摘 要：直觀模型是能幫助學(xué)生將抽象的數(shù)學(xué)知識變得直觀易懂的一種工具，其中，點(diǎn)子圖就是一種很好的介于實物和數(shù)之間的工具，具有直觀性、思辨性、創(chuàng)造性。文章縱向梳理了點(diǎn)子圖在蘇教版教材中的編排，結(jié)合教學(xué)實踐探析了點(diǎn)子圖的使用方法，重視培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，以供參考。

關(guān)鍵詞：直觀模型；點(diǎn)子圖；低年段數(shù)學(xué)；數(shù)感；思維；抽象

作者簡介：沈婷（1989—），女，江蘇省蘇州市金筑實驗小學(xué)校。

數(shù)學(xué)的抽象性與低年段學(xué)生的直觀性是一對矛盾體，這就決定了小學(xué)低年段數(shù)學(xué)必須借助直觀形象的素材讓學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)知識［1］，其中，點(diǎn)子圖就是一種很好的載體，它能夠讓學(xué)生直觀地理解和掌握數(shù)學(xué)的相關(guān)知識，幫助學(xué)生建立直觀模型，逐步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。

一、低年段學(xué)生認(rèn)知發(fā)展與數(shù)感培養(yǎng)

低年段小學(xué)生正處于具體運(yùn)算階段，思維活躍，好奇心強(qiáng)，認(rèn)知事物以具體的、形象的思維為主，無法長時間集中注意力，容易分心。同時，他們還不具備良好的抽象思維，看待問題以直觀思維為主，而且在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方面也不具備相關(guān)的經(jīng)驗。因此，他們在遇到抽象問題和邏輯性強(qiáng)的問題時會覺得難以理解，做題時錯誤百出，難以理解其中的內(nèi)在含義。

低年段學(xué)生年齡小，可塑性強(qiáng)，正是培養(yǎng)數(shù)感的好時機(jī)。教師要抓住這一時機(jī)，結(jié)合直觀模型點(diǎn)子圖，增強(qiáng)課堂教學(xué)的直觀性，循序漸進(jìn)地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。數(shù)感是對數(shù)的一種感悟，它不像知識、技能的習(xí)得那樣立竿見影，它的培養(yǎng)需要學(xué)生在學(xué)習(xí)中循序漸進(jìn)，積累經(jīng)驗，經(jīng)歷一個逐步形成、發(fā)展的過程。直觀模型點(diǎn)子圖，能在數(shù)感培養(yǎng)中發(fā)揮巨大的作用，讓學(xué)生經(jīng)歷不一樣的數(shù)感培養(yǎng)過程。

二、直觀模型點(diǎn)子圖的內(nèi)涵解讀與教材分析

直觀模型是一種能幫助學(xué)生將抽象的數(shù)學(xué)知識變得直觀易懂的工具。對于低年段學(xué)生來說，點(diǎn)子圖就是一種很好的工具。“點(diǎn)”，即最簡單的幾何圖形，零維空間的基本存在形式，若干個點(diǎn)有序排列就構(gòu)成了點(diǎn)子圖。點(diǎn)子圖是一種很好的教學(xué)工具，能為學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)提供很大的想象空間。在數(shù)與形中，“點(diǎn)”的存在讓兩者完美結(jié)合，點(diǎn)子圖是形象思維的一道風(fēng)景，是兒童從形象感知進(jìn)階到抽象思維的一個臺階。

數(shù)學(xué)本身是抽象的，數(shù)學(xué)和直觀模型相結(jié)合能化抽象為形象，將抽象的問題具體化。在教學(xué)時，教師要加強(qiáng)學(xué)生對知識的理解和掌握，不能局限于口頭講解，要多利用點(diǎn)子圖這樣直觀的模型，將枯燥、抽象的知識轉(zhuǎn)化為有趣、直觀的內(nèi)容，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生更好地理解相關(guān)知識。

