江西省信豐中學(xué)(341600) 吳光萍

“數(shù)學(xué)是思維的體操”,培根所說的這句話揭示了數(shù)學(xué)的本質(zhì)—思維.高考是選拔性考試,數(shù)學(xué)科目考查的是考生的邏輯思維水平,是學(xué)生分析問題和解決問題的能力.考試的分數(shù)要與學(xué)生的思維水平正相關(guān),才有利于高校的選拔.如果還是按照一貫的模式出題,讓刷題的人考出好成績,就更加引發(fā)教育內(nèi)卷,增加學(xué)生的學(xué)習(xí)時間,加重學(xué)生的學(xué)習(xí)負擔(dān).全社會就更加詬病現(xiàn)有的教育模式.

改變,已經(jīng)發(fā)生,原來那種應(yīng)對高考的課堂教學(xué)方法,也需要改變.思維教學(xué),才是數(shù)學(xué)課堂應(yīng)有的樣子.思維教學(xué),顧名思義,就是注重培養(yǎng)學(xué)生思維的教學(xué).相比較于傳授知識與方法的教學(xué),更深層次的教學(xué).判斷思維教學(xué)的標(biāo)準(zhǔn):

(1)有沒有提出有思考價值的問題? 表層的膚淺的問答,目的是吸引學(xué)生的注意力,有思考價值的問題,才能讓學(xué)生課堂有收獲.

(2)有沒有揭示知識和方法的來龍去脈? 思維就蘊含在知識與方法的來龍去脈中.

(3)有沒有引發(fā)學(xué)生的深度思考,主動思考,讓學(xué)生感受思考的樂趣? 人與人之間的差距在于思考的深度與廣度的差距.

相同的數(shù)學(xué)知識,同樣的數(shù)學(xué)問題,一樣的數(shù)學(xué)試題,處理方法不同,產(chǎn)生的效果完全不同.下面通過大家熟知的近幾年的高考真題,來闡述思維教學(xué)模式對這些問題的處理.

高考試題表面看考查了哪些知識點,深入看考查了學(xué)生的思維層次.不同的試題蘊含了不同的思維方法,下面一一舉例給大家展示出來.

1 由繁化簡的思維

這是數(shù)學(xué)教學(xué)中最常見的思維,也是學(xué)生最容易接受,必須掌握的思維.高考試題中,這種試題很常見.

例1(2022 新高考全國I 卷第18 題)記ΔABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

(1)若C=,求B;

解由已知條件得cosA·(1+cos 2B)=sin 2B·(1+sinA),2 cosA·cos2B=2 sinBcosB·(1+sinA),若cosB=0,則B=那么1+cos 2B=0 不符題意.上式化簡為cosA·cosB=sinB·(1+sinA),cos(B+A)=sinB,-cosC=sinB,sin(C-)=sinB,∴C=+B

(1)易得B=

(2)由A+B+C=π和C=+B,得

當(dāng)且僅當(dāng)4 cos2B=時,取最小值.

統(tǒng)觀整個解答過程就是一個化簡的過程,很難想到嗎?并不是.利用了什么方法和技巧嗎? 也沒有.這是指導(dǎo)學(xué)生分析問題、解決問題的常規(guī)操作,但有時卻被方法和技巧帶偏,比如下面的例子.

例2(2019 高考全國卷新課標(biāo)卷,理科數(shù)學(xué)第23 題)設(shè)x,y,z∈R,且x+y+z=1.

(1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;

(2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2≥成立,證明:a≤-3 或a≥-1.

解法一(1)由柯西不等式,得

解法二(1)由x+y+z=1 得1-x=y+z

令y+z=t

當(dāng)t=時,上式有最小值∴(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值是

(2)由x+y+z=1,得1-y=x+z.

令x+z=m,上式變?yōu)閙2+當(dāng)m=時,解得a≥-1 或a≤-3.

解法二是思維教學(xué)模式推薦的方法.這種方法思路清晰,有理有據(jù).首先把三個未知數(shù)化成兩個未知數(shù),再想辦法把兩個未知數(shù)化成一個未知數(shù),然后利用一元二次函數(shù)的知識求解函數(shù)的最小值.整個求解過程就是一個化簡的過程.

