趙海洲，王小哲，孫晨，郭藝奪

（空軍工程大學(xué) 防空反導(dǎo)學(xué)院，陜西 西安 710051）

0 引言

陣列擾動［1-3］作為在實(shí)際中常見的一種非理想條件，會嚴(yán)重影響信號處理的性能?？紤]到陣列陣元在加工等流程以及實(shí)際中的應(yīng)用，可將陣列擾動總結(jié)為3 類：陣元互耦［4-5］、陣元幅相誤差［6-7］和陣元位置誤差［8-9］。其中，陣元幅相誤差在現(xiàn)實(shí)陣列中是普遍存在的，也是各國學(xué)者研究波達(dá)方向（direction of arrival，DOA）估計(jì)時考慮的一個熱點(diǎn)問題。

對于陣元幅相誤差的校正，初期提出的算法均需要校準(zhǔn)信源作為先驗(yàn)信息［10-11］。為了實(shí)現(xiàn)陣元幅相誤差的自校正，文獻(xiàn)［12-13］利用子空間類算法循環(huán)估計(jì)信號DOA 和幅相誤差，通過不斷地迭代最終估計(jì)出了幅相誤差。該算法雖然實(shí)現(xiàn)了陣元幅相誤差的自校正，但多次循環(huán)迭代帶來的高復(fù)雜度使得算法并不實(shí)用。為了避免出現(xiàn)迭代過程，Paulraj 和Kailath 利用ULA 接收信號協(xié)方差矩陣具有Toeplitz 矩陣結(jié)構(gòu)的特征，提出了一種基于子空間變換的幅相誤差估計(jì)算法［14］，但是該算法需要對協(xié)方差矩陣上三角的每一條對角線進(jìn)行標(biāo)定，計(jì)算過程煩瑣。針對這一問題，文獻(xiàn)［15］提出了一種基于協(xié)方差矩陣不同對角線的簡化標(biāo)定算法，實(shí)現(xiàn)了低復(fù)雜度的幅相誤差校正。但是這2 類算法只適用于均勻線陣，為了解決受陣列結(jié)構(gòu)限制的問題，文獻(xiàn)［7］中針對二維陣列提出了一種新型的基于子空間的幅相誤差校正算法。但是現(xiàn)有算法普遍計(jì)算復(fù)雜度偏高，且大多不能同時實(shí)現(xiàn)幅相誤差和DOA 的同時估計(jì)。

為了解決以上問題，本文提出了一種基于少量精確校正輔助陣元的幅相誤差和DOA 同時估計(jì)算法。該算法能夠?qū)崿F(xiàn)信源功率存在較大差異時，高精度的誤差和角度的同時估計(jì)。

1 信號模型

1.1 均勻線陣信號模型

通常，理想陣列可認(rèn)為是陣元間距為半波長的均勻線陣（uniform linear array，ULA），即陣元間距d滿足d=λ2，其中，λ為波長。假設(shè)L個遠(yuǎn)場窄帶信號入射到陣元數(shù)為M的ULA 上，如圖1 所示。

在圖1 中，θl為第l個入射信號的角度。此時，可以寫出該陣列在θl方向上的導(dǎo)向矢量為

式中：?l=2πdsin(θl)λ，l= 1，2，…，L。

假設(shè)第l個信號在k時刻輻射到陣列上的波形為sl(k)，每個信號相互獨(dú)立。在不考慮陣元之間存在誤差的情況下，在k時刻陣列接收到的數(shù)據(jù)可以表示為

式中：n(k) ∈CM×1表示噪聲向量，一般噪聲設(shè)為加性高斯白噪聲，且與入射信號相互獨(dú)立。

由式（2）可得接收信號的協(xié)方差矩陣為

但在實(shí)際中，協(xié)方差矩陣往往都難以準(zhǔn)確獲得，一般都用采樣協(xié)方差矩陣（sampling covariance matrix，SCM）來代替，其表達(dá)式為

