李碧燕 ，胡順

（1. 廣西生態(tài)工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院 汽車(chē)與信息工程學(xué)院，廣西 柳州 545004；2. 廣西師范大學(xué) 教育學(xué)部，廣西 桂林 541004）

0 引言

由于無(wú)人機(jī)群協(xié)同控制具有廣泛的應(yīng)用前景，受到眾多國(guó)內(nèi)外學(xué)者廣泛關(guān)注和研究［1-3］。編隊(duì)控制作為無(wú)人機(jī)群協(xié)同控制的重要分支，也同樣受到極大的關(guān)注。在無(wú)人機(jī)群編隊(duì)控制中，每個(gè)無(wú)人機(jī)都需要從任意初始位置收斂到設(shè)定的幾何編隊(duì)形狀。現(xiàn)有的無(wú)人機(jī)群編隊(duì)控制研究可以分成如下3類(lèi)方法：基于相對(duì)位置信息［4-5］，基于距離信息［6-7］和基于方向信息［8］。隨著圖像識(shí)別技術(shù)的發(fā)展，基于方向信息的無(wú)人機(jī)群編隊(duì)控制興起。如果使用相機(jī)等主動(dòng)測(cè)量裝置時(shí)，相鄰無(wú)人機(jī)的相對(duì)方向可以通過(guò)主動(dòng)測(cè)量裝置直接測(cè)量而不需要進(jìn)行通信，因此在通信受阻時(shí)也可完成控制任務(wù)，這也是基于相對(duì)方向的編隊(duì)控制器的主要優(yōu)點(diǎn)之一［9］。同時(shí)，在負(fù)載受限的情況下，基于方向信息的控制方法也是一個(gè)很好的選擇，因?yàn)樗艽蠓鶞p少傳感器的數(shù)量［10］。

雖然基于方向信息的無(wú)人機(jī)群編隊(duì)控制具有很多優(yōu)點(diǎn)，但是現(xiàn)階段還有很多問(wèn)題需要解決。首先，基于方向信息的無(wú)人機(jī)群控制只能應(yīng)用于簡(jiǎn)單模型，如單積分器［11］和雙積分器［12］等。另一個(gè)重要的問(wèn)題是，如何通過(guò)方向信息完成無(wú)人機(jī)群的移動(dòng)編隊(duì)問(wèn)題?，F(xiàn)有的基于方向信息的編隊(duì)控制大多都為定點(diǎn)編隊(duì)控制［13-14］。例如文獻(xiàn)［15］針對(duì)網(wǎng)絡(luò)異構(gòu)機(jī)器人的定點(diǎn)編隊(duì)控制提出了基于方向信息的碰撞避免控制方法。文獻(xiàn)［16］提出了只基于方向信息的編隊(duì)控制器，解決了非完整多智能體的定點(diǎn)編隊(duì)控制問(wèn)題。但是當(dāng)這種控制策略用于移動(dòng)編隊(duì)控制時(shí)會(huì)導(dǎo)致跟蹤誤差，甚至?xí)l(fā)散。只有當(dāng)控制增益足夠大，或者無(wú)人機(jī)群系統(tǒng)移動(dòng)速度較慢的時(shí)候，系統(tǒng)的位置誤差能收斂到零點(diǎn)。因此，針對(duì)無(wú)人機(jī)群移動(dòng)編隊(duì)設(shè)計(jì)基于方向信息的控制方法是很有必要的。現(xiàn)階段，基于方向信息的編隊(duì)控制方法主要有2 種：基于最優(yōu)策略（opimization techniques）［17］和 基 于 持 續(xù) 激 勵(lì)（persistence of excitation，PE）［18］。例如文獻(xiàn)［19］將一種剛性方向理論（bearing rigidity theory）推廣應(yīng)用到基于方向信息的編隊(duì)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性證明中。文獻(xiàn)［20］利用仰角剛性理論（elevation angle rigidity theory）結(jié)合梯度下降法完成了基于方向信息的編隊(duì)控制器設(shè)計(jì)。雖然這2 種方法在系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析上具有較大的優(yōu)勢(shì)，但是無(wú)法將控制策略擴(kuò)展應(yīng)用到更加復(fù)雜的情況，如帶有未知建模和擾動(dòng)的復(fù)雜非線性系統(tǒng)。本文通過(guò)設(shè)計(jì)比例和積分環(huán)節(jié)完成移動(dòng)編隊(duì)跟蹤控制，控制器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，與PID（proportional integral derivative）控制器相似。

