陳明珠

數(shù)學(xué)知識是有結(jié)構(gòu)的，數(shù)學(xué)教學(xué)也是有結(jié)構(gòu)的，實現(xiàn)教學(xué)結(jié)構(gòu)化，可以助力學(xué)生知識、方法和思維的有效建構(gòu)，結(jié)合教學(xué)實踐，教師立足結(jié)構(gòu)化教學(xué)，從這四個方面優(yōu)化題組設(shè)計：固點（理解知識點的本質(zhì)）、串線（大單元整合成一條清晰的知識線）、組面（單元與單元延伸成知識模塊）、成體（構(gòu)建小學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)體系），將學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)體系進(jìn)行優(yōu)化，培養(yǎng)學(xué)生擁有一個完整的結(jié)構(gòu)化思維，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)目標(biāo)。

認(rèn)知心理學(xué)家布魯納曾經(jīng)說過一句話：“已經(jīng)掌握的知識，如果沒有經(jīng)過結(jié)構(gòu)進(jìn)行完美的聯(lián)系，隨著時間的推移就會變成被人所遺忘的知識?！毙W(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)，是指教師站在系統(tǒng)的高度，從整體的角度出發(fā)，針對學(xué)習(xí)的發(fā)生以及過程進(jìn)行審視，以此來對學(xué)生的結(jié)構(gòu)思維進(jìn)行培養(yǎng)，形成“帶的走”的學(xué)習(xí)方法和能力?！邦}組”能夠做到的就是將內(nèi)容、形式、思維方法、解法相似的題目結(jié)合在一起組成一個組題。筆者通過實踐發(fā)現(xiàn)只要立足結(jié)構(gòu)化教學(xué)，從固點、串線、組面、成體這四個方面優(yōu)化題組設(shè)計，就可以優(yōu)化和完善學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)體系，推動學(xué)生結(jié)構(gòu)化思維的飛速發(fā)展，進(jìn)而達(dá)到提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)目的。

一、立足結(jié)構(gòu)化教學(xué)的生長點 ，優(yōu)化“固點”題組設(shè)計

新課標(biāo)指出，數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)化教學(xué)是一個整體，它的生長點指的是每個“碎片化”的單一的知識點，而“固點”就是在每一章節(jié)的學(xué)習(xí)、小結(jié)中，結(jié)合教材的知識點，從多角度、多方面，針對概念、意義以及知識點進(jìn)行深入了解，并進(jìn)行分析和總結(jié)。要透徹理解知識點的本質(zhì)，而不僅僅停留在知識的表面。只有鞏固好每個知識點，才能進(jìn)行知識間的溝通和關(guān)聯(lián)，這樣結(jié)構(gòu)化教學(xué)才有生長的力量，因此我們要立足結(jié)構(gòu)化教學(xué)的生長點 ，優(yōu)化“固點”題組設(shè)計。牢牢地掌握知識點，為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識打下堅實的基石，從而進(jìn)一步提高學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量以及學(xué)習(xí)能力。

例如，教師進(jìn)行“圓柱的表面積”這一節(jié)課的結(jié)構(gòu)化教學(xué)時，側(cè)面積公式就是結(jié)構(gòu)化教學(xué)的生長點，只有扎實的掌握了側(cè)面積公式，才能靈活解決有關(guān)于圓柱表面積的實際問題，做好知識間的溝通和串聯(lián)，因此筆者設(shè)計了以下的“固點”題組，力求讓學(xué)生深刻理解并掌握圓柱的側(cè)面積就是底面周長×高。

固點題組：求以下圓柱的側(cè)面積。

第一題是已知底面周長和高，求圓柱的側(cè)面積（如圖1），第二題是已知直徑和高，求圓柱的側(cè)面積（如圖2），第三題是已知半徑和高，求圓柱的側(cè)面積（如圖3）。它們內(nèi)在聯(lián)系為圖2將圓的直徑轉(zhuǎn)化為圓底面周長，圖3將圓的半徑轉(zhuǎn)化為直徑，再轉(zhuǎn)化為底面周長，從而求圓柱的側(cè)面積。

通過以上練習(xí)，厘清 “已知圓柱的半徑、直徑、底面周長，求圓柱的側(cè)面積”三種題型之間的內(nèi)在聯(lián)系。都是要把它轉(zhuǎn)化成底面周長，通過底面周長×高，求出側(cè)面積。學(xué)生就在腦海里的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中存入了“已知底面周長和高求圓柱的側(cè)面積”這個固點，像這樣抓住概念本質(zhì)，優(yōu)化“固點”題組的設(shè)計，有利于學(xué)生及時鞏固理解知識本質(zhì)，觸類旁通，舉一反三。因此，在教學(xué)每一節(jié)新課時，都要牢牢抓住該章節(jié)的生長點，優(yōu)化“固點”題組設(shè)計，領(lǐng)悟知識的本質(zhì)，扎實的掌握生長點，提高學(xué)習(xí)效率，優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