式中：K為采樣快拍總數(shù)。

1.2 陣元幅相誤差下的信號模型

假設(shè)陣列中第m個陣元的幅度誤差和相位誤差分別為αm，φm，則陣列的幅度誤差矩陣和相位誤差矩陣分別為

式中：diag{·}表示對角化運(yùn)算符；一般以第1 個陣元作為參考陣元，即有α1= 1，φ1= 0。

在考慮陣元幅相誤差時，模型（2）改寫為

此時，受誤差影響下的導(dǎo)向矢量為

2 幅相誤差和DOA 同時估計(jì)算法

2.1 算法原理

根據(jù)矩陣運(yùn)算，式（8）可以進(jìn)一步寫成

式中：Ψ=ΦΓ為幅相誤差矩陣；?=diag(Ψ)為幅相 誤 差 向 量；T?(θ) ∈CM×M的 第m列 表 示 為Ema(θ)，Em∈CM×M表示為

由子空間基本原理［16］知，在存在幅相誤差時可推出：

由于Un秩為M-L，因此對于任意角度θ都有Q?(θ)為奇異矩陣。若幅相誤差矩陣中的元素出現(xiàn)若干相同元素，則在滿足一定條件時獲得的對應(yīng)于非入射信號方向的過渡矩陣將會是滿秩矩陣，此時便可利用這一性質(zhì)來估計(jì)幅相誤差。

對于幅相誤差矩陣中出現(xiàn)若干相同元素這一假設(shè)，可通過在陣列的一端放置少量已校正陣元或幅相誤差近似的陣元來實(shí)現(xiàn)。當(dāng)陣列中增加的已校正陣元數(shù)為P-1 時，陣列的幅度誤差和相位誤差系數(shù)有

此時，Γ和Φ可重寫為

式 中 ：ΓP?diag{αP，αP+1，…，αM}；ΦP?diag{ }ejπφP，ejπφP+1，…，ejπφM。

此時，幅相誤差矩陣和幅相誤差向量分別可以表示為

重新定義式（10）為

式中：G=M-P+ 1。

可得

因此，式（11）可重寫為

式中：Q?(θ) ∈CG×G。

當(dāng)G≤M-L，即L≤P- 1 時，一般角度θ時可以認(rèn)為Q?(θ)是一個滿秩矩陣。但是當(dāng)θ為入射信號的DOA 時，也即θ=θl(l= 1，2，…，L)，根據(jù)第1 節(jié)的分析，Q?(θ)則會成為一個奇異矩陣。此時由式（20）可知，?P是Q?(θ)中0 特征值對應(yīng)的特征向量。

因此，可構(gòu)造譜函數(shù)為

對式（21）或式（22）進(jìn)行譜峰搜索，得到前L個最大譜峰對應(yīng)的位置即可得到入射信號的角度估計(jì)值，并可計(jì)算出對應(yīng)方向?的過渡矩陣Q?(?)。由于幅相誤差矩陣是與方向無關(guān)的，因此?P可以估計(jì)為

式中：ulmin為Q?(?)最小特征值對應(yīng)的特征向量；(ulmin)1表 示ulmin的 第1 個 元 素。

當(dāng)入射信號的SNR 較低時，估計(jì)得到的角度會有較大誤差，此時利用對應(yīng)的過渡矩陣Q?(θ)估計(jì)?P時會有較大的誤差。因此，當(dāng)多個入射信號之間的功率相差過大時，在最終估計(jì)?P時對得到的過渡矩陣進(jìn)行篩選，選擇較大功率信號對應(yīng)的過渡矩陣Q?(θ)來估計(jì)?P會提高估計(jì)精度。此時有2 種策略：

（1） 選擇最大譜峰對應(yīng)的過渡矩陣來估計(jì)?P

通過譜峰搜索獲得的最大譜峰對應(yīng)著功率最強(qiáng)的入射信號，選擇此譜峰對應(yīng)的過渡矩陣Q?max(θ)用來估計(jì)?P，此時式（23）重寫為

