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        全概率公式與Bayes公式開啟概率之門

        2023-05-30 10:48:04涂天明
        廣東教育·高中 2023年1期
        關(guān)鍵詞:黑球白球登頂

        涂天明

        “江南可采蓮,蓮葉何田田,魚戲蓮葉間.”描述變量隨機(jī)性,“過(guò)盡千帆皆不是,斜暉脈脈水悠悠.”相當(dāng)于此刻前事件不發(fā)生,條件概率等于無(wú)條件概率.“用數(shù)學(xué)的符號(hào)書寫世界”對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)處理,而數(shù)據(jù)處理關(guān)聯(lián)概率與統(tǒng)計(jì),是繼代數(shù)、幾何后第三重要數(shù)學(xué)板塊.然而多年的備考實(shí)踐告訴我們,代數(shù)、幾何建立在概念與定義上,而統(tǒng)計(jì)學(xué)建立在數(shù)據(jù)與分析上,這部分難度大,考生普遍能掌握到位,無(wú)需花大力氣攻堅(jiān).相比之下,概率的計(jì)算考生較為棘手,往往結(jié)果與期望值大相徑庭.所以務(wù)實(shí)備考顯得尤為關(guān)鍵,要科學(xué)規(guī)劃、運(yùn)籌帷幄,才能出奇制勝、決勝千里.回顧2022年高考新課標(biāo)卷數(shù)學(xué)試題,概率與統(tǒng)計(jì)內(nèi)容相對(duì)穩(wěn)定,有難度的調(diào)整和形式的改變,但萬(wàn)變不離其宗,創(chuàng)新很重要,此外新教材新增內(nèi)容尤為重要,值得關(guān)注.

        提出問(wèn)題前先剖析兩個(gè)簡(jiǎn)單的案例:

        例1.外形相同的1串鑰匙共5把,只有1把能打開抽屜,現(xiàn)依次一把一把的試,求第3次打開抽屜的概率.

        解析:方法1(古典概型):每次取鑰匙都是隨機(jī)的,第幾次取得能開抽屜的鑰匙是等可能的,一共有5把鑰匙,所以第3次打開抽屜的概率是15(事實(shí)上每次打開抽屜的可能性都相等,所以每次打開抽屜的概率均相等,均為15).

        方法2(條件概率與事件的相互獨(dú)立事件性):記第i(i=1,2,3,4,5)打開抽屜為事件Ai(i=1,2,3,4,5),所以PA3=PA1PA2A1PA3A1A2=45×34×13=15.

        點(diǎn)評(píng):本題中事件A3發(fā)生即有相互獨(dú)立的三個(gè)事件同時(shí)發(fā)生,第一次沒(méi)打開且在第一次沒(méi)打開的條件下第二次也沒(méi)打開且在前兩次都沒(méi)打開的條件下第三次打開了抽屜,與此同時(shí)后兩個(gè)事件用的還是條件概率.老教材中相互獨(dú)立事件定義為事件A與事件B的發(fā)生沒(méi)有相互影響,然而新教材中相互獨(dú)立事件定義為事件A與事件B滿足PAB=PAPB,也就是定量刻畫.2021年高考新課標(biāo)I卷數(shù)學(xué)第8題就是最典型的案例,怎么說(shuō)明事件A與事件B的發(fā)生沒(méi)有相互影響,只能進(jìn)行定量刻畫.

        例2.箱中有大小形狀相同的4個(gè)小球,其中白球2個(gè),黑球2個(gè).

        (1)從中有放回地摸球,每次摸1球.求第2次摸到白球的概率;

        (2)從中無(wú)放回地摸球,每次摸1球.求第2次摸到白球的概率.

        解析:(1)(古典概型):如果有放回地摸球,每次去摸球箱中都有大小形狀相同的4個(gè)小球,且白球、黑球各兩個(gè),是等可能的,所以第2次摸到白球的概率是12(事實(shí)上每次摸球摸到白球或黑球都是等可能的,所以無(wú)論哪次摸到白球的概率都是12).

        (2)方法1(古典概型):如果無(wú)放回地摸球,無(wú)論怎么排序,箱中都是黑球白球各2個(gè),樣本空間里黑白各半,所以第2次摸到白球的概率為12.