為了解決基于方向信息無(wú)人機(jī)群移動(dòng)編隊(duì)問(wèn)題，本文基于標(biāo)準(zhǔn)Lyapunov 的穩(wěn)定性分析方法設(shè)計(jì)了基于方向信息的速度跟蹤編隊(duì)控制器。基于標(biāo)準(zhǔn)Lyapunov 的分析有利于控制策略拓展到包括非線性系統(tǒng)和不確定因素在內(nèi)的復(fù)雜系統(tǒng)中。通過(guò)設(shè)計(jì)比例（proportional）積分（integral）控制策略完成了無(wú)人機(jī)群的速度編隊(duì)跟蹤控制，最后通過(guò)Matlab仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了控制策略的有效性。

1 系統(tǒng)描述

1.1 符號(hào)說(shuō)明

Rn和Rm×n分別代表了n× 1 階實(shí)數(shù)矩陣空間和m×n階實(shí)數(shù)矩陣空間，N+表示為正整數(shù)集合，In表示n階的單位矩陣，0n表示n階元素全為0 的矩陣?！?· ‖代表·的二階范數(shù)，λmin(·)表示矩陣(·)最小的特征值，λmax(·)表示矩陣(·)最大的特征值。表1 給出了變量的解釋說(shuō)明。

表1 相關(guān)參數(shù)和變量說(shuō)明Table 1 Description of relevant parameters and variables

1.2 準(zhǔn)備工作

無(wú) 人 機(jī)i的 位 置 為qi∈Rd，其 中d≥2，i=1，2，…，N，N為無(wú)人機(jī)群的數(shù)量。無(wú)人機(jī)群的結(jié)構(gòu)用無(wú)向圖G= (V，Ψ)表示，其中V={υ1，υ2，…，υN}是節(jié)點(diǎn)集；Ψ∈V×V為邊集。(i，j) ∈Ψ表示無(wú)人機(jī)i可以測(cè)量到自身到相鄰無(wú)人機(jī)j的方位。Ni={υj|(υi，υj)∈Ψ}表示無(wú)人機(jī)i的相鄰無(wú)人機(jī)集合。針對(duì)無(wú)向圖G=(V，Ψ)，分別定義(i，j)的邊向量和方向向量為

需要注意的是eij=-eji，gij=-gji。

定向圖是帶有方向的無(wú)向圖，定義m為無(wú)向圖G= (V，Ψ)的無(wú)向邊的數(shù)量，則定向圖有m個(gè)有向邊。假設(shè)k∈{1，2，…，m}，第k個(gè)有向邊的邊向量和方向向量為

針對(duì)方向向量gk，定義如下的正交投影運(yùn)算符P：Rd→Rd×d：

當(dāng)且僅當(dāng)Pgk x= 0 時(shí)，向量x平行于gk。

結(jié)合式（3），對(duì)gk求導(dǎo)可得

由于

為了后續(xù)的穩(wěn)定性證明，引入如下方向Laplacian 矩陣［16］

假設(shè)無(wú)人機(jī)群系統(tǒng)中有nl個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者和nf=n-nl個(gè)跟隨者，并且Vl={1，…，nl}，Vf={nl+1，…，n}，則式（7）可以寫(xiě)成

式中：B22∈Rdn2×dn2。為了后續(xù)穩(wěn)定性證明，引入如下的引理。

引理1.（唯一目標(biāo)編隊(duì)條件［21］）如果矩陣Bff為非奇異矩陣，則無(wú)人機(jī)群系統(tǒng)的期望方向和領(lǐng)導(dǎo)者的位置可以確定唯一的期望編隊(duì)，即存在唯一的編隊(duì)結(jié)構(gòu)

1.3 控制目標(biāo)

