

解根據(jù)圖3和圖4的討論,做Q點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)Q′(2,4),則lPQ＇的方程為x-y+1=0,令y=0,則x=-1 即為所求點(diǎn).

將例3 的問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式,就可以得到下面的問題,類似的例子常以數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用出現(xiàn)在教學(xué)參考書中,可參考[3,4].

例4求f(x)=的最大值點(diǎn).

分析這一代數(shù)式表示的函數(shù)既有根式還有絕對(duì)值,如果想不到幾何方法,只用代數(shù)的方法去解決,運(yùn)算會(huì)非常繁瑣,容易出錯(cuò).如果通過對(duì)問題中的式子做變形,并且能夠看出代數(shù)式的幾何意義,問題就迎刃而解了.

解因?yàn)?/p>

在平面坐標(biāo)系下,取P(1,2),Q(2,-4),R(x,0)代數(shù)式的幾何意義是: 在x軸上求一點(diǎn)R,使得|PR-RQ|最大,這就回到了例3 的問題.

Heron 定理討論了兩點(diǎn)與一條直線之間的關(guān)系問題,轉(zhuǎn)換一下思路,自然地可以討論兩條直線與一點(diǎn)之間的關(guān)系問題.

如圖5所示,設(shè)點(diǎn)P位于兩條直線l1,l2的夾角的部分之間,A,B分別是兩條直線l1,l2上的動(dòng)點(diǎn),求ΔABP的周長(zhǎng)的最小值.

圖5 同一點(diǎn)與兩直線對(duì)稱點(diǎn)連線

還是運(yùn)用一對(duì)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)與該直線上任一點(diǎn)的連線長(zhǎng)是相等的這一思想,設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線l對(duì)稱點(diǎn)分別是的P′,P′′,則不難證明P′與P′′連線分別與直線l1,l2的交點(diǎn)A,B即為所求點(diǎn),P′,P′′的長(zhǎng)為ΔABP的周長(zhǎng)的最小值.

例5已知點(diǎn)P(3,5),A,B分別是直線l:x-2y+2=0,y軸上的動(dòng)點(diǎn),求ΔABP的周長(zhǎng)的最小值.

解根據(jù)上述討論,點(diǎn)P(3,5)關(guān)于直線l:x-2y+2=0,y軸的對(duì)稱點(diǎn)分別是P′(5,1),P′′(-3,5),ΔABP的周長(zhǎng)的最小值為

設(shè)(2x+2,x)為直線l:x-2y+2=0 上的動(dòng)點(diǎn),(0,y)為y軸上的動(dòng)點(diǎn),P(3,5).將例5 的問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式得到下面的例子.

例6求的最小值.

分析如果用代數(shù)的方法,學(xué)過微積分的,除了想到運(yùn)用求偏導(dǎo)數(shù),很難求解出來,即使能夠解出來,計(jì)算也是非常繁瑣的.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想,明確了代數(shù)式的幾何意義,將問題又轉(zhuǎn)化到例5,問題就迎刃而解了,具體解答結(jié)合例5 不難得到.

沿著Horen 定理的思路繼續(xù)思考下去,如果是三條直線上的動(dòng)點(diǎn)形成的三角形的周長(zhǎng)最小的情形又是怎樣的呢? 帶著這一問題思考的過程,筆者在查閱資料時(shí)發(fā)現(xiàn)Fagnano 問題恰好是這種情形,也是對(duì)稱點(diǎn)思想解決問題的辦法,具體文獻(xiàn)來源無法查找,問題的證明屬于匈牙利數(shù)學(xué)家Fejer.

例7Fagnano 問題: 在銳角三角形的內(nèi)接三角形中,以垂足三角形的周長(zhǎng)最短.

證明如圖6所示,設(shè)P是ΔABC中BC邊上的任一點(diǎn),分別作P關(guān)于AB,AC的對(duì)稱點(diǎn)的P′,P′′,連接P′,P′′分別交AB,AC于D,E兩點(diǎn),根據(jù)Horen 定理及圖5的討論,當(dāng)P是ΔABC中BC邊上的定點(diǎn)時(shí),ΔDEP是以P為頂點(diǎn)的周長(zhǎng)最小的內(nèi)接三角形,P′P′′的長(zhǎng)為其周長(zhǎng).不難發(fā)現(xiàn)AP′=AP=AP′′并且∠P′AP′′=2∠BAC.應(yīng)用余弦定理

圖6 一點(diǎn)固定的內(nèi)接三角形周長(zhǎng)

P′P′′2=AP2-2AP2cos 2∠BAC

=AP2(1-2 cos 2∠BAC)

所以當(dāng)AP最短時(shí),即P是ΔABC中BC邊上的垂足時(shí),以P為頂點(diǎn)的內(nèi)接三角形的周長(zhǎng)最短.同理,當(dāng)P分別在ΔABC中AB,AC邊上變動(dòng)時(shí)可以得到,P分別是ΔABC中AB,AC邊上的垂足時(shí),以P為頂點(diǎn)的內(nèi)接三角形的周長(zhǎng)最短.因此在銳角三角形的內(nèi)接三角形中,以垂足三角形的周長(zhǎng)最短.

同樣在平面直角坐標(biāo)系,將例7 的問題代數(shù)化,可以構(gòu)造一個(gè)相關(guān)的例子,有興趣的讀者可以試著做一下.

接下來討論視角的問題,如圖7所示,設(shè)A,B為直線l同側(cè)的兩點(diǎn),并且A,B的連線與直線l不平行,P是直線l上的動(dòng)點(diǎn),求三點(diǎn)A,B,P的視角∠APB的最大值.

圖7 同側(cè)兩點(diǎn)與直線的視角

分析要求∠APB的最大值,不管∠APB如何變動(dòng),它所對(duì)應(yīng)的邊的長(zhǎng)始終是AB,考慮ΔABP的外接圓,根據(jù)正弦定理,這時(shí)sin ∠APB=這里2R為外接圓的直徑.顯然當(dāng)2R最小時(shí),∠APB取得最大值.以AB垂直平分線的動(dòng)點(diǎn)C為圓心,CA為半徑作圓,當(dāng)圓C與直線相切于直線上的切點(diǎn)P時(shí),ΔABP的外接圓2R最小,視角∠APB取得最大值.

接下來構(gòu)造一個(gè)例子.

例8如圖8所示,在直線l:x+y-5=0 上找一點(diǎn)P(x,y),使得P對(duì)點(diǎn)P(x,y)對(duì)A(1,0),B(3,0)的視角∠APB取得最大值.

圖8 同側(cè)兩點(diǎn)與直線

解根據(jù)上面的分析,當(dāng)以AB為弦的圓與直線l相切于直線上的切點(diǎn)P時(shí),ΔABP的外接圓2R最小,視角∠APB取得最大值.不難得到直線l與x軸、y軸分別相交于C(5,0),D(0,5).根據(jù)圓冪定理CP2=CB·CA=4×2=8,所以CP=從而CP:CD=2:3.由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得P(3,2).

注: 例8 如果采用代數(shù)的方法,計(jì)算還是很繁瑣的.

通過一對(duì)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)與該直線上任一點(diǎn)的連線長(zhǎng)是相等的這一思想的應(yīng)用,完成了由Heron 定理引起的一系列問題的探討,將其應(yīng)用于課堂教學(xué)活動(dòng)中,能啟發(fā)學(xué)生的思考,達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生初步的創(chuàng)新能力的目的.