但很多老師和學(xué)生推崇解法一.解法一確實是本題的最優(yōu)解,但本題涉及的知識點柯西不等式,超出了高中教材知識點范圍.這道題也確實讓知曉該知識點的考生撿了便宜,于是有經(jīng)驗的老師不斷補充知識點,比如洛必達法則、圓上點的切線公式等等,還有許許多多的二級結(jié)論,以期在以后的考試中使用此方法和技巧得便宜.考查相同知識點的試題出現(xiàn)在2022年的高考中,比如下面這個例題:

例3(2022 高考全國甲卷,理科數(shù)學(xué)第23 題)已知a,b,c均為正數(shù),且a2+b2+4c2=3,證明:

(1)a+b+2c≤3;

(2)若b=2c,則

第一問,用柯西不等式很快可以解答出來,這里不再贅述,那第二問呢? 只會方法和技巧的同學(xué),無從下手.

在思維教學(xué)模式的指導(dǎo)思想下,第(1)問用緊扣已知條件的思維,第(2)問用由繁化簡的思維,順利解決.過程如下:

解(1)

(a+b+2c)2

=a2+b2+4c2+2ab+4ac+4bc

≤3+(a2+b2)+(a2+4c2)+(b2+4c2)=9.

∴(a+b+2c)2≤9,∴a+b+2c≤3.

(2)由b=2c,得a2+8c2=3,令a=設(shè)得時,取得最小值3,∴

2 發(fā)現(xiàn)事物本質(zhì)的思維

數(shù)學(xué)教學(xué),一定要深入知識的本質(zhì),思維就蘊含在知識的來龍去脈中.高考,也是考查學(xué)生對知識的理解程度.下面這道試題,就是考查考生對雙曲線的漸近線這一知識點的理解程度.

例4(2022 高考全國甲卷,文科數(shù)學(xué)第15 題)記雙曲線C:的離心率為e,寫出滿足條件“直線y=2x與C無公共點”的e的一個值____.

這是一道開放性試題,答案不唯一.當(dāng)直線y=2x是C的一條漸近線時,他們也無交點,這時e的值為如果考生深入理解雙曲線的漸近線這一知識點,可以秒解.這取決于平時的教學(xué),思維教學(xué)模式對這一知識點的處理,如下:

高考試題中,有關(guān)立體幾何知識的試題,更多的考察考生對知識的理解程度.比如下面這道試題.

例 5(2016 高考新課標(biāo) I 卷,理科數(shù)學(xué)第11 題)平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A,α// 平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,則m,n所成角的正弦值為

解析∵α//平面CB1D1,平面ABCD//平面A1B1C1D1,α∩平面ABCD=m,平面CB1D1∩平面A1B1C1D1=B1D1,∴m//B1D1,∵α//平面CB1D1,平面ABB1A1//平面CDD1C1,α∩平面ABB1A1=n,平面CB1D1∩平面CDD1C1=CD1,∴n//CD1,m、n所成的角與B1D1、CD1所成的角相等.顯然B1D1、CD1所成的角是60°,它的正弦值是

本題考查了立體幾何知識的性質(zhì)定理的本質(zhì),兩條直線平行,相同的是方向,不同的是位置.兩組平行平面相交,它們的交線方向相同.題目求解的直線的夾角,與直線的方向有關(guān),與位置無關(guān).所以,緊緊抓住直線的方向,不用去管直線的位置.以上的解答過程是本體的最優(yōu)解,來源于出題者精妙的設(shè)置.我們需要思考,平時的教學(xué)中怎樣培養(yǎng)出學(xué)生具備這種解答能力,思維教學(xué)或許是一條途徑.

3 判斷事物之間關(guān)系的思維

例6(2021 高考全國乙卷,理科數(shù)學(xué)第6 題)將5 名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓(xùn),每名志愿者只分配到1 個項目,每個項目至少分配1 名志愿者,則不同的分配方案共有( )

A.60 種 B.120 種 C.240 種 D.480 種

分析這五名志愿者是同等地位嗎? 不是.屬于同等地位的兩個事物,是可以互換位置的.我們看,如果5 名志愿者,假設(shè)第1、2 位名志愿者服務(wù)同一個項目,第3、4、5 名志愿者單獨服務(wù)一個項目,那么,第1 名與第2 名志愿者互換位置,相比較第1 名與第3 名志愿者互換位置,結(jié)果是完全不一樣的,所以他們的地位不同.這四個項目是同等地位的嗎? 是的,他們可以隨意互換位置.明白了這一點之后,本題的解答就簡單了.以比賽項目為分類的標(biāo)準(zhǔn).第一類,花樣滑冰分配兩人,有C25=10 種,其他三項各分配一人,有A33=6 種,第一類有10×6=60 種.第二類,短道速滑分配兩人,其他項目各分配一人也有60 種,因為它們是同等地位的.以此類推,第三類,第四類也有60 中,總共240 種.

