張靜 陳秀秀 趙鑫

特級教師張鶴曾說：“如果把教師所教授的知識看做A，學(xué)生經(jīng)過學(xué)習(xí)把知識轉(zhuǎn)化為自己的思維能力看做B，教學(xué)的過程應(yīng)該是從A出發(fā)，對A進行演繹（這個過程記為A），再到B，教學(xué)的價值恰恰就在于這個讓學(xué)生經(jīng)歷從A到A，再到B的過程。” 因此，教師首先要努力地研究A，真正地理解單元的知識結(jié)構(gòu)，才能更好地挖掘A，進而實現(xiàn)B。這樣讓學(xué)生有結(jié)構(gòu)、有邏輯地逐漸認識數(shù)學(xué)的過程，方能落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，才是最美好的數(shù)學(xué)教育。

理解教材“編寫意圖”，梳理單元知識邏輯

理解教材的“編寫意圖”，不僅要弄清楚教材中每個文字、每個符號的含義，更要理清知識點背后所蘊含的思維邏輯：即從整體上建立不同學(xué)段單元知識的橫向聯(lián)系，挖掘其知識的一致性，從局部上建立每個學(xué)段單元知識的縱向聯(lián)系，挖掘其知識的連續(xù)性。下面，以人教A版高中數(shù)學(xué)必修一第二章《一元二次函數(shù)、方程、不等式》的教材解讀為例，具體說明。

《一元二次函數(shù)、方程、不等式》是“預(yù)備知識”的第二部分，承擔(dān)著初高中銜接的重要使命，是幫助學(xué)生從初中相對具體的知識過渡到高中階段相對抽象的知識的一個重要載體，更是學(xué)生學(xué)習(xí)方式和學(xué)習(xí)心理過渡的重要載體。因此，教師一定要理清學(xué)生在小學(xué)、初中已經(jīng)學(xué)過的“相等關(guān)系”的相關(guān)內(nèi)容與高中即將學(xué)習(xí)的這個單元內(nèi)容之間的橫向和縱向的聯(lián)系。

首先，從研究邏輯上看一致性。方程和不等式的教學(xué)內(nèi)容雖然分布在不同學(xué)段、不同章節(jié)，但是研究的“基本套路”是一致的：背景（現(xiàn)實世界中的一類現(xiàn)象）—概念（研究對象）—性質(zhì)（要素、相關(guān)要素之間的關(guān)系、變化規(guī)律）—結(jié)構(gòu)（相關(guān)知識的聯(lián)系）—應(yīng)用。例如，初中研究方程的“基本套路”大多是：背景（現(xiàn)實世界中的一類現(xiàn)象）—方程（相等關(guān)系）—等式性質(zhì)（基本性質(zhì)）—一元一次方程（特殊方程）—一元二次方程（特殊方程）—應(yīng)用?；诖?，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生通過類比研究方程的“基本套路”，形成研究不等式的“基本套路”：背景（現(xiàn)實世界中的一類現(xiàn)象）—不等式（不等關(guān)系）—不等式性質(zhì)（基本性質(zhì)）—基本不等式（特殊不等式）—一元二次不等式（特殊不等式）—應(yīng)用。梳理研究每個對象的“基本套路”，能夠引導(dǎo)學(xué)生成為研究“數(shù)學(xué)對象”的先行組織者，即面對一個研究對象或者數(shù)學(xué)問題時，先從整體上規(guī)劃“基本套路”，再展開具體研究，做到有方向、有方法，發(fā)展學(xué)生的理性思維。

其次，從思維邏輯上看一致性。方程和不等式是兩個核心的內(nèi)容，用方程去刻畫相等關(guān)系，用不等式去刻畫不等關(guān)系，從實際背景中抽象出數(shù)學(xué)中最基本的數(shù)量關(guān)系，抽象方法是一致的，一般都是觀察（共同特征）、比較（比較相同和不同）、分析（看各個量的局部特征）、綜合（看各個量的整體特征）和抽象概括（用語言或者符號將本質(zhì)特征表達出來）；方程的變形利用的是等式的性質(zhì)，不等式的變形利用的是不等式的性質(zhì)；在不等式性質(zhì)的探究中，類比等式的性質(zhì)（先研究相等關(guān)系自身的特性，然后再研究等式在運算中保持的不變性），研究的順序和方法都是一致的；在方程中有一類特殊的方程是一元二次方程，不等式中重點研究兩類特殊的不等式，一元二次不等式和基本不等式，對于“特例”的研究一直是數(shù)學(xué)研究對象中必不可少的一部分。