式中：umax-min為Q?max(θ)最小特征值對應(yīng)的特征向量。

（2） 剔除掉對應(yīng)最小譜峰的過渡矩陣來估計(jì)?P

假設(shè)獲得的最小譜峰對應(yīng)的過渡矩陣為Q?(?)，在后續(xù) 估 計(jì)?P時 忽略矩陣Q?(?)，此 時 式（23）重寫為

2.2 算法步驟

綜上，對所提的陣元幅相誤差和DOA 同時估計(jì)算法總結(jié)如下：

第1 步：估計(jì)協(xié)方差矩陣，計(jì)算噪聲子空間Un；

第2 步：計(jì) 算 變 換 矩 陣T?(θ)，構(gòu) 造 譜 函 數(shù)Pdet(θ)；

第3 步：譜峰搜索，找到L個最大譜峰的位置，估計(jì)角度，計(jì)算? 對應(yīng)的過渡矩陣Q?(?)；

第4 步：選擇合適的過渡矩陣進(jìn)行特征分解，估計(jì)幅相誤差向量。

需要注意的是，這些是建立在假設(shè)L≤P- 1 的基礎(chǔ)上推導(dǎo)完成的。雖然此方法可以實(shí)現(xiàn)幅相誤差和DOA 的同時估計(jì)，但在應(yīng)用中算法自由度受到輔助陣元數(shù)的限制，而且將多個已校正陣元或幅相誤差近似的陣元作為輔助陣元接收信號意義不大，因此，本方法還是更適合用于前期的陣列校正中。不難發(fā)現(xiàn)，所提算法對于陣列的排布并無特殊要求，也即該算法也可適用于非均勻線陣。同樣地，通過修改導(dǎo)向矢量的形式，該算法也可拓展到二維陣列中去。此外，為了保證DOA 估計(jì)無模糊，輔助陣列的布置通常設(shè)置為陣元間距半波長的ULA。

3 計(jì)算機(jī)仿真

此仿真主要分析所提的算法在陣元幅相誤差下DOA 和幅相誤差估計(jì)性能。仿真條件設(shè)置為：待校準(zhǔn)陣列為最小陣元間距為0.5、陣元數(shù)為12 的ULA，波長λ= 1；輔助陣列是由4 個已校準(zhǔn)陣元構(gòu)成的ULA，放置在待校準(zhǔn)陣列一端，且與待校準(zhǔn)陣列共同組成陣元數(shù)為16 的ULA。蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)次數(shù)為100。

實(shí)驗(yàn)1： 陣元幅相誤差和DOA 同時估計(jì)算法的有效性驗(yàn)證

此仿真主要驗(yàn)證所提陣元幅相誤差和DOA 同時估計(jì)算法的有效性。為了更普遍地驗(yàn)證算法性能，仿真中設(shè)置幅度和相位誤差分別服從如下分布：

式中：δm和ηm均為相互獨(dú)立且均勻分布于[-0.5，0.5]中的隨機(jī)變量；σα和σφ分別為δm和ηm的標(biāo)準(zhǔn)偏差，分別設(shè)置為0.1 和15°。入射信號角度分別為-30°，-10°，40°，對應(yīng)的SNR 均為10 dB，采樣快拍數(shù)為200。仿真得到的空間譜和幅相誤差估計(jì)值分別如圖2 和表1 所示。

表1 陣元幅相誤差估計(jì)值Table 1 Estimated sensor gain-phase errors

圖2 空間譜Fig. 2 Spatial spectrum

從圖2 中可以看出，所提出的陣元幅相誤差和DOA 同時估計(jì)算法獲得的空間譜可精準(zhǔn)地估計(jì)出入射信號的DOA；從表1 中可看出，所提算法能夠精確地估計(jì)出幅相誤差，也即所提算法有效地實(shí)現(xiàn)了陣元幅相誤差和DOA 的同時估計(jì)。

實(shí)驗(yàn)2： 陣元幅相誤差和DOA 同時估計(jì)算法的DOA 估計(jì)性能

此仿真主要為了分析所提陣元幅相誤差和DOA 同時估計(jì)算法DOA 估計(jì)的性能，以同為子空間類算法的MUSIC（multiple signal classification）算法和DOA 估計(jì)值 的CRB（Cramér-Rao bound）作為對比。假設(shè)陣列接收到3 個信號，角度分別為-30°，-10°，40°，SNR 均為10 dB。在分析所提算法DOA估計(jì)性能與SNR 變化的關(guān)系時，快拍數(shù)設(shè)置為200，SNR 從-10 dB 到30 dB 變化，其余參數(shù)保持不變；在分析所提算法DOA 估計(jì)性能與快拍數(shù)變化的關(guān)系時，SNR 設(shè)置為10 dB，快拍數(shù)從50 到400 變化，其余參數(shù)保持不變。仿真結(jié)果如圖3 所示。

圖3 DOA 估計(jì)值的RMSE 與SNR 的關(guān)系Fig. 3 Relationship between RMSE and SNR of estimated DOA

