彭敏

勾股定理是數(shù)形結合的一個典范.它把直角三角形有一個直角的“形”的特點，轉(zhuǎn)化為三邊“數(shù)”的關系，因此，它不僅在解答平面幾何題中有著廣泛的應用，而且在解代數(shù)題中也被廣泛應用.在運用勾股定理解答代數(shù)題時，首先必須對有關的代數(shù)式進行幾何說明，解釋它的幾何意義，并作出相應的圖形，進而將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成幾何問題求解.下面就勾股定理在求解代數(shù)式的最值與求證不等式問題中的應用舉例說明.

一、利用勾股定理求代數(shù)式的最小值對于形如x2 + a +（m - x）2 + b 的二次根式求最小值的問題， 可以分別把 a，b 當作a，b 的平方，然后再用勾股定理構造直角三角形，利用兩點之間線段最短，將求原代數(shù)式的最小值問題轉(zhuǎn)化為求兩線段的和的最小值問題.

說明：利用勾股定理求代數(shù)式的最值問題，其關鍵在于要從問題的背景出發(fā)，根據(jù)題設的結構特征，構造出相應的圖形進行求解.若能構造出恰當?shù)闹苯侨切?，則求原代數(shù)式的最小值問題便轉(zhuǎn)化為求兩線段的和的最小值問題了.

二、利用勾股定理證明不等式

對于某些不等式證明問題，通過代數(shù)途徑求解不易入手時，同學們可以根據(jù)不等式的結構特征，構造出與之相應的幾何圖形，并借助幾何圖形的特征、規(guī)律、性質(zhì)來證明.對于含有根式的不等式可以聯(lián)想到勾股定理，構造直角三角形，將不等式中的各個代數(shù)式看作是直角三角形的兩條直角邊和斜邊，利用三角形的三邊關系證明不等式的結論.

點評：構造幾何圖形也是證明不等式的一種手段.根據(jù)根號下兩數(shù)的平方和，聯(lián)想到勾股定理，構造直角三角形，將不等式的求證結論看作是求證三角形中兩邊之和大于第三邊或兩邊之差小于第三邊，從而利用圖形的基本性質(zhì)解題.

許多代數(shù)題的結構、形式都滲透著“幾何”的氣息.若能將抽象復雜的代數(shù)關系通過幾何圖形直觀形象地展現(xiàn)出來，往往可獲得顯而易見的等量關系或不等關系，從而借助幾何性質(zhì)，使問題變得直觀明了．