        方法2(全概率公式):記第i(i=1,2,3,4)摸到白球?yàn)槭录嗀i(i=1,2,3,4),則摸到黑球?yàn)槭录嗀i(i=1,2,3,4),所以PA2=PA1PA2A1+PA1PA2A1=12×13+12×23=12.

        點(diǎn)評(píng):本題中無(wú)放回地摸球與有放回地摸球,憑直覺是不一樣的,比如上一例感覺上第1次打開抽屜與第3次打開抽屜是不一樣的,然而通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn),它們的的確確是一樣的,無(wú)論是無(wú)放回地摸球還是有放回地摸球第2次摸到白球的概率都是12.憑感覺也是學(xué)數(shù)學(xué)的一忌,僅憑直覺有時(shí)會(huì)犯致命錯(cuò)誤,這個(gè)問(wèn)題最可靠的解釋還只有用全概率公式.

        從以上兩個(gè)簡(jiǎn)單的案例可以看出,直覺上完全不同的問(wèn)題,結(jié)果計(jì)算出來(lái)讓我們有點(diǎn)不敢相信.說(shuō)明數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?,有時(shí)不能完全相信直覺,你看到的未必真實(shí),沒(méi)有經(jīng)過(guò)嚴(yán)格證明的結(jié)論都不一定可靠.

        例3.已知PM>0,PN>0,PNM=PN,求證:PMN=PM.

        證明:∵PNM=PN,∴PMNPM=PN,即PMN=PMPN,所以事件M與事件N 是相互獨(dú)立事件,∴PMN=PMNPN=PMPNPN=PM.故原題得證.

        點(diǎn)評(píng):在舊版教材中,事件A與事件B互斥時(shí)PA∪B=PA+PB,互斥事件(不可能同時(shí)發(fā)生的事件)還好理解,新版教材引進(jìn)了交事件與并事件的概念,事件A與事件B不互斥時(shí),PA∪B=PA+PB-PAB.在舊版教材中,事件A與事件B相互獨(dú)立時(shí),PAB=PAPB.問(wèn)題就來(lái)了,事件的相互獨(dú)立性在舊版教材中定義為,事件A的發(fā)生與事件B的發(fā)生不相互影響,怎么界定呢?很難!新版教材引進(jìn)乘法公式PAB=PAPBA,事件A生與事件B不相互獨(dú)立時(shí),用乘法公式,為了更好地理解條件概率的意義,需要建立樣本空間,明確隨機(jī)事件并用樣本空間的子集表示,這就是全概率公式與Bayes公式的思想的最初萌芽.

        二、全概率公式與Bayes公式

        全概率公式能更深刻地理解條件概率公式,全概率公式與Bayes公式是大學(xué)教材概率論中的重要公式,也是高中新教材重要新增內(nèi)容.實(shí)際上就是直接利用條件概率公式推導(dǎo)而成的,當(dāng)事件分割只有兩個(gè)時(shí),就是條件概率公式的簡(jiǎn)單情形,從2022年新高考情況看,條件概率難度加大,命題者在其中滲透全概率公式與Bayes公式的思想應(yīng)引起足夠重視.

        1.全概率公式

        若Aii=1,2,…n是一組兩兩互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且PAi>0i=1,2,…n,對(duì)任意BΩ,有PB=Σni=1PAiPBAi.

        例4.某手機(jī)企業(yè)有兩條流水線生產(chǎn)相同批號(hào)的智能手機(jī),流水線甲的合格率為09,流水線乙的合格率為095,兩條流水線生產(chǎn)的成品手機(jī)檢驗(yàn)前都混放在倉(cāng)庫(kù),假設(shè)這兩條流水線生產(chǎn)的成品比例為2:3,現(xiàn)從成品倉(cāng)庫(kù)中任意提一臺(tái)智能手機(jī)檢測(cè),求該智能手機(jī)合格的概率.

        解析:設(shè)A=“從倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)提出的一臺(tái)智能手機(jī)是合格品”

        B=“提的一臺(tái)智能手機(jī)是流水線甲生產(chǎn)的”,

        C=“提的一臺(tái)智能手機(jī)是流水線乙生產(chǎn)的”,

        由題意,得PB=04,PC=06,,PAB=09,PAC=095,

        由全概率公式PA=PBPAB+PCPAC=04×09+06×095=093.