4 發(fā)現(xiàn)事物變化規(guī)律的思維

例7(2022 高考全國乙卷理科數(shù)學(xué)第21 題)已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)+axe-x.

(1)當(dāng)a=1 時,求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;

(2)若f(x)在區(qū)間(-1,0),(0,+∞)各恰有一個零點,求a的取值范圍.

解析這道試題第(1)問,常規(guī)做法,不再贅述.第(2)問,求函數(shù)f(x)的零點,即f(x)=0,ln(1+x)+axe-x=0,ln(1+x)=-axe-x,設(shè)y1=ln(1+x),y2=-axe-x也就就是求函數(shù)y1與y2交點問題.畫出函數(shù)圖象,y2這個函數(shù)含有參數(shù)a,當(dāng)a變化時,變化規(guī)律怎樣,不變的是什么? 先求導(dǎo),y′2=-a(1-x)e-x,y2的圖像,不變的是經(jīng)過(0,0),函數(shù)在x=1 處取得極值.它的變化規(guī)律如下:

當(dāng)a＞0 時,y2在(-∞,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,不滿足題意.當(dāng)a＜0 時,y1與y2都經(jīng)過原點,當(dāng)a=-1 的時候,y1與y2在原點處的切線斜率同為-1,這兩條曲線在原點相切.以-1 為分類標(biāo)準(zhǔn),當(dāng)-1＜a＜0時,y2的極值點坐標(biāo)y1在x=1 處的值是ln 2,＜ln 2,不符合題意.當(dāng)a＜-1 時,符合題意.

5 發(fā)現(xiàn)事物特點的思維

例8(2021年全國乙卷理科數(shù)學(xué)第10 題)設(shè)a≠0,若x=a為函數(shù)f(x)=a(x-a)2(x-b)的極大值點,則( )

A.a＜bB.a＞b

C.ab＜a2D.ab＞a2

解析函數(shù)f(x)的特點是,

①它是三次函數(shù);

②x3的系數(shù)是a;

③a是f(x)的極大值點,也是零點;

4④b是f(x)的一個零點.

根據(jù)f(x)特點,畫出三次函數(shù)的圖像.

這兩種函數(shù)圖像就滿足函數(shù)的特點,a、b的大小關(guān)系在圖形上一目了然,顯然D 選項是正確的.

6 以特殊代替一般,判斷真?zhèn)蔚乃季S

例9(2022 新高考2 卷第12 題)若x,y滿足x2+y2-xy=1,則( )

A.x+y≤1 B.x+y≥-2

C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1

解析這是一道多選題,至少有兩個選項.判斷選項是正確的,比較困難; 判斷選項是錯誤的,相對簡單.A 選項很容易判定是錯的,當(dāng)x=y=1 時,滿足已知條件,但不滿足x+y≤1.D 選項也很容易判斷是錯誤的.把式子x2+y2-xy=1 轉(zhuǎn)化成x2+y2=xy+1,當(dāng)x、y取一正一負時,x2+y2≤1.判斷出兩個選項是錯誤的,剩下兩個就是正確的.

在高考考場上,在有時間壓力的情況下,要快速得到正確答案.這種思維方法,不是投機取巧,而是智慧.

以上列舉的解決高考問題的種種思維,是對高考試題的深度思考.思維教學(xué),倡導(dǎo)深度思考.提升學(xué)生深度思考的能力,是思維教學(xué)的主要目的.偉大的愛因斯坦在一次演講中提過,“教育就是當(dāng)一個人把在學(xué)校所學(xué)全部忘光之后剩下的東西”.在思維教學(xué)模式的指導(dǎo)下,學(xué)生把數(shù)學(xué)知識忘光之后,收獲的恰恰是深度思考的能力.

前進的道路,沒有盡頭.教育教學(xué)的研究,沒有休止符.只要始終把學(xué)生的成長成才放在首位,我們需要做的,還有很多很多.