欒功 肖寶瑩 莫培權

［摘 要］文章基于強基計劃，以“以生為本”的育人理念為指導，以“根+空”雙向教學為抓手，從人才選拔、課程建設、課堂變革、多元評價、協(xié)同育人等方面構建“雙向—五維—交互”中學數(shù)學拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)模式，探索中學數(shù)學拔尖創(chuàng)新人才的培養(yǎng)機制。

［關鍵詞］強基計劃；雙向；五維；交互；中學數(shù)學；拔尖創(chuàng)新人才；培養(yǎng)模式

［中圖分類號］ ? ?G633.6 ? ? ? ?［文獻標識碼］ ? ?A ? ? ? ?［文章編號］ ? ?1674-6058（2023）02-0036-04

在教育全球化的時代背景下，我國對培養(yǎng)什么樣的人才以符合新時代發(fā)展的要求進行了新的探索。2020年1月，教育部發(fā)布《關于在部分高校開展基礎學科招生改革試點工作的意見》，決定自2020年起在全國部分高校開展基礎學科招生改革試點（簡稱“強基計劃”）。2022年10月，習近平總書記在黨的二十大報告中指出，我們要堅持教育優(yōu)先發(fā)展、科技自立自強、人才引領驅動，加快建設教育強國、科技強國、人才強國，堅持為黨育人、為國育才，全面提高人才自主培養(yǎng)質量，著力造就拔尖創(chuàng)新人才，聚天下英才而用之。當今的國際競爭實際上是人才的競爭，創(chuàng)新人才是提升國家國際競爭力的核心力量?！秶抑虚L期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要（2010 —2020年）》明確指出，高中階段教育是學生個性形成、自主發(fā)展的關鍵時期，對提高國民素質和培養(yǎng)創(chuàng)新人才具有特殊意義?？梢?，在中學階段培養(yǎng)拔尖創(chuàng)新人才尤為重要。

基于此，我校于2021年開展了關于中學數(shù)學拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)的研究，經過兩年多的探索實踐，構建出了“雙向—五維—交互”中學數(shù)學拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)模式，并取得了較好的實踐效果。

一、“雙向一五維一交互”中學數(shù)學拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)模式的目標和內涵

（一）目標

“雙向—五維—交互”中學數(shù)學拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)模式以“以生為本”的育人理念為指導，通過人才選拔、課程建設、課堂變革、多元評價、協(xié)同育人“五維”人才培養(yǎng)路徑，培養(yǎng)具備良好的學術素養(yǎng)、應用能力、創(chuàng)新能力的中學數(shù)學拔尖創(chuàng)新人才。

（二）內涵

（1）雙向。“雙向—五維—交互”中學數(shù)學拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)模式以“根+空”雙向教學為抓手。在《現(xiàn)代漢語詞典（第7版）》中，“根”有“事物的本源”的釋義，引申為事物、事情的本質，體現(xiàn)在教學上就是知識的本質、基本思想及核心素養(yǎng)；“空”有“不包含什么”的釋義，引申為“空白”“空無”之意，體現(xiàn)在教學上主要為“留白”“置空”，但并不僅限于時間、空間上的留白，更多的是通過時間、空間上的顯性留白，實現(xiàn)知識生長、邏輯發(fā)展、思維發(fā)散以及能力養(yǎng)成等隱性發(fā)展。

從上面表述不難看出，“根+空”雙向教學有兩重含義。一是落實“根”，即把握“根”、抓住“根”。教師在教學中應從課程要求和概念理解的本質出發(fā)，結合學生的已有知識經驗、思維水平，牢牢把握住課堂教學的核心。二是釋放“空”，也就是“留白”，從時間、空間上的顯性留白出發(fā)，實現(xiàn)知識生長、邏輯發(fā)展、思維發(fā)散以及能力養(yǎng)成等隱性發(fā)展?！白ジ每铡毕碌膹娀A和重思維正是中學數(shù)學拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)的兩個主要方向。