        從成品倉(cāng)庫(kù)中任意提一臺(tái)智能手機(jī)檢測(cè)合格的概率是093.

        例5.箱子中有大小形狀相同的6個(gè)小球其中白球和黑球各3個(gè),現(xiàn)隨機(jī)從中摸球一個(gè),看其顏色后放回,并加上同色球2個(gè),再?gòu)闹械诙蚊蛞粋€(gè),求第二次摸到的是黑球的概率.

        解析:設(shè)A=“第一次抽出的是黑球”,B=“第二次抽出的是黑球”,依題意PA=12,P=12,PBA=58,PB=38.

        由全概率公式PB=PAPBA+PPB=12×58+12×38=12,即為所求.

        例6.某5A景區(qū)內(nèi)有牡丹,月季,海棠三家餐廳,景區(qū)員工小劉第1天午餐時(shí)隨機(jī)選擇其中一家餐廳就餐,如果他第1天去牡丹廳,那么第2天他再去牡丹廳就餐的概率是35.如果他第1天去月季廳或海棠廳,那么他第2天去牡丹廳就餐的概率是25.求小劉第2天中午去牡丹廳就餐的概率.

        解析:(1)設(shè)A1=“第1天去牡丹廳”,B1=“第2天去牡丹廳”,依題意,PA1=13,PA1=1-13=23.且A1,A1是對(duì)立事件,∴PB1A1=35,PB1A1=25.

        由全概率公式得PB1=PA1PB1A1+PA1PB1A1=13×35+23×25=715.

        點(diǎn)評(píng):全概率公式應(yīng)用時(shí)如果是分成互斥的兩個(gè)子事件,比較容易理解,當(dāng)子事件有三個(gè)或三個(gè)以上時(shí),難度就加大了,所以依據(jù)教材應(yīng)多訓(xùn)練兩個(gè)子事件的情況,適當(dāng)拓展為多個(gè)子事件的情況.

        2.Bayes公式

        若Aii=1,2,…n是一組兩兩互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且PAi>0i=1,2,…n,對(duì)任意BΩ,有PAiB=PAiPBAiPB=PAiPBAiΣni=1PAiPBAi,i=1,2,…n.

        例7.某市民主,建國(guó),新城三個(gè)社區(qū)突發(fā)奧密克戎毒株疫情,這三個(gè)社區(qū)感染的比例分別為01%,01%,02%.假設(shè)這三個(gè)社區(qū)人口占比為2:3:5,現(xiàn)從這三個(gè)社區(qū)中任取一人.

        (1)求此人感染奧密克戎毒株的概率 ;

        (2)已知一個(gè)人已經(jīng)感染了奧密克戎毒株, 求此人是來(lái)自新城社區(qū)的概率.

        解析:(1)設(shè)B=“這個(gè)人感染了奧密克戎毒株”,A1=“這個(gè)人來(lái)自民主社區(qū)”,A2=“這個(gè)人來(lái)自建國(guó)社區(qū)”,A3=“這個(gè)人來(lái)自新城社區(qū)”,所以根據(jù)全概率公式:PB=PA1PBA1+PA2PBA2+PA3PBA3=210×11000+310×11000+510×21000=1510000.即此人感染力奧密克戎毒株的概率00015.

        (2)根據(jù)Bayes公式PA3B=PA3BPB+PA3PBA3PB+510×210001510000=23.

        點(diǎn)評(píng):本題第(2)小題用到Bayes公式,但Bayes公式是選學(xué)內(nèi)容,不在高考要求范圍內(nèi),Bayes公式中本身就包括了全概率公式.深刻理解條件概率公式離不開全概率公式與Bayes公式的思想,學(xué)習(xí)時(shí)要把握一個(gè)度,做到恰到好處.

        二、2023高考前瞻

        結(jié)合2022年新課標(biāo)Ⅰ卷高考情況以及近期各地的模擬試題綜合分析,注意各個(gè)核心考點(diǎn)的縱橫聯(lián)系,對(duì)于來(lái)年高考進(jìn)行展望.“突破難點(diǎn),順勢(shì)而為.”方能順風(fēng)順?biāo)銎嬷苿?注意幾個(gè)備考關(guān)鍵詞.