本文縱向梳理了蘇教版義務(wù)教育教科書孫麗谷、王林主編的數(shù)學(xué)教材中直觀模型點(diǎn)子圖的設(shè)計：一上第一單元《數(shù)一數(shù)》，場景圖中的物體（或人）與點(diǎn)子數(shù)是一致的；一上第五單元《認(rèn)識10以內(nèi)的數(shù)》，先用點(diǎn)子數(shù)表示物體個數(shù)，再抽象出對應(yīng)的數(shù)字；一上第七單元《分與合》，借助點(diǎn)子圖考查10以內(nèi)數(shù)的分與合；一上第八單元《10以內(nèi)的加法和減法》和一下第一單元《20以內(nèi)的退位減法》，借助點(diǎn)子圖闡釋加法和減法的含義；二上第一單元《100以內(nèi)的加法和減法（三）》，以點(diǎn)子圖理清兩個數(shù)相差多少的問題；二上第四單元《表內(nèi)除法（一）》，借助點(diǎn)子圖分一分，進(jìn)一步明確平均分的概念；三上第五單元《解決問題的策略》，借助點(diǎn)子圖畫一畫，理解題意。從上述教學(xué)內(nèi)容的梳理，我們可以發(fā)現(xiàn)直觀模型點(diǎn)子圖的分布絕大部分在一年級上冊，這符合低年段學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)。

三、借助點(diǎn)子圖培養(yǎng)小學(xué)低年段學(xué)生數(shù)感的教學(xué)實踐探析

本文縱向梳理了蘇教版義務(wù)教育教科書孫麗谷、王林主編的數(shù)學(xué)教材中點(diǎn)子圖的設(shè)計，研究了教材中哪些設(shè)計環(huán)節(jié)可以用直觀模型點(diǎn)子圖來輔助教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。以下筆者將結(jié)合教學(xué)實踐探析直觀模型點(diǎn)子圖的使用。

（一）識“點(diǎn)”，化抽象為形象，感悟理解數(shù)和數(shù)量意義

點(diǎn)子圖在我們學(xué)習(xí)數(shù)和理解數(shù)量意義時，起到了過渡作用，其可以建立數(shù)和數(shù)之間的聯(lián)系，拓展數(shù)的概念，加強(qiáng)數(shù)量單位之間的聯(lián)系［2］。

1.搭建現(xiàn)實與數(shù)的橋梁

從完整圖示到圖像表征，再到圓點(diǎn)表征，最后到數(shù)字符號的生成，點(diǎn)子圖在現(xiàn)實和數(shù)中，起到了橋梁作用，能讓數(shù)的抽象過程更加具體化，也更合乎一般的邏輯規(guī)律，讓學(xué)生能更好地體會數(shù)字的大小，理解數(shù)的意義。學(xué)生的思維由直觀逐漸過渡到抽象，從現(xiàn)實生活中出現(xiàn)的數(shù)，認(rèn)識到了數(shù)的現(xiàn)實意義。

在蘇教版教材中，點(diǎn)子圖第一次出現(xiàn)是在一年級上冊第一單元《數(shù)一數(shù)》中，通過聯(lián)系場景圖、小圖、圓點(diǎn)，學(xué)生能夠數(shù)出1—10各數(shù)。在《認(rèn)識10以內(nèi)的數(shù)》中，教材第12頁以慶祝教師節(jié)的場景圖呈現(xiàn)知識。例如：書上有2盆花，我們每個人有2只眼睛、2只耳朵、2只手。這些都可以半抽象成2個圓點(diǎn)，最后抽象出數(shù)字2。教材有序地呈現(xiàn)了逐步抽象的設(shè)計理念。

2.體現(xiàn)數(shù)與數(shù)的聯(lián)系

把數(shù)字表示成點(diǎn)子圖時有不同畫法，學(xué)生可以從不同點(diǎn)子圖中認(rèn)識數(shù)和數(shù)之間的聯(lián)系。

在《認(rèn)識10以內(nèi)的數(shù)》中，教材第23頁“想想做做”第1題“看數(shù)涂色”，數(shù)字6、7、8畫法不一樣，但其中卻有數(shù)的各種特征。每個數(shù)下面都有10個圓點(diǎn)，6可以橫著涂2個3，或豎著涂3個2，滲透了數(shù)的分與合。當(dāng)數(shù)被抽象成符號時，很多數(shù)的特征和數(shù)與數(shù)的聯(lián)系也就被隱藏起來了，而點(diǎn)子圖能很好地體現(xiàn)數(shù)與數(shù)之間的聯(lián)系。

3.加強(qiáng)數(shù)量單位之間的聯(lián)系

學(xué)生理解數(shù)的意義時，在認(rèn)識到了幾個點(diǎn)就表示幾個物體后，還需要注意，給數(shù)量加上單位后，其表示的意義又是不同的。點(diǎn)子圖能加深學(xué)生對數(shù)量單位之間關(guān)系的理解。數(shù)字被加上單位后，用點(diǎn)子圖將數(shù)量具體展示出來，能讓學(xué)生更好地理解數(shù)量單位，并加深印象。