（2）五維。“雙向—五維—交互”中學數(shù)學拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)模式中的“五維”指人才選拔、課程建設、課堂變革、多元評價、協(xié)同育人。人才選拔方面，需選拔出興趣志向高、學科基礎扎實、意志品質強、后續(xù)發(fā)展?jié)摿Υ蟮陌渭鈩?chuàng)新人才。明晰人才的選拔標準是后續(xù)構建拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)路徑的基礎。課程建設方面，應致力于實現(xiàn)通識教育與專業(yè)教育的相互融通，設立涵蓋教材內容的學生基礎課程，跨學科、跨學段的無界閱讀課程，以提升實踐能力為本的數(shù)學實驗課程，著重激發(fā)學生科研興趣的數(shù)學寫作課程，等等。課堂變革方面，除了保持傳統(tǒng)的課堂講授方式，還應積極引導學生開展合作型學習、項目化學習、個性化學習、研究性學習等，在關注學生個性化發(fā)展的同時，充分激發(fā)學生的探究欲、挑戰(zhàn)欲和成就欲，培養(yǎng)學生交流與合作的能力以及分析和解決問題的能力，強化學生的實踐能力和創(chuàng)新意識。多元評價方面，有別于一般的單一量化評價，多元評價關注學生學習過程中的興趣培養(yǎng)和思維培養(yǎng)，注重發(fā)掘學生的創(chuàng)新潛力、創(chuàng)新能力和實踐能力。通過量化評價和質性評價，進一步優(yōu)化課程建設、課堂變革、多元評價的具體舉措，形成良性閉環(huán)。協(xié)同育人方面，應深化科教融合，實現(xiàn)家校、高校和中學協(xié)同育人，共同助力厚基礎、寬視野的拔尖創(chuàng)新人才的培養(yǎng)。

（3）交互。“交互”是指通過多種方式的相互作用，以及五個維度拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)路徑的共同作用，助力學生應用能力、創(chuàng)新能力、創(chuàng)新素養(yǎng)的提升。強基計劃背景下的“雙向—五維—交互”中學數(shù)學拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)模式如圖1所示。

二、“雙向一五維一交互”中學數(shù)學拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)模式的實施

（一）選拔人才

人才選拔是一個長期的梯隊建設工作，在選拔中學數(shù)學拔尖創(chuàng)新人才時除了要遴選熱愛數(shù)學學習的學生，還要遴選具備較強的數(shù)學思維能力和創(chuàng)新能力的學生。對此，我們構建了指向拔尖創(chuàng)新人才選拔的高中數(shù)學測評體系，并開展了一系列數(shù)學素養(yǎng)測試活動。第一，分階段開展全員性的“高一學生數(shù)學運算素養(yǎng)大賽”“高一學生邏輯推理素養(yǎng)大賽”等一系列數(shù)學素養(yǎng)測試活動，以便發(fā)現(xiàn)數(shù)學基礎扎實的學生。第二，針對有一定數(shù)學基礎的學生，開展教材習題改編、原創(chuàng)性試題命制等活動，以便發(fā)掘具有創(chuàng)新潛質的學生。第三，結合新教材的“文獻閱讀與寫作”欄目開展文獻閱讀與寫作活動，選拔具有科研興趣的學生。第四，結合新教材的“探究與發(fā)現(xiàn)”欄目開展數(shù)學探究與數(shù)學建?；顒?，發(fā)現(xiàn)具有較強數(shù)學建模等素養(yǎng)的學生。第五，創(chuàng)建拔尖創(chuàng)新人才選拔測評題庫，豐富拔尖創(chuàng)新人才測試題型。這樣，通過一系列數(shù)學素養(yǎng)測評活動，綜合考評學生的思維個性和創(chuàng)新品質，從而遴選出具有創(chuàng)新潛質的學生，并進行分梯隊培養(yǎng)。

（二）課程建設

課程是經過加工梳理的適合學生學習的學材，拔尖創(chuàng)新人才的培養(yǎng)更需要確定適合學生的課程。經過問卷調查和多次研討發(fā)現(xiàn)，除開設國家課程外，我們還為拔尖創(chuàng)新學生開設了數(shù)學實驗課程、數(shù)學建模課程、數(shù)學寫作課程、無界閱讀課程。以數(shù)學實驗課程為例，我們通過實踐和對比，歸納整理得到設計高中數(shù)學實驗的四大步驟、五個類型和六大原則（如圖2），其中四大步驟分別是選取數(shù)學知識素材；設計滲透知識的情境和“腳手架”；開發(fā)支撐實驗的模具、工具、技術軟件等；小組合作、實驗交流、展示總結。五個類型分別是現(xiàn)象解釋型、結論驗證型、問題解決型、規(guī)律探究型、建模應用型。六大原則分別是知識與趣味相融原則、書內和書外結合原則、可操作與可視化原則、學習與創(chuàng)造兼顧原則、訓練與思維統(tǒng)一原則、自主與合作協(xié)調原則。要特別強調“腳手架”的搭建，根據(jù)“最近發(fā)展區(qū)”理論，學生對如何抽象、建模和分析會存在一定的困難，教師可通過搭建前置問題解決單這一“腳手架”，引導學生由已學已知知識逐步過渡到未知、需探究的知識，讓學生經歷“觀察思考—抽象建?！孪胩骄俊治銮笞C”的知識再發(fā)現(xiàn)過程，讓學生有效建構數(shù)學知識。