        1.頻率分布直方圖

        例8.某臺(tái)風(fēng)在我國(guó)東南沿海登陸,給某鎮(zhèn)造成房屋倒塌和大量農(nóng)田被淹,直接經(jīng)濟(jì)損失1299億元.民政部門隨機(jī)調(diào)查了災(zāi)區(qū)200戶居民因臺(tái)風(fēng)造成的經(jīng)濟(jì)損失,將收集的數(shù)據(jù)分成 [0,2000],(2000,4000],(4000,6000],(6000,8000],(8000,10000] 五組,并作出如下頻率分布直方圖(如圖):

        (1)求這次臺(tái)風(fēng)給每戶造成損失的均值;

        (2)求這次臺(tái)風(fēng)給每戶造成損失的中位數(shù).

        解析:

        (1)X=Σ5i=1PiXi=2000(1×015+3×02+5×009+7×003+9×003)=3360(元).

        (2)先確定中位數(shù)在2000到4000之間,設(shè)為x,則2000×000015+00002x-2000=05,解得x=3000.

        點(diǎn)評(píng):本題主要考查頻率分布直方圖的意義,考生會(huì)看圖即可,均值的計(jì)算為后續(xù)離散性隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望公式打基礎(chǔ).中位數(shù)是特殊的百分位數(shù),除中位數(shù)外,用類似的方法還可求某個(gè)百分位數(shù).百分位數(shù)是新增內(nèi)容, 應(yīng)該足夠重視.

        2.概率綜合計(jì)算

        相對(duì)而言,概率綜合計(jì)算是這部分的難點(diǎn),古典概型應(yīng)注意對(duì)等可能性的理解,互斥事件對(duì)立事件要注意交事件是否為不可能事件,用乘法公式定量界定事件的相互獨(dú)立性,用全概率公式Bayes公式提升對(duì)條件概率的理解.

        例9.“登丹霞,觀日出.”一直是人們丹霞之旅的必備項(xiàng)目.每天有來(lái)自四面八方的游客登頂?shù)は忌接^日出,登頂游客中韶關(guān)本土游客和外地游客各半,外地游客中有四成乘觀光車登頂,韶關(guān)本地游客中近有兩成乘觀光車登頂,乘觀光車登頂?shù)钠眱r(jià)為50元.若某天有1500人登頂,則觀光車營(yíng)運(yùn)公司這天的登頂觀日出項(xiàng)目的收入是元.

        解析:22500.登頂觀日出的游客中任選一人,記A=“游客中任選一人是韶關(guān)本地游客”;B=“游客是乘坐觀光車登頂”,

        由全概率公式可知游客中任選一人登頂?shù)母怕蔖B=PAPBA+PPB=12×210+12×410=310,

        則觀光車營(yíng)運(yùn)公司這天的登頂觀日出項(xiàng)目的營(yíng)運(yùn)票價(jià)收入是1500×310×50=22500(元).

        例10.某車站售票廳有5組燈具供照明使用,每組批號(hào)相同,據(jù)以往調(diào)查得知,該批號(hào)燈具壽命1年以上概率為09,壽命2年以上概率為06.自啟用日算起,滿1年更換1次,只換已壞燈具(平時(shí)不換).求:

        (1)第1次更換燈具工作中,恰好2組需更換的概率;

        (2)第2次更換燈具工作中,就某一組燈具而言需要更換的概率.

        (3)第2次更換燈具工作中,至少需要更換4組的概率.

        解析:(1)就1組燈具而言,設(shè)A=“壽命1年以上”,B=“壽命2年以上”,

        依題意PA=09,PB=06,設(shè)C=“第1次更換燈具工作中,恰好2組需更換”,

        則PC=C25·1-PA2·PA3=101-092·093=00729.即為所求.

        (3)設(shè)D=“燈具壽命1年以上且2年以內(nèi)”,則事件A包括互斥的兩事件B和D,∴PA=PD+PB,∴PD=PA-PB=09-06=03.

        (4)故第2次更換燈具工作中,就某一組燈具而言需要更換的概率為P=P2+PD=1-092+03=031.

        (3)第2次更換燈具工作中,至少需要更換4組包括換5組和換4組兩種情況,即第2次更換燈具工作中,至少需要更換4組的概率P′=P5+C45P41-P=0315+5×03141-031≈0026.

