文|吳玉蘭 劉 璨

“平均數(shù)”是小學(xué)階段要學(xué)習(xí)的重要統(tǒng)計量，能代表一組數(shù)據(jù)的整體水平。生活中的許多現(xiàn)象都需要用平均數(shù)來進(jìn)行解釋說理，一些實(shí)際問題也需要用平均數(shù)來解決。學(xué)生雖然在學(xué)習(xí)這一知識前對平均數(shù)已有所了解，但更關(guān)注如何計算平均數(shù)，因而忽視了平均數(shù)的統(tǒng)計意義。因此，在教學(xué)這一內(nèi)容時，更需要突出平均數(shù)的本質(zhì)，理解它的統(tǒng)計意義，感受數(shù)據(jù)蘊(yùn)含的信息，能用合適的方法分析數(shù)據(jù)，形成一定的數(shù)據(jù)意識。

【教學(xué)過程】

一、整體感知，“創(chuàng)生”平均數(shù)

1.情境引入，選擇代表數(shù)

我們學(xué)校的同學(xué)都很喜歡運(yùn)動，體育老師統(tǒng)計了一下，發(fā)現(xiàn)喜歡籃球的同學(xué)最多。所以，體育組準(zhǔn)備開展年級籃球賽。我們班的小黃同學(xué)很想?yún)⒓?，想去自我推薦。為了讓老師更好地了解自己的水平，提高入選的可能性，他特意在放學(xué)后練習(xí)了一分鐘投籃，還記錄了投中的數(shù)量，我們一起來看一下。

小黃一分鐘投籃投中數(shù)量統(tǒng)計表

為了大家看起來更方便，我把小黃的投籃情況做成了統(tǒng)計圖。

師：如果你是小黃，你打算用哪個數(shù)來表示你的一分鐘投籃水平？把你的選擇和理由輕輕地說給同桌聽一聽。

生：我選5，因為5 出現(xiàn)的次數(shù)最多。

生：我選8，因為8 是最好成績，可以讓老師覺得小黃很厲害。

生：但是小黃不是經(jīng)常能投中8 個，萬一下次投不中8 個了呢？所以我覺得應(yīng)該選他的平均數(shù)6 個。（教師板書平均數(shù)）

2.說明解釋，理解平均數(shù)

師：什么是平均數(shù)？能解釋一下嗎？

生：平均數(shù)=總個數(shù)÷次數(shù)，所以只要把所有投中的個數(shù)加起來除以5 就行了。

師：能列式嗎？

生：（5+8+5+5+7）÷5=6（個）。

師：這位同學(xué)先求出所有投中的總個數(shù)，再平均分給每一次求出平均數(shù)，用“先合再分”的方法得到了小黃平均每次投中的個數(shù)。有不同的方法嗎？

生：我是從第二次里面拿出一個給第一次，再拿出一個給第三次，然后從最后一次里拿出一個給第四次，這樣每次都變成6 個了。

師：誰聽明白了？

生：他是從個數(shù)多的里面拿出幾個來分給少的。

師：我們一起來看一下剛才大家所說的變化過程（動畫演示移多補(bǔ)少）。像這樣從多的里面拿出一些給少的，我們也可以說是“移多補(bǔ)少”。

3.引發(fā)矛盾，體會虛擬性

師：剛才同學(xué)們用“先合再分”和“移多補(bǔ)少”兩種方法得到了小黃平均每次投中的個數(shù)是6，但是這個數(shù)量小黃并沒有投到，能代表他的投籃水平嗎？

生：我覺得可以，因為平均分以后每次就6 個了。

生：我也覺得可以，因為平均數(shù)可以代表他的整體水平。

師：看來平均數(shù)雖然是虛擬的，不一定真實(shí)存在，但可以代表整體水平。

（板書：虛擬 代表整體水平）

【評析：“平均數(shù)”是生活中常見的統(tǒng)計量。因此，本環(huán)節(jié)從學(xué)生熟悉的場景引入，選擇一個數(shù)據(jù)代表自己的投籃水平，引發(fā)產(chǎn)生平均數(shù)的必要性。同時，通過解釋平均數(shù)的得到方法，感知移多補(bǔ)少，并體會平均數(shù)雖然是一個虛擬的數(shù)，卻能代表整體水平，初步感知平均數(shù)的統(tǒng)計意義?！?/p>

二、操作探究，領(lǐng)會平均數(shù)

1.操作中體會平均數(shù)的代表性

（1）提出問題：我們班還有兩個同學(xué)也很想?yún)⒓?，也拿著自己一分鐘投籃的數(shù)據(jù)去自我推薦。但是除去班里?；@球隊的成員，只剩兩個名額了。如果你們是這個班的同學(xué)，會推薦誰去參加呢？

?