本文的控制目標(biāo)是設(shè)計(jì)基于方位信息的分布式控制器來(lái)使得無(wú)人機(jī)系統(tǒng)按照特定的編隊(duì)幾何結(jié)構(gòu)跟隨領(lǐng)導(dǎo)者。

無(wú)人機(jī)群系統(tǒng)的跟隨者為單積分器，方程如下

式中：ui(t)為第i個(gè)跟隨者的控制輸入。

需要注意的是，本文的領(lǐng)導(dǎo)者按照期望的速度和位置進(jìn)行運(yùn)動(dòng)，而不設(shè)計(jì)控制器進(jìn)行控制。為了控制器的設(shè)計(jì)方便作出如下的假設(shè)：

無(wú)人機(jī)群系統(tǒng)的編隊(duì)控制中，無(wú)人機(jī)不會(huì)產(chǎn)生相互碰撞的情況。

注意：無(wú)人機(jī)群編隊(duì)控制中，無(wú)人機(jī)群系統(tǒng)內(nèi)部防碰撞研究也是一個(gè)重要的研究?jī)?nèi)容，本文為了方便將研究重點(diǎn)放在控制器的設(shè)計(jì)上，所以提出假設(shè)。

2 基于方向信息的編隊(duì)跟蹤控制

接下來(lái)將設(shè)計(jì)控制器來(lái)完成控制目標(biāo)1。首先定方向誤差為

然后設(shè)計(jì)如下的控制器

式中：kp和ki為需要設(shè)計(jì)的控制參數(shù)，控制器的形式類(lèi)似于PI 控制。其中比例和積分分別用于完成相對(duì)位置跟蹤和速度跟蹤，最優(yōu)控制參數(shù)kp和ki可以通過(guò)優(yōu)化算法（如遺傳算法）等獲得。

注意1. 式（11）的控制器中只用到了相鄰無(wú)人機(jī)的相對(duì)方向gij，如果使用相機(jī)等主動(dòng)測(cè)量裝置時(shí)，相對(duì)方向不需要與其他無(wú)人機(jī)進(jìn)行通信集合獲得，因此在通信受阻時(shí)也可完成控制任務(wù)。

令控制器中的積分項(xiàng)為

本文的領(lǐng)導(dǎo)者具有相同的速度vc，由于無(wú)人機(jī)群編隊(duì)系統(tǒng)按照固定的速度和結(jié)構(gòu)移動(dòng)，因此有。多智能編隊(duì)系統(tǒng)的質(zhì)心位 置 定 義 為。如果無(wú)人機(jī)群系統(tǒng)滿足引理1，則(t)為定值，并且滿足

由式（9）可得

式中：v= (v1，v2，…，vN)T，vi表示第i個(gè)無(wú)人機(jī)的速度。

對(duì)式（12）求導(dǎo)

接下來(lái)將進(jìn)行無(wú)人機(jī)群控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性證明。首先定義誤差函數(shù)為了后續(xù)證明，先加入下面的引理

引理2. 如果無(wú)人機(jī)群系統(tǒng)滿足引理1 和假設(shè)1，則如下不等式成立

證明：由于λmin(Bff) ≥0，很容易知道

成 立 。 然 后 證 明 不 等 式eT(g-g*) ≥成立。

然后有

結(jié)合式（3），可寫(xiě)成

因此，可以獲得如下的不等式

然后可以獲得如下的不等式

將其代入不等式（21）可得

結(jié)合式（13），上述不等式可以寫(xiě)成

將不等式（26）代入不等式（24）中可得

引理2 證明完畢。

定理1. 如果無(wú)人機(jī)群系統(tǒng)滿足引理1 和假設(shè)1，當(dāng)控制器為式（11）時(shí)，有λ→0，α? →0，并且無(wú)人機(jī)群系統(tǒng)按照固定速度進(jìn)行移動(dòng)。