數(shù)學實驗知識素材廣泛，活動豐富，可幫助學生加深對新知識、難點知識的認知與理解，在培養(yǎng)學生的動手能力、探究能力、數(shù)學學科核心素養(yǎng)等有良好的效果。在許多數(shù)學知識的教學中都可以開展數(shù)學實驗，不過建議重點在突破解決難理解的、抽象和復雜的問題時開展，這樣效果會更佳。另外，數(shù)學實驗的設計應該是封閉的，而實驗過程應是開放的；實驗的操作步驟應相對穩(wěn)定；實驗目的不能過多，越少越好，因為數(shù)學實驗不像生物實驗和化學實驗有參照組；實驗過程中使用的材料、工具應多樣化，比如橢圓的性質可以通過折紙操作、借助計算機軟件來進行研究，也可以參照橢圓形臺球活動進行數(shù)學實驗（如圖3）。

（三）課堂變革

傳統(tǒng)的數(shù)學課堂教學無法滿足拔尖創(chuàng)新學生個性化學習、研究性學習、項目化學習、合作型學習的需求。在拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)的當下，數(shù)學課堂教學面臨全新的挑戰(zhàn)。為了滿足拔尖創(chuàng)新學生的學習需求，筆者團隊經過近十年的實踐探索，打造了以“以生為本”為育人理念、以“根+空”雙向教學為抓手的高中數(shù)學生本課堂，其主要環(huán)節(jié)包括課前自主探究、課堂交流討論和課后反思延伸。這三個環(huán)節(jié)都緊緊圍繞“前置問題解決單”來展開。

“前置問題解決單”是供學生在學習新課前自主探究的問題解決單，其設計大有講究，關鍵在于“抓根置空”，緊緊圍繞教材內容所涉及的核心概念、基本思想來展開問題的設計，所設計的問題要具有起點低、入口寬、思維廣的特點，能給具有不同思維習慣的學生留解答之白、變式之白、拓展之白。學生在自主探究后對沒解決的問題或者新提出的問題做好標記，在課堂中針對這些問題和老師、同學進行交流討論。這個環(huán)節(jié)最為精彩，通過交流討論往往能提煉出不同視角的解題方法，發(fā)現(xiàn)不同層面的新的問題，進而思考和解決問題。在這樣的發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的過程中，學生很好地培育了思維能力和創(chuàng)新能力。在經歷了課堂學習的精彩后，教師要求學生在課后對所解決的問題進行反思和總結，在反思和總結的過程中提出更高層次、更新的問題，以培育學生的高階思維能力。

學生只有牢牢抓住核心概念、基本思想的根本，才能再生出更有價值的問題。例如，“圓錐曲線”大單元教學要找到解析幾何學習的單元之“根”，即“坐標法”（即幾何問題代數(shù)化的核心思想）。當學生掌握了“坐標法”，便可以通過對數(shù)學問題的深入探究實現(xiàn)思維素養(yǎng)水平的不斷進階。下面分享學生對一道橢圓開放性問題的探究。

問題 點[M]是圓[A：x2+（y+1）2=16]上任意一點，點[B（0，1）]，線段[MB]的垂直平分線交半徑[AM]于點[P]，當點[M]在圓[A]上運動時，

（1）求點[P]的軌跡[E]的方程；

（2）[BQ∥x]軸，交軌跡[E]于點[Q]（點[Q]在[y]軸的右側），直線[l：x=my+n]與軌跡[E]交于[C]、[D]兩點（[l]不過點[Q]），且[CQ]與[DQ]關于[BQ]對稱，則直線[l]具備以下哪個性質？證明你的結論。①直線[l]恒過定點；②[m]為定值；③[n]為定值。

學生通過自主探究、交流討論，確定直線[l]的斜率為定值，即結論②成立，同時歸結了從通性通法、直線的參數(shù)方程、平移變換、第三定義入手的四種解法。其中，以第三定義的創(chuàng)新應用更為巧妙精彩。這些創(chuàng)新性的解題思維正是拔尖創(chuàng)新學生所需具備的。

教師引導學生繼續(xù)進行探究。

探究1 在試題的解答過程中我們發(fā)現(xiàn)當[kQC+kQD=0]時，直線[CD]的斜率為定值，這個定值與點[Q]有關嗎？

探究2 由圓錐曲線定義的統(tǒng)一性猜想，拋物線與雙曲線是否也有類似性質？

引導學生挖掘數(shù)學問題的規(guī)律，指導學生深入了解數(shù)學問題的本質，有利于學生從根本上理解數(shù)學知識的內在聯(lián)系，培養(yǎng)數(shù)學思維能力。

學生針對探究2的問題提出如下兩個變式問題，并對一般性結論進行推廣。

變式1 點[P（x0，y0）（y0>0）]為拋物線[C：y2=2px（p>0）]上一定點，[A（x1，y1）]、[B（x2，y2）]為拋物線[C]上兩動點，若直線[PA]與[PB]的斜率存在且互為相反數(shù)，證明：直線[AB]的斜率是非零常數(shù)。