（2）操作研究。

①想一想：用哪個數(shù)代表小許和小吳的水平比較合適？可以在圖中畫一畫，也可以算一算。

②選一選：推薦哪兩個同學(xué)參加籃球比賽？說一說理由。

（3）小組交流：四人小組中說明各自推薦的理由；推薦一人代表小組匯報。

（4）全班交流。

師：哪個組愿意來分享研究成果？

生：我們是先合再分的，小許是（4+8+6+6+6）÷5=6（個），小吳是（1+4+10+5）÷4=5（個），所以我們推薦小黃和小許參加比賽。

生：我們組用移多補(bǔ)少的方法，發(fā)現(xiàn)小許平均每次投中6 個，小吳平均每次投中5 個，所以我們也推薦小黃和小許去參加比賽。

師：同學(xué)們不僅推薦出了參賽人員，還能用自己的方法說明理由，真好！我們來看一下你們的想法（課件演示移多補(bǔ)少的過程，并在課件中展示平均線的位置）。演示完后將平均線上移、下移，追問：表示平均數(shù)的線會不會在這里？為什么？——指出平均數(shù)大于最小值，小于最高值。

2.變化中感悟平均數(shù)的敏感性

（1）提出問題。

師：小吳落選了，但他很不甘心，你們知道為什么嗎？

生：其他兩個同學(xué)都投了5 次，他只投了4 次，不公平。萬一他下一次投了很多個呢？

（2）操作解決。

師：老師很善解人意，又給了小吳一次一分鐘投籃的機(jī)會，并給他定了三個目標(biāo)：5 個、6 個、8 個。你覺得哪個目標(biāo)能讓他反敗為勝？先猜，再在活動紙上畫一畫驗證。

（學(xué)生紛紛猜8 個）

學(xué)生操作完以后交流反饋。

生：5 個不用考慮，因為小吳原來每次平均投5個，這次還是5 個的話，不會改變平均數(shù)；6 個也不會反超，因為雖然增加了一個，但這一個平均分給5次，每次一個都不到，平均數(shù)是5 個多一點(diǎn)點(diǎn)；8 個也不行，多出來的3 個也不夠分，所以平均數(shù)還是不到6 個。

（根據(jù)學(xué)生描述出示統(tǒng)計圖）

師：想知道小吳最終投了幾個嗎？（出示數(shù)據(jù)：10個）現(xiàn)在他的平均成績是多少？

生：6 個。

師：怎么一下子就高了？

生：因為他的最后一次投中很多，給自己留6 個，多出來的4 個能補(bǔ)給前幾次，每次正好一個，這樣平均成績就從5 個變成6 個了。

生：我覺得平均數(shù)會受某一次成績的影響。即使前面不怎么好，如果最后一次很好，平均數(shù)也有可能超越其他人。

師：確實(shí)平均數(shù)很容易受某次成績的影響，非常敏感。（板書：敏感 易受極端值影響）

師：現(xiàn)在三人的平均成績相同，那你們推薦誰呢？

生：我想推薦小吳和小許。因為小許比較穩(wěn)定，經(jīng)常能投6 個，小吳能投高分。

生：我還是推薦小黃和小許。雖然小吳投了兩次10 個，但他成績不穩(wěn)定，參加比賽還是穩(wěn)定更重要。

師：看來，平均數(shù)只能給我們提供一定的參考，我們還需要結(jié)合其他的因素作出決定。

【評析：在知道“什么是平均數(shù)”“平均數(shù)是怎么得到的”基礎(chǔ)上，本環(huán)節(jié)讓學(xué)生借助條形統(tǒng)計圖來解釋說理，在畫一畫的過程中進(jìn)一步領(lǐng)會“平均數(shù)介于最大值與最小值之間”“平均數(shù)具有一定的敏感性，容易受極端分值的影響”“平均數(shù)能幫我們作出判斷，但不一定是決定性因素”……這樣的教學(xué)流程使學(xué)生跳出平均數(shù)的算術(shù)意義，促進(jìn)平均數(shù)統(tǒng)計意義的理解。同時感悟數(shù)據(jù)是蘊(yùn)含信息的，我們能用數(shù)據(jù)來描述生活中的現(xiàn)象，數(shù)據(jù)能幫我們作出判斷與決策，增強(qiáng)數(shù)據(jù)意識?！?/p>

三、聯(lián)系生活，體會應(yīng)用性

1.生活中你聽說過平均數(shù)嗎？

2.任選一份學(xué)習(xí)材料研究說理（獨(dú)立思考后同桌交流，再全班匯報）。

材料一：一分鐘跳繩，每人測4 次，佳佳的平均成績是183 個/分；慧慧的平均成績是186 個/分。判斷下列說法是否正確，并說一說理由。

（1）慧慧第一次跳繩的個數(shù)一定比佳佳多。

（2）慧慧跳繩的整體水平比佳佳高。

（3）佳佳一定有一次跳繩的個數(shù)是183 個。

材料二：迪迪所在的五（1）班同學(xué)的平均身高是1.36 米，佳佳所在的五（2）班同學(xué)的平均身高是1.32米。判斷下列說法是否正確，并說一說理由。

（1）迪迪一定比佳佳長得高。

（2）總體上來說，五（1）班同學(xué)比五（2）班同學(xué)長得高。

（3）如果五（1）班有一個同學(xué)的身高是1.40 米（1.40=1.36+0.04），那么這個班一定有一個同學(xué)的身高是1.32 米（1.32=1.36-0.04）。

材料三：國家統(tǒng)計局曾經(jīng)發(fā)布中國人平均壽命大約是75 歲。74 歲的王奶奶看了這個新聞后，憂心忡忡，飯也吃不下，睡也睡不著。你想對王奶奶說什么？

3.課堂小結(jié)：這節(jié)課研究了什么？現(xiàn)在你對平均數(shù)有哪些了解？

【評析：《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，主要包含以下三個方面：會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。本環(huán)節(jié)提供了生活中真實(shí)存在的三個現(xiàn)象，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度去分析人文現(xiàn)象背后的數(shù)學(xué)原理，用數(shù)學(xué)知識描述、解釋現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題，促進(jìn)核心素養(yǎng)的發(fā)展?！?/p>