趙玲燕 李曉琴

【摘要】利用好選修課程教學(xué)對(duì)高中數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行重構(gòu)，以單元教學(xué)的方式整體提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】校本課程；單元教學(xué)；集合

2021年12月31日，教育部印發(fā)了《普通高中學(xué)校辦學(xué)質(zhì)量評(píng)價(jià)指南》和《普通高中學(xué)校辦學(xué)質(zhì)量評(píng)價(jià)指標(biāo)》，要求“不存在隨意增減課時(shí)、改變難度、調(diào)整進(jìn)度等問(wèn)題，嚴(yán)禁高三上學(xué)期結(jié)束前結(jié)課備考”，實(shí)際上明確了從高二下學(xué)期期中到高三上學(xué)期結(jié)束的一個(gè)半學(xué)期時(shí)間應(yīng)該組織高中數(shù)學(xué)選修課程的教學(xué)要求?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》給出了A、B、C、D、E五類(lèi)高中數(shù)學(xué)選修課程的教學(xué)建議，其核心是為不同的學(xué)生提供有針對(duì)性的進(jìn)一步的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容，特別是針對(duì)特長(zhǎng)生和需要參加自主招生的學(xué)業(yè)水平較高的學(xué)生，由于絕大多數(shù)高中學(xué)生是通過(guò)參加高考進(jìn)入高校，而且目前尚沒(méi)有質(zhì)量較高的通用選修課程教科書(shū)，因此需要通過(guò)這一個(gè)半學(xué)期以選修課程的方式針對(duì)這部分學(xué)生群體開(kāi)設(shè)選修課程，完成以往“一輪備考復(fù)習(xí)”的目標(biāo)，而且這一個(gè)半學(xué)期是落實(shí)單元教學(xué)、幫助學(xué)生深化知識(shí)結(jié)構(gòu)、整體把握數(shù)學(xué)內(nèi)容、提高數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的最佳時(shí)機(jī)。

一、單元視角下的高中數(shù)學(xué)選修課程規(guī)劃

1.課程定位

本課程是在高中數(shù)學(xué)必修課程、選擇性必修課程的基礎(chǔ)上，為進(jìn)一步滿(mǎn)足以參加高考為主要升學(xué)渠道的學(xué)生的成長(zhǎng)需要、由學(xué)校根據(jù)實(shí)際學(xué)情而設(shè)置的課程。

2.課程基本理念

本課程的課程基本理念與《課程標(biāo)準(zhǔn)》中描述的課程基本理念一致。

3.課程目標(biāo)

本課程的課程目標(biāo)包括《課程標(biāo)準(zhǔn)》中描述的高中數(shù)學(xué)課程的全部?jī)?nèi)容。通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠進(jìn)一步從整體上把握高中數(shù)學(xué)知識(shí)，形成更加良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)達(dá)到進(jìn)一步發(fā)展。

4.學(xué)分設(shè)置

本課程為6學(xué)分，每學(xué)分20個(gè)課時(shí)，共120課時(shí)（根據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)》中每學(xué)分18課時(shí)，每課時(shí)45分鐘折算）。

5.課程內(nèi)容

本課程分為預(yù)備知識(shí)、函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)四個(gè)主題，將數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)、數(shù)學(xué)文化融入課程內(nèi)容，每個(gè)主題包括高中數(shù)學(xué)必修課程和選擇性必修課程的全部?jī)?nèi)容。本課程是對(duì)高中數(shù)學(xué)必修課程和選擇性必修課程內(nèi)容的優(yōu)化與重組，以單元教學(xué)的形式開(kāi)設(shè)。表1給出了本課程的課時(shí)分配建議，每個(gè)單元的課時(shí)分配根據(jù)該單元內(nèi)容占整個(gè)高中數(shù)學(xué)必修課程和選擇性必修課程總課時(shí)的比例進(jìn)行設(shè)置（表1見(jiàn)文后）。

6.教學(xué)與評(píng)價(jià)建議

（1）基于診斷，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的進(jìn)一步發(fā)展。

（2）夯實(shí)基礎(chǔ)，提高數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力。

（3）科學(xué)訓(xùn)練，有效提高數(shù)學(xué)解題能力。

（4）目標(biāo)導(dǎo)向，關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程。

二、高中數(shù)學(xué)選修課程集合單元教學(xué)設(shè)計(jì)案例

1.單元內(nèi)容

集合的概念與表示、集合的基本關(guān)系和集合的基本運(yùn)算。

2.單元內(nèi)容解析

集合是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是準(zhǔn)確表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容的語(yǔ)言。通過(guò)學(xué)習(xí)集合，能夠不斷提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)研究對(duì)象本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，體會(huì)不同數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，運(yùn)用特殊與一般、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，重點(diǎn)發(fā)展數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)。