首先定義如下的Lyapunov 方程

由不等式（16）可知V1≥0。

結(jié)合式（5），對(duì)Lyapunov 方程求導(dǎo)可得

將式（14）和式（15）代入式（29）可得

由于

因此式（30）可以寫(xiě)成

對(duì)上述一元二次不等式進(jìn)行求解可知

所以‖ ‖λ有界。

由于

結(jié)合不等式（16）和不等式（36）可知，只有當(dāng)g-g*= 0，即g=g*時(shí)，，所以λ=q-q*= 0。定理1 證明完畢。

3 數(shù)值仿真

接下來(lái)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證控制策略的有效性。算法仿真在Matlab 2016b 平臺(tái)運(yùn)行，所用計(jì)算機(jī)操作系統(tǒng)為Windows 10。硬件配置：64 位，CPU為2.3 GHz 運(yùn)算頻率，8 GB 運(yùn)行內(nèi)存。仿真實(shí)驗(yàn)中，無(wú)人機(jī)群有2 個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者，4 個(gè)跟隨者。跟隨者為式（9）所示。領(lǐng)導(dǎo)者在本文中可以看成給定的跟蹤目標(biāo)，所以不設(shè)計(jì)控制器進(jìn)行控制。無(wú)人機(jī)群編隊(duì)系統(tǒng)的目標(biāo)編隊(duì)如圖1 所示。

圖1 目標(biāo)編隊(duì)結(jié)構(gòu)Fig. 1 Structure of target formation

領(lǐng)導(dǎo)者的初始位置為q1=（10，10）T，q2=（10，-10）T。跟隨者的初始位置為q3=（10，30）T，q4=（-30，-30）T，q5=（-30，30）T，q6=（-10，-30）T。跟隨者的期望 方 向 為

接下來(lái)的仿真實(shí)驗(yàn)分為2 個(gè)部分，首先是速度為0 的無(wú)人機(jī)群固定編隊(duì)控制，然后是速度不為0的無(wú)人機(jī)群速度跟蹤編隊(duì)控制。

情形1. 無(wú)人機(jī)群編隊(duì)系統(tǒng)的速度為0，即vc= 0，控制器的控制參數(shù)為kp= 5，ki= 0。仿真結(jié)果如圖2，3 所示。

圖2 固定編隊(duì)控制效果Fig. 2 Control Effect of fixed formation

由圖2 可以看出，基于方向信息的控制器能很好地完成固定編隊(duì)控制效果，并且由圖3 可以看出，方向誤差最終趨近于0。其中跟隨者3，4，5，6 的方向誤差分別為

圖3 固定編隊(duì)跟隨者方向誤差Fig. 3 Followers’ bearing errors of fixed formation

情形2. 無(wú)人機(jī)群編隊(duì)系統(tǒng)的期望跟蹤速度為1 m/s，即vc= 1 ms?？?制 器 的 參 數(shù) 為kp= 5，ki=0.3。仿真結(jié)果為圖4，5 所示。

圖4 速度跟蹤編隊(duì)控制效果Fig. 4 Control effect of velocity-tracking formation

圖5 速度跟蹤編隊(duì)控制跟隨者方向誤差Fig. 5 Followers’ bearing errors under velocity-tracking formation contol

由圖4，5 可以看出，只基于方向信息的無(wú)人機(jī)群速度跟蹤編隊(duì)控制系統(tǒng)能完成速度跟蹤編隊(duì)控制任務(wù)，并且系統(tǒng)的方向誤差最終趨近于0。

4 結(jié)束語(yǔ)

無(wú)人機(jī)群編隊(duì)控制中，基于方向信息的控制策略具有不受通信限制、負(fù)載小的優(yōu)點(diǎn)而被研究人員重視。本文針對(duì)無(wú)人機(jī)群系統(tǒng)的移動(dòng)編隊(duì)控制提出了基于方向信息的分布式控制策略，設(shè)計(jì)了比例積分控制器完成了移動(dòng)編隊(duì)的控制目標(biāo)?？刂破鞯脑O(shè)計(jì)過(guò)程中，采用基本Lyapunov 方法驗(yàn)證了控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，從而大大提高了控制策略的應(yīng)用擴(kuò)展性。最后通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)完成了控制策略的有效性證明。需要注意的是，本文研究的控制對(duì)象為簡(jiǎn)單的單積分器無(wú)人機(jī)群系統(tǒng)，移動(dòng)為定值，后續(xù)將考慮研究非線性無(wú)人機(jī)群復(fù)雜環(huán)境的編隊(duì)控制和變速度跟蹤編隊(duì)控制策略。