變式2 已知直線[l：y=-4x+m]與雙曲線[E：x23-y212=1]的右支交于不同的[A]、[B]兩點，點[Q（2，2）]，記直線[QA]、[QB]的斜率分別為[k1]、[k2]，求證：[k1+k2=0]。

推廣 設點[Q（x0，y0）]是對稱軸平行于坐標軸的定圓錐曲線（包括圓、橢圓、雙曲線和拋物線）[C]上一定點，[A、B]是[C]上兩個動點，若直線[QA]、[QB]的斜率互為相反數(shù)，則直線[AB]的斜率存在時為定值，等于[C]在點[Q]處切線的斜率的相反數(shù)（當[C]為雙曲線時，點[A]、[B]在同支上）。

（1）當[C]是有心圓錐曲線時，設方程統(tǒng)一形式為[λx2+μy2=1][（λμ≠0）]，則[kAB=λx0μy0（y0≠0）]；

（2）當[C]是拋物線時，可設[C：y2=2px（p≠0）]，則[kAB=-py0]或[C：x2=2py（p≠0）]，則[kAB=-x0p]。

教師在教學中應“抓根置空”，引導學生在自主探究、交流討論的過程中不斷提出問題和解決問題，從而培養(yǎng)學生的思維能力和創(chuàng)新能力。

（四）多元評價

評價是教育教學中的一個重要環(huán)節(jié)，恰到好處的評價往往能極大地促進學生的學習、成長和發(fā)展。實踐表明，實施多化評價，可全方位促進拔尖創(chuàng)新人才的培養(yǎng)。多元評價需關注“興趣培養(yǎng)”“思維培養(yǎng)”，形成“量化標準”。拔尖創(chuàng)新人才的評價，不能單一地以高考成績、競賽成績?yōu)闃藴剩瑧P注學生在學習過程中所展現(xiàn)出來的好奇心、思維品質、團隊協(xié)作能力、實踐能力等綜合素質。為此，我們結合數(shù)學探究性學習活動、文獻閱讀與寫作活動、數(shù)學素養(yǎng)測試活動等對學生進行多元評價，從而使中學數(shù)學拔尖創(chuàng)新人才的選拔和培養(yǎng)更加精準有效。

（五）協(xié)同育人

拔尖創(chuàng)新人才的培養(yǎng)離不開家庭、社會的支持。如何借助好家庭、社會科教力量，做好大學和高中的教學銜接，完善基礎學科人才貫通培養(yǎng)，成為協(xié)同育人中要解決的主要問題。為此，我們申請了市級規(guī)劃課題“基于拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)的‘大中銜接校本微課程開發(fā)與實施”，并邀請南寧師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院的教授加盟指導，充分整合大學和高中的教育和科技資源，聯(lián)合社會組織共建共享重點實驗室或基地大數(shù)據(jù)資源平臺，探索協(xié)同培養(yǎng)拔尖創(chuàng)新人才的新模式和新策略。

三、“雙向一五維一交互”中學數(shù)學拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)模式的實踐成效

經過多年的探索和實踐，學生和教師的創(chuàng)新能力均得到了培養(yǎng)和提高，表現(xiàn)在以下幾個方面。第一，通過多維課程的開設，激發(fā)了學生學習數(shù)學的熱情，促進了學生思維能力的發(fā)展，僅2022年下半學期，學生完成論文寫作26篇，其中不乏《圓錐曲線中的卡西尼卵形線的探究》《利用雙曲線的光學性質推導切線公式》等佳作。第二，為喜愛數(shù)學的學生打造了一個課余“屋”——“第五象限”?！暗谖逑笙蕖鄙鐖F和?？膭?chuàng)辦讓在數(shù)學方面有天賦的學生有了展示自己的舞臺。第三，連續(xù)兩年培養(yǎng)出三位高考數(shù)學滿分學子，近兩年為“2+7”院校輸送人才100余人，18人次獲奧賽省一等獎。第四，極大地促進了教師的專業(yè)發(fā)展。2022年度，南寧三中五象校區(qū)的教師發(fā)表論文110篇，其中數(shù)學組教師就發(fā)表了33篇，其中在研拔尖創(chuàng)新人才南寧市專項課題2項，廣西教育科學“十四五”規(guī)劃課題1項，申報2022年南寧市微型教學成果12項，申報2022年南寧市基礎教育教學成果獎1項。

中學數(shù)學拔尖創(chuàng)新人才的培養(yǎng)是一項系統(tǒng)且長遠的工作，對于如何聚家庭、學校、社會之力培養(yǎng)具有愛國情懷、堅韌不拔品質以及創(chuàng)新能力的中學數(shù)學拔尖創(chuàng)新人才，我們的探索和實踐一直在路上。

（責任編輯 黃春香）