最后，從思想方法上看連續(xù)性。二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式及其相互關(guān)系體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科中非常重要的觀點，即“聯(lián)系的觀點”。從知識的聯(lián)系性出發(fā)，可以提高對數(shù)學(xué)整體的認識。函數(shù)是“聯(lián)結(jié)”方程和不等式的“紐帶”，方程和不等式是對應(yīng)函數(shù)的不同狀態(tài)。所以，利用函數(shù)的變化規(guī)律可以解決相應(yīng)方程和不等式的問題?；诖耍處熢诮虒W(xué)《一元二次函數(shù)、方程、不等式》單元時滲透“函數(shù)的觀點”，能夠幫助學(xué)生在后續(xù)解決基本初等函數(shù)的方程和不等式的問題時熟練地運用“函數(shù)觀點”，這直接影響學(xué)生對于之后《函數(shù)》單元的學(xué)習(xí)和理解。

總之，理解教材的“編寫意圖”，從橫向和縱向兩個維度深入挖掘知識之間的邏輯關(guān)系，提升“一般觀念”“一般思想方法”的指導(dǎo)意識，不僅有利于教師理解數(shù)學(xué)，更能促進教師更好的教好數(shù)學(xué)。

合理整合教學(xué)內(nèi)容，體現(xiàn)單元整體教學(xué)

合理整合教學(xué)內(nèi)容，就是教師在理解教材“編寫意圖”、梳理單元知識結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，對整個單元的內(nèi)容進行適當(dāng)?shù)闹亟M和整合，揭示知識間的深層聯(lián)系，從而突出知識的系統(tǒng)性和教學(xué)的方向性，這有利于發(fā)展學(xué)生的思維能力，進而促進核心素養(yǎng)的落地。

首先，根據(jù)知識的橫向聯(lián)系，整合單元教學(xué)內(nèi)容，體現(xiàn)單元邏輯的一致性。例如，在前文《一元二次函數(shù)、方程、不等式》的單元解讀中，我們詳細闡述了方程、不等式的橫向聯(lián)系，教材也確實是按照這樣的邏輯編寫的。但是在實際操作中，方程的相關(guān)內(nèi)容分布在初中的各個年級，跨度較大，再加上學(xué)生對研究的“基本套路”等并不熟悉，所以在教學(xué)教材基本課時的基礎(chǔ)上，增加了單元前置學(xué)習(xí)任務(wù)的梳理——“以真實問題為統(tǒng)領(lǐng)梳理相等關(guān)系的研究路徑及方法，類比相等關(guān)系研究不等關(guān)系”。單元前置學(xué)習(xí)任務(wù)安排在課前，學(xué)生課下完成，課上展示，教師總結(jié)提升，不占用額外課時，但卻能夠讓學(xué)生在學(xué)習(xí)新單元前回顧已有的知識系統(tǒng)，真正讓學(xué)生成為先行組織者，在已有的知識體系上，建構(gòu)新的知識體系。

再如，人教A版高中數(shù)學(xué)必修二第七章《復(fù)數(shù)的概念和四則運算》，在教材安排的四課時基礎(chǔ)上，我們也做了適當(dāng)?shù)膶嵺`調(diào)整。先布置單元前置學(xué)習(xí)任務(wù)，請學(xué)生查閱數(shù)學(xué)史的相關(guān)資料，梳理自然數(shù)系擴充到實數(shù)系的實際需要，抽象出從自然數(shù)系到實數(shù)系擴充過程中遵循的“規(guī)則”，即擴充后的數(shù)系中的加法和乘法運算與原數(shù)系的加法和乘法運算的協(xié)調(diào)一致，并且使加法和乘法所滿足的運算律仍然成立。然后，讓學(xué)生在單元的第一課時中，展示自己的學(xué)習(xí)成果，然后師生一起基于學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗學(xué)習(xí)新的數(shù)系——復(fù)數(shù)系。再用兩個課時完成教學(xué)中安排的所有四課時的教學(xué)內(nèi)容，第一課時內(nèi)容為復(fù)數(shù)的概念（代數(shù)表示、幾何表示、分類、復(fù)數(shù)相等），第二課時為復(fù)數(shù)的四則運算（加減乘除）。調(diào)整后的課時設(shè)計，學(xué)生覺得充實，學(xué)得更有意義。