由圖3 可知，隨著SNR 的增加，提出的陣元幅相誤差和DOA 同時估計(jì)算法的DOA 估計(jì)精度均有所增加；但在低SNR 時，所提算法的DOA 估計(jì)精度低于MUSIC 算法，這是由于所提算法在實(shí)現(xiàn)DOA 和陣元幅相誤差同時估計(jì)時，利用的是噪聲子空間構(gòu)建的一個更小維度的過渡矩陣，在低SNR 時，難以準(zhǔn)確估計(jì)出噪聲子空間，此時所提算法利用更低維度的矩陣便難以獲得更高精度的DOA 估計(jì)值。

實(shí)驗(yàn)3： 陣元幅相誤差和DOA 同時估計(jì)算法陣元幅相誤差估計(jì)性能

此仿真主要為了分析所提陣元幅相誤差和DOA 同時估計(jì)算法對陣元幅相誤差的估計(jì)性能。以文獻(xiàn)［10］中提出的基于子空間的陣元幅相誤差估計(jì)算法作為對比算法，同時仿真中還給出了陣元幅相誤差估計(jì)值的CRB。為了方便，將采用式（21）和式（22）的所提算法分別稱為“所提算法1”“所提算法2”。為充分展示所提算法在不同入射信號功率下對陣元幅相誤差的估計(jì)性能，假設(shè)入射信號為1 個SNR 為10 dB、入射角度為-10°的期望信號和2個干噪比（interference-to-noise ratio，INR）為40 dB、入射角度分別為-30°和40°的干擾信號。在分析所提算法幅相誤差估計(jì)性能與SNR 變化的關(guān)系時，快拍數(shù)設(shè)置為200，SNR 從-10 dB 到50 dB 變化，其余參數(shù)保持不變；在分析所提算法幅相誤差估計(jì)性能與快拍數(shù)變化的關(guān)系時，SNR 設(shè)置為10 dB，快拍數(shù)從50 到400 變化，其余參數(shù)保持不變。蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)次數(shù)為100，仿真結(jié)果如圖4 所示。

圖4 陣元幅相誤差估計(jì)值的RMSE 和SNR 的關(guān)系，INR =40 dB，K = 200Fig. 4 Relationship between RMSE and SNR of estimated sensor gain-phase errors INR = 40 dB， K = 200

如圖4 所示，相較于對比算法，在存在一個低SNR 信號時，也即多個入射信號存在較大的功率差時，提出的2 種算法對幅度誤差和相位誤差的估計(jì)性能接近，雖然2 種算法均更加靠近幅度誤差和相位誤差估計(jì)值的CRB，但所提算法2 估計(jì)得到的幅相誤差精度更高。隨著信號SNR 的增加，所提的2種算法對幅相誤差的估計(jì)精度較對比算法均有所下降，這是由于此時所有信號功率接近，每一個信號均為可用信號，利用越多的信號來估計(jì)幅相誤差，估計(jì)的精度就越高。隨著SNR 的進(jìn)一步增大，高功率信號對幅相誤差估計(jì)性能的改善更為明顯，因此所提算法1 的估計(jì)精度再次超越對比算法，更為接近CRB。

實(shí)驗(yàn)4： 算法運(yùn)行時間比較

為了直觀地看出本文所提算法在運(yùn)算量方面的優(yōu)勢，圖5 給出了P=2，L=100，SNR=10 dB 時，所提算法和文獻(xiàn)［10］中對比算法的運(yùn)行時間隨陣元數(shù)變化曲線。從圖5 中可以看出，當(dāng)陣元數(shù)較小時，所提算法的運(yùn)行時間與對比算法的運(yùn)行時間基本相當(dāng)。但隨著陣元數(shù)的增大，所提算法在運(yùn)算量上的優(yōu)勢逐步得到體現(xiàn)。

圖5 2 種算法的運(yùn)行時間對比Fig. 5 Comparison of running time between two algorithms

4 結(jié)束語

本文通過設(shè)置少量的輔助陣元，利用陣元幅相誤差矩陣為對角矩陣的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，并基于子空間類算法的原理，提出了一種陣元幅相誤差和DOA 同時估計(jì)算法。針對信號功率相差較大問題，給出了2 種不同的解決策略，并取得了較好的效果。計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果表明：所提算法能夠以較高的精度同時估計(jì)出幅相誤差和目標(biāo)的DOA，尤其在存在功率差異較大信號時，能夠顯著提高對誤差的估計(jì)精度。