3.單元學(xué)習(xí)目標(biāo)

（1）目標(biāo)。①進(jìn)一步落實(shí)《課程標(biāo)準(zhǔn)》必修課程中關(guān)于集合的單元學(xué)習(xí)目標(biāo)；②能通過(guò)對(duì)集合內(nèi)容的知識(shí)梳理，形成集合內(nèi)容的單元知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，形成對(duì)集合內(nèi)容的結(jié)構(gòu)性認(rèn)識(shí)；③能運(yùn)用集合語(yǔ)言準(zhǔn)確表達(dá)高中數(shù)學(xué)各個(gè)主題的研究對(duì)象，體會(huì)不同知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，提高應(yīng)用集合語(yǔ)言解決問(wèn)題的能力；④通過(guò)解題活動(dòng)，提高發(fā)現(xiàn)與提出問(wèn)題、分析與解決問(wèn)題的能力。

（2）目標(biāo)分析。根據(jù)本課程“教學(xué)與評(píng)價(jià)建議”，本課程的每一個(gè)單元“基于診斷”的要求就是要落實(shí)《課程標(biāo)準(zhǔn)》中關(guān)于單元內(nèi)容的學(xué)習(xí)目標(biāo)；素養(yǎng)導(dǎo)向就是要通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的整體性認(rèn)識(shí)，形成結(jié)構(gòu)；夯實(shí)基礎(chǔ)與科學(xué)訓(xùn)練就是要通過(guò)解題活動(dòng)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力，特別是數(shù)學(xué)解題能力。由此得到上述目標(biāo)。

4.課時(shí)安排

本單元教學(xué)需要用3個(gè)課時(shí)。

5.內(nèi)容安排與教學(xué)設(shè)計(jì)建議

第1課時(shí)

1.課時(shí)目標(biāo)

梳理集合的概念、性質(zhì)和運(yùn)算等有關(guān)知識(shí)，整體認(rèn)識(shí)高中階段集合內(nèi)容的重要性、蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法、前后知識(shí)的關(guān)聯(lián)，形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

2.教學(xué)設(shè)計(jì)建議

（1）課前自學(xué)。要求學(xué)生根據(jù)下表中的問(wèn)題，通過(guò)閱讀教科書(shū)完成知識(shí)梳理的過(guò)程。

（2）課堂教學(xué)建議。①展示完成課前梳理任務(wù)較好的學(xué)生的學(xué)習(xí)成果；

②由教師進(jìn)一步講解、梳理集合知識(shí)的來(lái)龍去脈，對(duì)相應(yīng)的問(wèn)題要有更“統(tǒng)攝性”的講解。如對(duì)問(wèn)題9，要指出理解數(shù)學(xué)概念要特別關(guān)注概念的構(gòu)成要素或概念的內(nèi)涵，就集合而言，元素是構(gòu)成集合的要素，因此兩個(gè)集合相等就是兩個(gè)集合的元素完全相同，這與判斷函數(shù)相等、向量相等等問(wèn)題是一致的，另外，明確一個(gè)數(shù)學(xué)研究對(duì)象的概念可以根據(jù)概念構(gòu)成要素的特殊情況定義相應(yīng)的特例，如單元素集、空集，再如向量概念里的零向量、單位向量等；對(duì)問(wèn)題12，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)：明確問(wèn)題所研究的全體對(duì)象的范圍往往是基本的，對(duì)于這個(gè)范圍中的一部分元素構(gòu)成的一個(gè)子集，很多時(shí)候我們需要表達(dá)不在這個(gè)子集但在研究范圍內(nèi)的元素構(gòu)成的集合，這時(shí)我們就需要用到全集和補(bǔ)集的運(yùn)算。

下面重點(diǎn)說(shuō)明問(wèn)題10和問(wèn)題14。對(duì)于問(wèn)題10，一方面從乘法原理的角度可以得到：含有n個(gè)元素的集合A的子集有2n個(gè)，一方面從分類(lèi)討論的角度，有C0n+C1n+…Cnn+=2n個(gè)，另一方面，可以從遞推思想出發(fā)，設(shè)含有n個(gè)元素的集合A的子集有An個(gè)，在集合A中增加一個(gè)元素m得到集合B，設(shè)集合B的子集為An+1，不難得到An+1=2An，A1=2，所以An=2n，這里又體現(xiàn)了數(shù)列的遞推思想。