其次，根據(jù)知識的縱向聯(lián)系，整合單元教學(xué)內(nèi)容，體現(xiàn)單元思想連續(xù)性。以人教A版高中數(shù)學(xué)必修二第六章《平面向量及其應(yīng)用》單元中“平面向量的應(yīng)用”部分為例具體說明。教材針對“平面向量的應(yīng)用”部分共安排了5課時的內(nèi)容，將正弦定理和余弦定理的內(nèi)容分割開來。在解讀教材的過程中，我們發(fā)現(xiàn)這部分內(nèi)容被安排在平面向量的應(yīng)用部分，意圖為向量的應(yīng)用提供一個重要載體，讓學(xué)生進一步體會用向量方法解決平面幾何問題所蘊含的數(shù)學(xué)思想、掌握用向量運算解決平面幾何問題的基本要領(lǐng)和方法的同時，完善對三角形的認知結(jié)構(gòu)：從初中對三角形的定性研究和對直角三角形的定量研究推廣到現(xiàn)在對一般三角形的定量研究。為此，我們在實踐中對教材順序進行了合理的整合，在向量運算及其蘊含的數(shù)學(xué)思想方法上發(fā)力，將通過向量運算解決幾何問題一個背景一用到底，一節(jié)課一氣呵成即可推導(dǎo)出三角形邊角關(guān)系?；诖?，我們將5課時的內(nèi)容做出了調(diào)整：第一課時：平面幾何中的向量方法；第二課時：用向量方法研究三角形的邊角關(guān)系；第三課時：正余弦定理的應(yīng)用；第四課時：正余弦定理的應(yīng)用舉例；第五課時：向量在物理中的應(yīng)用舉例。調(diào)整之后課時雖然沒有太大變化，但是學(xué)生的整體觀和解決問題的能力有了很大提升。

實踐證明，通過合理的整合單元教學(xué)內(nèi)容，從整體角度在一定程度上減少了課時，但減少課時不是重點，重點是在整合過程中建立知識之間的本質(zhì)聯(lián)系，整體把握教學(xué)目標(biāo)與和課程內(nèi)容，這也有利于學(xué)生建構(gòu)系統(tǒng)的知識體系，提升思維能力，發(fā)展核心素養(yǎng)。

落實每個單元教學(xué)，發(fā)展學(xué)生的思維能力

落實每個單元教學(xué)，就是在合理整合教學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)上，在每個單元課時前、單元課時中、單元課時后，設(shè)計揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)的教學(xué)活動。通過具體的實踐可以發(fā)現(xiàn)，要想真正有效地落實每個單元的教學(xué)內(nèi)容，不僅要在單元課時上下功夫，單元課時前的前置學(xué)習(xí)、單元課時后的單元作業(yè)和單元檢測一樣必不可少。這樣連續(xù)的教學(xué)活動，才能更有效地發(fā)展學(xué)生的思維和能力。

首先，單元課時前布置前置學(xué)習(xí)任務(wù)。任務(wù)的設(shè)置要內(nèi)容具體，知識簡單，形式多樣。前置學(xué)習(xí)的目的有兩個，第一個目的是從教師的角度了解學(xué)情，即備學(xué)生。課堂教學(xué)前，教師不僅要基于教材解讀和分析了解單元知識結(jié)構(gòu)，更要了解學(xué)生在學(xué)習(xí)本單元前對已有知識的掌握情況、知識漏洞、認知困難等。這就需要教師通過布置前置學(xué)習(xí)任務(wù)詳細了解學(xué)生的學(xué)情，并根據(jù)掌握的情況對教學(xué)設(shè)計進行調(diào)整，確保教學(xué)對學(xué)生更具有針對性。第二個目的是從學(xué)生的角度了解學(xué)習(xí)內(nèi)容，即讓學(xué)生在較短的時間內(nèi)，在任務(wù)的引領(lǐng)下回顧已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，將已有經(jīng)驗類比遷移到對本單元的學(xué)習(xí)上。這樣“溫故”的過程能夠為學(xué)生快速進入本單元或本課時的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