在一年級下冊《元、角、分》中，教材用紙幣體現(xiàn)了1元和10個1角之間的聯(lián)系，用硬幣表示出1角和10個1分的聯(lián)系。在教學(xué)中，教師可以用點(diǎn)子圖抽象出1元和1角之間的聯(lián)系。同樣是一個點(diǎn)表示1，但是加上單位后，它們之間的關(guān)系卻發(fā)生了變化。

（二）移“點(diǎn)”，化無章為有法，理解算法的意義

每個數(shù)字都可以表示為“點(diǎn)”，把一組組點(diǎn)擺在一起，通過不同的移動方式，可以讓學(xué)生感悟加減乘除之間的數(shù)量關(guān)系。蘇教版教材在加減法的運(yùn)用中會借助點(diǎn)子圖呈現(xiàn)知識，但在乘除法中幾乎不涉及，其實點(diǎn)子圖能很好地讓學(xué)生去感悟、體驗乘除這一過程。

1.合“點(diǎn)”——熟知加法的意義

在教學(xué)加法時，教師可引導(dǎo)學(xué)生先看主題圖，然后是實物圖，接著半抽象成點(diǎn)子圖，最后抽象成數(shù)的加法。這一系列從直觀到抽象的過程，可以幫助學(xué)生深入理解加法的意義。教材展示將兩組點(diǎn)子圖合并在一起，就是將這兩個數(shù)相加，能幫助學(xué)生理解加法的意義。

2.去“點(diǎn)”——知曉減法的意義

從一組點(diǎn)子圖中拿走、去掉一部分，就用減法，通常是畫掉或用虛線框表示。在二年級上冊中，通過畫點(diǎn)子圖、移動點(diǎn)子圖，使得兩邊數(shù)量同樣多，能讓學(xué)生理解三種不同的方法。畫點(diǎn)子圖能清晰地看出芳芳比小軍多的部分，那么將小軍少的部分添上或者將芳芳多的部分去掉就能使得兩人的彩珠數(shù)量同樣多；拿出2個芳芳的彩珠給小軍，通過移多補(bǔ)少的方法也能使得兩人的彩珠數(shù)量同樣多。這道題結(jié)構(gòu)開放，解法靈活多樣，而我們通過點(diǎn)子圖能很好地提高學(xué)生的分析能力和解決問題的能力，提高學(xué)生思維的敏捷性和靈活性。

3.擺“點(diǎn)”——通解乘法的意義

對于乘法的啟蒙，教師可逐步引導(dǎo)學(xué)生自主畫點(diǎn)子圖，如在理解“3×4”時，學(xué)生發(fā)現(xiàn)可以每堆擺3個，擺4堆，表示4個3相加；還可以每堆擺4個，擺3堆，表示3個4相加。學(xué)生邊畫邊思考，體會乘法的意義。點(diǎn)子圖能幫助學(xué)生建立直觀形象的數(shù)學(xué)模型。

其實在探索豎式計算時，點(diǎn)子圖也是一種很好的方法，其能使豎式計算中每一步的算理都清晰可見［3］，如圖1所示。

豎式中先算3×2=6，在點(diǎn)子圖中就是每列2個，共3列的這一部分，6寫在個位上；豎式中再算3×10=30，在點(diǎn)子圖中就是每列10個，共3列的這一部分，30寫在第二層，注意數(shù)位對齊。這種方式能加深學(xué)生對豎式計算的理解，體現(xiàn)點(diǎn)子圖和豎式之間的內(nèi)在聯(lián)系。在學(xué)生理解了豎式計算每一步的算理后，教師介紹一般乘法豎式計算的簡寫形式，最后結(jié)合點(diǎn)子圖，引導(dǎo)學(xué)生再次理解6為什么寫在個位上，表示什么意思；3為什么寫在十位上，表示什么意思。

4.分“點(diǎn)”——領(lǐng)悟除法的意義

點(diǎn)子圖能直觀地展示分的過程。學(xué)生對于平均分成幾份，每份有幾個能直觀地感受，做題時也能結(jié)合點(diǎn)子圖來理解、領(lǐng)悟除法的意義。

除法教學(xué)以點(diǎn)子圖為載體，能夠幫助學(xué)生理解平均分的含義，理解除法的意義。一組點(diǎn)子圖，每份分的同樣多，就是平均分。如圖2，學(xué)生在做題時畫一畫、分一分，對于除法意義的理解會更深刻。

（三）數(shù)“點(diǎn)”，化無序為有序，提升估算能力

點(diǎn)子圖是一種很好的形象直觀的學(xué)具，它比實物和小棒更加抽象，但又比計數(shù)器、數(shù)位表更加形象，能有效地提高學(xué)生的估算能力。