對(duì)于問(wèn)題14，可以從以下幾個(gè)方面進(jìn)行探討：其一，為了表示研究對(duì)象構(gòu)成的集合，我們需要抽象出研究對(duì)象的共性特征，比如全體奇數(shù)集，我們用x=2K?1（k∈Z）的形式來(lái)表示任意一個(gè)奇數(shù)，這與用2kπ<x<2kπ+（k∈Z）的形式表示第一象限角是一致的；其二，我們按照“概念（內(nèi)涵）—性質(zhì)—關(guān)系（結(jié)構(gòu)）—運(yùn)算—運(yùn)算性質(zhì)—應(yīng)用”的路徑研究集合，這實(shí)際上也是很多其他數(shù)學(xué)對(duì)象的研究路徑；其三，學(xué)習(xí)集合，可以提高分類(lèi)與討論方法的能力；其四，集合語(yǔ)言在函數(shù)、三角函數(shù)、向量空間、樣本空間等內(nèi)容都有廣泛的應(yīng)用，可以舉很多的例子。

③師生共同作出質(zhì)量較高的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，布置課堂練習(xí)和作業(yè)。

第2課時(shí)

1.課時(shí)目標(biāo)：梳理集合內(nèi)容的常見(jiàn)問(wèn)題，聚焦集合間的關(guān)系和基本運(yùn)算，會(huì)解常見(jiàn)的不等式。

2.教學(xué)設(shè)計(jì)建議

（1）課前自學(xué)。梳理集合的常見(jiàn)問(wèn)題，選擇經(jīng)典的題目作為課堂講解的例題要求學(xué)生在課前思考，出于篇幅考慮不再列舉。

（2）課堂教學(xué)建議。①對(duì)課前自學(xué)的每一個(gè)例題要設(shè)計(jì)1～2個(gè)有梯度的變式題目，形成一個(gè)題組，例題、變式題要有難度梯度，在課堂講解完例題后由學(xué)生獨(dú)立思考完成變式題目。下面是一個(gè)題組的案例：

[例題]滿(mǎn)足{1}A∈{1，2，3}的集合A的個(gè)數(shù)是（ ）。

A.2? ? ? B.3? ? ? C.4? ? ? D.8

②教師要通過(guò)積極地巡視、提問(wèn)診斷學(xué)生對(duì)例題的知識(shí)、方法、技能所掌握的情況。

（3）目標(biāo)檢測(cè)。通過(guò)課后作業(yè)有針對(duì)性地為學(xué)生提供自我診斷的機(jī)會(huì)，鞏固學(xué)生所學(xué)知識(shí)。

第3課時(shí)

1.課時(shí)目標(biāo)：根據(jù)上一課時(shí)目標(biāo)檢測(cè)存在的問(wèn)題進(jìn)行補(bǔ)償學(xué)習(xí)，在此基礎(chǔ)上通過(guò)進(jìn)一步的練習(xí)訓(xùn)練提高學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀和解題能力。

2.教學(xué)建議：根據(jù)學(xué)情進(jìn)行教學(xué)補(bǔ)償，在此基礎(chǔ)上提供一些有一定難度、有助于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維的練習(xí)，下面給出幾個(gè)題目樣例。

[練習(xí)1]（多選題，考查對(duì)集合語(yǔ)言的理解）下面表示同一個(gè)集合的是（? ? ）。

A．P={（2，5）}，Q={（5，2）}

B．P={2，5}，Q={5，2}

C．P={x|x=2m+1，m∈Z}，Q={x|x=2m?1，m∈Z}

D．P={x|x=6m，m∈Z}，Q={x|x=2m且x=3n，

m∈Z，n∈Z}

高考數(shù)學(xué)試題有意加強(qiáng)基礎(chǔ)性，突出對(duì)能夠普適性解決學(xué)科問(wèn)題的本原性方法考查，深化創(chuàng)新性考查，通過(guò)考查內(nèi)容、考查要求與情境設(shè)計(jì)的有機(jī)融合減少“死記硬背”和“機(jī)械刷題”的收益作用。利用選修課程的教學(xué)機(jī)會(huì)以單元教學(xué)的方式對(duì)高中數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行重構(gòu)，對(duì)提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有更好的效果。

（基金項(xiàng)目：本文系海南省教育科學(xué)規(guī)劃課題“單元教學(xué)指導(dǎo)下高三數(shù)學(xué)校本課程開(kāi)發(fā)與實(shí)踐”階段性研究成果，課題編號(hào)：QIY20221034）