二、立足結(jié)構(gòu)化教學(xué)的整合點，優(yōu)化“串線”題組設(shè)計

結(jié)構(gòu)化教學(xué)的核心就是整合，將知識點與知識點溝通、串聯(lián)起來，用結(jié)構(gòu)化的思維對單元知識、方法、思維進(jìn)行整合，指導(dǎo)學(xué)生從碎片的學(xué)習(xí)到整體的學(xué)習(xí)，整體性越強(qiáng)、概括性越強(qiáng)，就越有利于學(xué)習(xí)的保持和遷移。因此在整合時不能僅僅是簡單知識點的羅列，而是要優(yōu)化“串線”題組設(shè)計，所謂的“串線”題組就是從單元整體的視角，將零散的知識點放到整個單元知識的結(jié)構(gòu)當(dāng)中，引導(dǎo)學(xué)生整理清楚知識脈絡(luò)。有助于學(xué)生厘清單元各知識間的內(nèi)在聯(lián)系，縱向整合成一條系統(tǒng)的、明確的知識線，為結(jié)構(gòu)化教學(xué)整合提供保障，從而構(gòu)建學(xué)生新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)思維的拔節(jié)、提升。

例如，在“圓柱和圓錐”這一單元的結(jié)構(gòu)化教學(xué)中，包含的知識有圓柱的特征、表面積和體積，圓錐的特征和體積等比較碎片的知識點，因此筆者立足“線”的構(gòu)建，系統(tǒng)地將這些知識進(jìn)行整合，優(yōu)化設(shè)計了以下的“串線”題組：

一做。用一張長30㎝，寬20㎝的長方形紙疊出了一個圓柱。想一想，圓柱與長方形各部分之間有什么聯(lián)系？什么變了？什么沒變？

二思。制作無蓋圓柱體形狀的水桶需要多少鐵皮是求什么？

三算。一個圓柱體的底面半徑為2㎝，高為8㎝，它的表面積為多少？

四切。①把底面直徑為20㎝，高為8㎝的蛋糕從沿底面垂直切成2半，什么變了，什么沒變？如果沿底面垂直切成N半呢？②把底面直徑為20㎝，高為8㎝的蛋糕平行于切成2段圓柱，什么變了，什么沒變？那如果平行于底面切成N段呢？

五涂。同學(xué)們?nèi)绻谶@個雙層蛋糕的表面部分（如圖4），涂上一層厚厚的奶油，但是下底面不涂，你們知道涂奶油部分的面積是多少嗎？

六挖。為了做造型，陳老師在這個直徑為20㎝，高8㎝蛋糕里挖了一個直徑為10㎝，高2㎝的圓柱（如圖5），需要涂奶油（底面不涂）的面積是多少㎝2？

七伸。為了做造型，從棱長為10㎝的蛋糕中挖走了一個直徑為3㎝，高為6㎝的圓柱，剩下的蛋糕是多少m3？

八變。一塊圓柱形的橡皮泥，底面積是12㎝2，高是5㎝，如果把它捏成等底的圓錐，這個圓錐的高是（? ? ），如果把它捏成等高的圓錐，這個圓錐的底面積是（? ? ）。通過做（復(fù)習(xí)圓柱的特征及由來），思（復(fù)習(xí)表面積的概念），算（數(shù)形結(jié)合復(fù)習(xí)表面積兩種計算公式），切（復(fù)習(xí)表面積的變化），通過涂和挖（復(fù)習(xí)整體求表面積的方法，并對比發(fā)現(xiàn)不管是涂N層還是挖N層都是求一個大的圓加幾個側(cè)面積），再通過伸（拓展了圓柱的體積），最后通過變（復(fù)習(xí)圓錐的體積）等一系列的練習(xí)將碎片化知識進(jìn)行整合，以知識的由來、運用、拓展的順序為線，串成一條完整的單元知識鏈，像這樣優(yōu)化“串線”題組的設(shè)計，使學(xué)生對“圓柱和圓錐”這一單元知識的認(rèn)識從零散到條理，從模糊到清晰，從清晰到深刻，便于學(xué)生更深層次理解知識脈絡(luò)，掌握學(xué)習(xí)方法，積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗，從而建構(gòu)了新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，因此在教學(xué)單元知識完后，教師要立足結(jié)構(gòu)化教學(xué)的整合點，抓住本單元的核心知識點，優(yōu)化設(shè)計一系列的“串線”題組，將知識點由點延伸成線，讓學(xué)生觸到知識的本質(zhì)，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，進(jìn)一步打開學(xué)生的眼界和思路。

