胡倩

實(shí)數(shù)，對(duì)于初學(xué)者來(lái)講，有些概念比較抽象、難懂.因此，掌握實(shí)數(shù)內(nèi)容中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想是學(xué)好實(shí)數(shù)的關(guān)鍵.靈活運(yùn)用這些數(shù)學(xué)思想可以幫助我們有效解答各類(lèi)實(shí)數(shù)問(wèn)題.

一、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)是形的抽象概括，形是數(shù)的直觀表達(dá).我們常用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)研究對(duì)象的數(shù)學(xué)特征.在《實(shí)數(shù)》這一章節(jié)中，數(shù)軸上的點(diǎn)不僅表示有理數(shù)，也表示無(wú)理數(shù)，任何一個(gè)實(shí)數(shù)都可以在數(shù)軸上找到一點(diǎn)來(lái)表示.這樣就建立了數(shù)軸上點(diǎn)與實(shí)數(shù)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.

例1 實(shí)數(shù) a、b、c 在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，化簡(jiǎn)

分析：要達(dá)到化簡(jiǎn)的目的，必須弄清被開(kāi)方數(shù)中 b - a 和 a - c 以及絕對(duì)值里面 b - c、a的符號(hào)，這就要借助圖形——數(shù)軸來(lái)完成.

解：由圖可知 a < b < 0 < c，且

評(píng)注：本例借助“以形（數(shù)軸）輔數(shù)（來(lái)確定式子的符號(hào)）”的方法解題，是數(shù)形結(jié)合思想在解題方法上的具體體現(xiàn).

二、分類(lèi)討論思想

當(dāng)被研究的問(wèn)題包含多種可能情況，不能一概而論時(shí)，就必須按可能出現(xiàn)的所有情況來(lái)分類(lèi)討論，得出相應(yīng)的結(jié)論.這種處理問(wèn)題的思維方法稱(chēng)為分類(lèi)討論思想.實(shí)數(shù)可分為有理數(shù)和無(wú)理數(shù)兩部分；若按性質(zhì)分類(lèi)，實(shí)數(shù)可分為正實(shí)數(shù)、零、負(fù)實(shí)數(shù)三部分.在化簡(jiǎn)、計(jì)算有關(guān)實(shí)數(shù)的問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意分類(lèi)討論思想的應(yīng)用．

評(píng)注：對(duì)于 a 的分類(lèi)，要不重復(fù)、不遺漏，正確分類(lèi)是解題的關(guān)鍵.

三、轉(zhuǎn)化思想

在解題時(shí)，我們常常要將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單問(wèn)題，將不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，這種方法稱(chēng)為轉(zhuǎn)化.在解答實(shí)數(shù)問(wèn)題時(shí)，如求一個(gè)負(fù)數(shù)的立方根，可以轉(zhuǎn)化為求一個(gè)正數(shù)的立方根的相反數(shù)；在近似計(jì)算中，如遇到無(wú)理數(shù)，可根據(jù)題目要求將其轉(zhuǎn)化為有理數(shù)；如遇到分?jǐn)?shù)、小數(shù)時(shí)可根據(jù)需要互化等.

四、整體思想

整體思想就是在解答數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，從整體角度思考，將局部放在整體中去觀察分析、探究問(wèn)題的解決方法.運(yùn)用整體思想解答實(shí)數(shù)問(wèn)題，主要體現(xiàn)為不著眼于實(shí)數(shù)問(wèn)題中的“某一項(xiàng)”，而是將問(wèn)題看作一個(gè)整體，通過(guò)研究問(wèn)題的整體形式、整體性質(zhì)，達(dá)到順利解題的目的.

分析：（1）先求出 x + y 與 xy 的值，然后把原式化為 （x + y）2 - 3xy 的形式，再代入求值即可；（2）先根據(jù)分式的加減法則把原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再把 x + y 與 xy 的值代入進(jìn)行計(jì)算即可.

評(píng)注：本題如果直接代入計(jì)算，則計(jì)算量較大，而且容易出錯(cuò).通過(guò)觀察已知條件和待求值的式子，發(fā)現(xiàn)它們都可以化簡(jiǎn)，這樣采取變更問(wèn)題的條件和結(jié)論的方法，運(yùn)用整體代入的思想，比較容易求出問(wèn)題的解.

五、估算思想

估算思想就是指在處理問(wèn)題時(shí)，采用估算的方法去解答問(wèn)題的思想.在遇到比較無(wú)理數(shù)的大小，或確定無(wú)理數(shù)位于哪兩個(gè)相鄰整數(shù)之間等問(wèn)題時(shí)，常用到估算的思想方法.

例 5 （1）下列計(jì)算結(jié)果正確嗎？你是怎樣判斷的？

0.43 ≈ 0.066； 900≈96； 2536 ≈60.4．

（2）你能估算900的大小嗎？（結(jié)果精確到1）

分析：（1）根據(jù)平方根和立方根的定義分別計(jì)算值的平方或立方，與被開(kāi)方數(shù)對(duì)比，相等的正確，反之則不正確；（2）先計(jì)算與 900最接近的數(shù)：9 3＝729，10 3＝1000，再依次計(jì)算9.1、9.2、…的平方數(shù)，一直到 9.7 3＝912.673，所以900 ≈9.6≈10．

評(píng)注：第一小題考查的是估算無(wú)理數(shù)的大小，熟知開(kāi)方是乘方的逆運(yùn)算是解答此題的關(guān)鍵；解答第二小題采用了逼近法，用有理數(shù) 9 和 10 的立方逼近無(wú)理數(shù)900，，從而求得無(wú)理數(shù)的近似值．