1.讓學(xué)生“看見”數(shù)學(xué)

一些學(xué)生在估算大數(shù)時存在很多問題，估算得很離譜。為什么他們的數(shù)感會這么差呢？在估算中，學(xué)生為什么會出現(xiàn)那么大的偏差呢？究其原因，教師在利用小棒和迪納斯木塊教學(xué)時，會出現(xiàn)遮擋的部分，學(xué)生對這個數(shù)到底是多大仍然沒有直觀的概念。點(diǎn)子圖正好能彌補(bǔ)這個缺陷，讓學(xué)生真真正正“看見”數(shù)字到底有多大。這些點(diǎn)子圖能讓學(xué)生感知數(shù)的大小，也能讓學(xué)生在估計其他數(shù)的大小時有一個標(biāo)準(zhǔn)的支撐，讓學(xué)生在估算時有一個具體的參照物。遇到再大一些的數(shù)，學(xué)生會在標(biāo)準(zhǔn)中做比較，對數(shù)形成一定的感知，能實實在在“看見”數(shù)字的大小，估算能力也會得到提高。

2.讓學(xué)生“觸摸”數(shù)學(xué)

隨著數(shù)的增大，必須建立計數(shù)單位，點(diǎn)子圖還能在上面圈圈寫寫畫畫，真真切切地讓學(xué)生“觸摸”數(shù)學(xué)。學(xué)生從一個一個計數(shù)，到后來會分組分計算單位進(jìn)行計算，這是數(shù)數(shù)能力的一種飛躍。在點(diǎn)子圖上圈圈寫寫畫畫，選擇合適的計算單位進(jìn)行計算，學(xué)生在面對大數(shù)問題時，會有所把握，能為后續(xù)學(xué)習(xí)更大的數(shù)提供方法上的支撐。給三百六十八個小方格涂色，其實就是在考驗學(xué)生對數(shù)的感知能力，能幫助學(xué)生掌握分組計算知識，使其靈活運(yùn)用計數(shù)單位來掌握數(shù)學(xué)的意義。

（四）畫“點(diǎn)”，化復(fù)雜為簡單，積累數(shù)感經(jīng)驗

學(xué)生學(xué)習(xí)完基礎(chǔ)知識后，需要綜合運(yùn)用所學(xué)的知識和方法解決簡單的實際問題，獲得不一樣的數(shù)感經(jīng)驗，讓思考方式可視化、有跡可循，也讓思考角度多樣化。

1.讓思路更清晰

在低年段數(shù)學(xué)中經(jīng)常會遇到排隊題目，而點(diǎn)子圖直觀簡潔，能夠幫助學(xué)生掌握知識點(diǎn)，理解題目的關(guān)鍵點(diǎn)。例如，同學(xué)們排成人數(shù)相同的4隊做早操，小明在其中的一隊，從前數(shù)、從后數(shù)他都是第3個，那么做早操的一共有多少人？通過畫點(diǎn)子圖，我們就可以清楚地看出一隊有5人，一共有4隊，那么總?cè)藬?shù)就是有4個5相加，即20人。

2.讓思維更發(fā)散

冷冰的數(shù)字，枯燥無味的計算，對有些學(xué)生來說毫無趣味可言，但將數(shù)字畫成一張張點(diǎn)子圖，組合成一幅幅有規(guī)律的圖畫，學(xué)生就能發(fā)現(xiàn)原來無趣的數(shù)字和枯燥的計算背后竟然蘊(yùn)藏著如此神奇的規(guī)律。

在1—10中任意選取兩個數(shù)字，將相應(yīng)的點(diǎn)子圖組合在一起，偶數(shù)2、4、6、8中任意兩組點(diǎn)子圖能組合成一個規(guī)則的長方形；奇數(shù)1、3、5、7、9中任意兩組點(diǎn)子圖也能組合成一個規(guī)則的長方形；而一奇一偶的兩個數(shù)字組合成的點(diǎn)子圖無法組合成規(guī)則的長方形，總是會多出一個，如圖3所示。

結(jié)語

綜上所述，教師借助直觀模型點(diǎn)子圖，能幫助低年段的學(xué)生建立數(shù)感，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展，使其做到心中有“數(shù)”。借助點(diǎn)子圖構(gòu)建起“形”與“數(shù)”的聯(lián)系，以形助數(shù)，以數(shù)助形，能讓學(xué)生在“形”中發(fā)展良好的數(shù)感，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

［參考文獻(xiàn)］

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