三、立足結(jié)構(gòu)化教學(xué)的聯(lián)結(jié)點，優(yōu)化“組面”題組設(shè)計

結(jié)構(gòu)化教學(xué)強(qiáng)調(diào)聯(lián)結(jié)點即教師要深入研讀教材，挖掘單元與單元之間相關(guān)知識、方法、思維等內(nèi)在關(guān)聯(lián)和異同之處，并將其聯(lián)結(jié)起來，從而展開結(jié)構(gòu)化、科學(xué)化、系統(tǒng)化的教學(xué)，加深學(xué)生對知識含義的掌握，構(gòu)建一個屬于自己的數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)圖，同時也培養(yǎng)了學(xué)生認(rèn)真仔細(xì)的觀察能力以及自由發(fā)揮的想象力，有效提高了學(xué)習(xí)效率。因此我們可以立足結(jié)構(gòu)化教學(xué)的聯(lián)結(jié)點，優(yōu)化“組面”題組設(shè)計，所謂的“組面”題組即打破常規(guī)單元內(nèi)的知識梳理，找到聯(lián)結(jié)點重組關(guān)聯(lián)，將分散在各單元有聯(lián)系的、相關(guān)的，本質(zhì)是一樣的知識點，通過對比、聯(lián)想、歸納等方法進(jìn)行橫向整合，形成“知識面”。這樣的“面”相較于“線”，更能讓學(xué)生理清知識盲點，觸及知識的本質(zhì)，使知識更加系統(tǒng)化，從而完成模塊知識的構(gòu)建，為結(jié)構(gòu)化教學(xué)的實施搭建了有力的橋梁，實現(xiàn)學(xué)生認(rèn)知的升華。

例如，分?jǐn)?shù)乘法、分?jǐn)?shù)除法、比和百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用題，他們零散的分布在六年級上冊，但知識聯(lián)系密切，他們的聯(lián)結(jié)點是本質(zhì)一樣，都是分?jǐn)?shù)乘除法應(yīng)用題，用的線段圖也一樣。因此筆者優(yōu)化設(shè)計了如下的“組面”題組：

一編。你們能根據(jù)下面的線段圖編一道乘除法應(yīng)用題嗎？（如圖6）

二解。①一條路長1000米，工程隊已修了全長的1/4，還剩多少米沒修？②一瓶牛奶，喝了300毫升，已經(jīng)喝了1/4，這瓶牛奶一共多少毫升？③一本書有100頁，看了和未看的比是1∶3，看了多少頁？④一條泳道已經(jīng)游了100米，是全長的25%，全長是多少米？

三比。比一比，這些題目有什么共同點，把你的發(fā)現(xiàn)寫下來。

一編：先讓學(xué)生根據(jù)線段自主編題，引導(dǎo)學(xué)生使用數(shù)形結(jié)合來理解知識的本質(zhì)；二解：通過對學(xué)生編的不同題目進(jìn)行分類整理，比如第一類是分?jǐn)?shù)乘法，單位“1”已知，量和率不對應(yīng)，第二類是分?jǐn)?shù)除法，單位“1”未知，量和率對應(yīng)，第三類是比的應(yīng)用題，但是比可以轉(zhuǎn)化成分率，單位“1”已知，量和率也對應(yīng)，第四類是百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用題，也可以轉(zhuǎn)化成分率，也是單位“1”已知，量和率對應(yīng)的問題。三比：學(xué)生通過自己分析，溝通聯(lián)系，得出分?jǐn)?shù)、比、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，他們都是分?jǐn)?shù)乘除法應(yīng)用題。當(dāng)單位“1”已知時，用單位“1”×對應(yīng)分率＝對應(yīng)量，當(dāng)單位“1”未知時，對應(yīng)量÷對應(yīng)分率＝單位“1”。這樣從“線”聯(lián)結(jié)成“面”，既復(fù)習(xí)了舊知，也形成了新的知識網(wǎng)，建構(gòu)了新的數(shù)學(xué)模型，有助于數(shù)學(xué)方法的運用、數(shù)學(xué)思想的產(chǎn)生，因此，在教學(xué)中可以立足于結(jié)構(gòu)化教學(xué)的聯(lián)結(jié)點，優(yōu)化“組面”題組設(shè)計，注重單元知識之間的聯(lián)系，抓住聯(lián)系設(shè)計“組面”題組，對單元與單元的知識進(jìn)行分析、比較、歸納、總結(jié)，實現(xiàn)練一組題，通一類題，從而“把書越讀越薄”，數(shù)學(xué)思維更加深刻。