其次，單元課時中要創(chuàng)設(shè)合適的情境，提出能夠揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)的問題，引導(dǎo)學(xué)生開展系列化的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動。曾經(jīng)聽過這樣一個有趣的故事：一個男孩說自己教一只小狗講話了。但當(dāng)他的朋友要求小狗表演時，這條狗除了叫什么也不會。于是他的朋友對此提出質(zhì)疑：“我記得你說教過小狗說話的？”“是的，我教它了，”自稱教練的男孩答道，“我教過它說話，但是我沒說過它學(xué)會了”。這個故事聽起來很好笑，但在我們的教學(xué)中卻不足為奇。作為教師，我們常常會在教學(xué)中遇到挫折時，發(fā)自內(nèi)心地抱怨“我教了，但他們沒有學(xué)會?！笔艿角拔墓适碌膯l(fā)，我們可以得知：學(xué)并不是由教引起的。教，就其本身而言，永遠不會引發(fā)學(xué)。只有當(dāng)學(xué)習(xí)者對學(xué)習(xí)進行成功的嘗試時才會引發(fā)學(xué)習(xí)。教師不能把自己理解的數(shù)學(xué)內(nèi)容傳授學(xué)生，學(xué)生必須自己去獲得。那么，學(xué)生如何才能在教師的引領(lǐng)下獲得知識呢？這就需要教師根據(jù)具體的課型創(chuàng)設(shè)適合學(xué)生的問題情境，即在課堂上以一個真實的問題情境或一個有意義的數(shù)學(xué)情境為統(tǒng)領(lǐng)，引導(dǎo)學(xué)生在解決問題的過程中，掌握該單元涉及的不同知識，讓學(xué)生在反思分析的過程中形成概念或者定理等，這樣才能使學(xué)生在主動探索的過程中，真正將印在課本上的學(xué)科知識轉(zhuǎn)化為學(xué)科思維能力。例如，在《一元二次函數(shù)、方程、不等式》單元第五課時的教學(xué)中，教師以“類比用一次函數(shù)的圖像求解一元一次不等式，能否用有關(guān)二次函數(shù)的知識來研究一元二次不等式的解法？”這個問題為統(tǒng)領(lǐng)展開教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生在自主探究、合作交流中解決問題。在解決問題的過程中，學(xué)生在借助初中用一次函數(shù)的觀點解決一元一次方程、不等式的經(jīng)驗基礎(chǔ)上，進一步體會如何利用函數(shù)觀點、數(shù)形結(jié)合的思想方法解決有關(guān)一元二次不等式的問題，這種思想方法的滲透途徑遠比教師講授的效果要好得多。因為它是學(xué)生在新的問題情境中主動探索出來的成果，能夠真正落實到后續(xù)其他方程與不等式問題的解決中，進一步體現(xiàn)數(shù)學(xué)的整體性和聯(lián)系性?？梢?，課堂教學(xué)需要教師基于教學(xué)內(nèi)容精心設(shè)計教學(xué)過程，通過具體的情境和問題，引導(dǎo)學(xué)生主動探索知識。整體設(shè)計，分步實施，才能促進學(xué)生對數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的整體理解和把握，逐步發(fā)展核心素養(yǎng)。

最后，單元課時后教師要設(shè)計好課后單元作業(yè)和單元檢測的內(nèi)容，以鞏固單元學(xué)習(xí)效果。通過教學(xué)實踐可以發(fā)現(xiàn)，單元作業(yè)和單元檢測內(nèi)容的有效設(shè)計必須包含四個要素：明確的目標(biāo)、適當(dāng)?shù)臄?shù)量、明顯的梯度和及時的批改和反饋。以單元檢測具體來說，單元檢測中設(shè)計的每一道題目都要有明確的目標(biāo)，要依據(jù)單元的知識明細表布置考題的內(nèi)容。一是簡單題目的設(shè)計，每個知識點都要設(shè)計一道題，而且一道題只考察單一知識點，這樣目標(biāo)就非常明確，就是要從每個學(xué)生的完成數(shù)據(jù)中了解每個學(xué)生存在的問題，這樣的反饋更聚焦，輔導(dǎo)的針對性也更強。二是要確保中檔題和難題有分層，且要控制數(shù)量不宜過多，試題數(shù)量要匹配考試時間，保證全班90%以上的學(xué)生都能完全做完。對于學(xué)生完成的檢測試卷，教師要及時批改和反饋，反饋的不僅是考試的分?jǐn)?shù)，而是要讓學(xué)生對照單元知識細目表分析自己存在的知識漏洞，并在教師的指導(dǎo)下整理錯題，不斷提升。

總而言之，從“知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”，需要不同學(xué)段的教師都能夠高站位地理解數(shù)學(xué)，從教材分析出發(fā)，理解教材的編寫意圖，厘清單元知識的結(jié)構(gòu)與邏輯。在此基礎(chǔ)上，對知識進行重構(gòu)，加強知識間的聯(lián)系。此外，還要精心設(shè)計單元課時前、單元課時中、單元課時后的教學(xué)活動，讓學(xué)生在真問題的引領(lǐng)下有結(jié)構(gòu)有邏輯地認識數(shù)學(xué)。這樣學(xué)生12年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才是連貫的、不割裂的，數(shù)學(xué)思維才能得到更好的發(fā)展。

【本文系北京市教育學(xué)會“十四五”教育科研2022年度課題“基于高中數(shù)學(xué)新教材編寫意圖的單元教學(xué)設(shè)計策略研究”（課題編號：MY2022-001）的研究成果之一?！?/p>