四、立足結(jié)構(gòu)化教學(xué)的落腳點，優(yōu)化“成體”題組

結(jié)構(gòu)化教學(xué)的落腳點是幫助學(xué)生形成結(jié)構(gòu)化的知識與技能和結(jié)構(gòu)化的思想與方法。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》針對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的教學(xué)明確提出，教師要對數(shù)學(xué)課本進(jìn)行熟練的掌握，不管是什么學(xué)段的學(xué)生都要有對課本局部的理解，同時，對整個小學(xué)階段的數(shù)學(xué)課本要有全面的掌握，從而構(gòu)建一個整體的結(jié)構(gòu)化教學(xué)，有助于學(xué)生構(gòu)建屬于自己的知識網(wǎng)絡(luò)。因此可以立足結(jié)構(gòu)化教學(xué)的落腳點，優(yōu)化“成體”題組設(shè)計，所謂“成體”題組是將知識點放到每個學(xué)段，乃至整個小學(xué)數(shù)學(xué)體系的知識結(jié)構(gòu)上，從整體上把握知識結(jié)構(gòu)設(shè)計題組，了解知識的產(chǎn)生和發(fā)展以及知識背后蘊藏的思維和內(nèi)涵，從點—線—面—體感受知識之間的關(guān)聯(lián)性，最終將知識與技能、思想與方法融為一體，從而實現(xiàn)結(jié)構(gòu)化教學(xué)，完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，形成結(jié)構(gòu)化、一體化、系統(tǒng)化的知識體系。

例如，在結(jié)構(gòu)化教學(xué)“長方體、正方體、圓柱和圓錐等立體圖形的表面積和體積”時，其落腳點是溝通這些立體圖形的表面積和體積之間的聯(lián)系，統(tǒng)一成同一個計算方法，促使學(xué)生對立體圖形的認(rèn)識進(jìn)一步系統(tǒng)化、一體化，因此筆者設(shè)計如下“成體”題組：

1.基礎(chǔ)題：你能完成下面的表格嗎？

2.綜合題：你能自己探究出正三棱柱、正五棱柱等的表面積和體積嗎？

以上題組涵蓋了長方體、正方體、圓柱、圓錐、三棱柱、五棱柱等的表面積和體積。首先通過對長方體、圓柱等已學(xué)的表面積和體積公式的梳理，激發(fā)學(xué)生的原有經(jīng)驗，通過綜合題拓展探究正三棱柱、正五棱柱等的表面積和體積，從而通過觀察、對比、分析等構(gòu)建小學(xué)階段完整的立體圖形表面積和體積的知識體系，發(fā)現(xiàn)所有直柱體的側(cè)面積都是“底面周長×高”（圖7），表面積都是“側(cè)面積＋兩個底的面積”，體積都是“底面積×高”圖8，讓學(xué)生對立體圖形進(jìn)行系統(tǒng)化的認(rèn)識，了解知識與知識之間存在的關(guān)系，豐富完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

小學(xué)的知識具有“螺旋上升”的特點，每一年所學(xué)的新內(nèi)容，都是前面基礎(chǔ)的深化，越來越復(fù)雜、越來越抽象，從而形成完整的知識體系。實踐也證明，學(xué)生大腦比較容易記住的是一定范圍內(nèi)各種關(guān)系、框架和體系，因此，我們可以立足結(jié)構(gòu)化教學(xué)的落腳點，優(yōu)化“成體”題組，將知識點放進(jìn)學(xué)段里甚至整個小學(xué)階段，做到心中裝綠洲、眼中看森林，助力學(xué)生逐步構(gòu)建每個知識體系，對知識形成整體的結(jié)構(gòu)化認(rèn)知，促進(jìn)結(jié)構(gòu)化教學(xué)。

五、結(jié)語

總之，我們要在結(jié)構(gòu)化教學(xué)的基礎(chǔ)上，尋找知識與知識之間存在的聯(lián)系，優(yōu)化設(shè)計“固點→串線→組面→成體”的題組，將碎片化的知識連成線、結(jié)成網(wǎng)、筑成塊、構(gòu)成體，不斷對知識進(jìn)行系統(tǒng)的總結(jié)、消化、提煉、升華，有助于學(xué)生學(xué)習(xí)能力的大幅度提升，以及將知識點、學(xué)習(xí)方法和思維方式進(jìn)行結(jié)構(gòu)化建構(gòu)，推動學(xué)生結(jié)構(gòu)化思維的發(fā)展，進(jìn)一步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。