        點(diǎn)評(píng):本題主要考查概率的概念與計(jì)算,要正確區(qū)別兩個(gè)公式互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率PA+B=PA+PB和相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率PAB=PAPB,考查基本運(yùn)算能力難度適中.其中第2次更換燈具工作中,就某一組燈具而言需要更換的概率很容易錯(cuò)誤為P=1-092+091-06=037.第2次更換燈具工作中,至少需要更換4組的概率容易錯(cuò)誤為P′=P5+C45P41-P=0375+5×03741-037≈0066.因?yàn)槭录嗀與事件并不是相互獨(dú)立事件.

        3.離散性隨機(jī)變量的均值與條件概率綜合

        離散性隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差,超幾何分布、二項(xiàng)分布以及連續(xù)性隨機(jī)變量的正態(tài)分布都是概率與統(tǒng)計(jì)的重要內(nèi)容,素材比較豐富,復(fù)習(xí)備考時(shí)注意分辨,一旦確定類型可走捷徑.

        例11.進(jìn)入高三后,為了減輕同學(xué)們的學(xué)習(xí)壓力,班上決定進(jìn)行一次減壓游戲.班主任把除顏色不同外,其余均相同的8個(gè)小球放入一個(gè)紙箱子,其中白色球與黃色球各3個(gè),紅色球與綠色球各1個(gè).現(xiàn)甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行摸球得分比賽,摸到白球每個(gè)記1分,黃球每個(gè)記2 分、紅球每個(gè)記3分,綠球每個(gè)記4 分,規(guī)定摸球人得分不低于8分獲勝.比賽規(guī)則如下:①只能一個(gè)人摸球;②摸出的球不放回;③摸球的人先從袋中摸出1球;若摸出的是綠色球,則再?gòu)拇永锩? 個(gè)球;若摸出的不是綠色球,則再?gòu)拇永锩?個(gè)球,他的得分為兩次摸出的球的記分之和;④剩下的球歸對(duì)方,得分為剩下的球的記分之和.

        (1) 若甲第一次摸出了綠色球,求甲獲勝的概率;

        (2) 如果乙先摸出了紅色球,求乙得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望 EX;

        (3) 第一輪比賽結(jié)束,有同學(xué)提出比賽不公平,請(qǐng)?zhí)岢瞿愕目捶ǎ⒄f(shuō)明理由.

        解析:(1)記“甲第一次摸出了綠色球,甲獲勝”為事件A,

        因?yàn)榍虻目偡譃?×3+2×3+3+4=16,事件A 指的是甲的得分大于等于8,

        則甲再?gòu)拇又忻? 個(gè)球,摸出了1個(gè)白球1個(gè)紅球,或1個(gè)黃球1個(gè)紅球,或2 個(gè)黃球,

        故PA=C13C11+C13C11+C23C27=921=37.

        (2)如果乙先摸出了紅色球,則他可以再?gòu)拇又忻?個(gè)球,

        若他摸出了3個(gè)白球,則X=3+1×3=6分,

        若他摸出了2個(gè)白球1個(gè)黃球,則X=3+1×2+2=7分,

        若他摸出了2個(gè)白球 1個(gè)綠球,則X=3+1×2+4=9分,

        若他摸出了1個(gè)白球2個(gè)黃球,則X=3+1+2×2=8分,

        若他摸出了1個(gè)白球1個(gè)黃球1個(gè)綠球,則X=3+1+2+4=10分,

        若他摸出了2個(gè)黃球1個(gè)綠球,則X=3+2×2+4=11分,

        若他摸出了3個(gè)黃球,則X=3+2×3=9 分,

        故X 的所有可能的取值為6 ,7 ,8,9,10,11.

        所以PX=6=C33C03C37=135,PX=7=C23C13C37=935,PX=8=C13C23C37=935, PX=9=C23C11+C33C37=435,PX=10=C23C13C11C37=935,PX=11=C23C13C37=335,

        故X 的分布列為:

        X67891011

        P135935935435935335

        所以X的數(shù)學(xué)期望EX=6×135+7×935+8×935+9×435+10×935+11×335=607.

        (3)由(1)可知,若第一次摸出綠球,則摸球人獲勝的概率為P1=37,

        由(2)可知,若第一次摸出紅球,則摸球人獲勝的概率為P2=9+4+9+335=57,

        若第一次摸出黃球,則摸球人獲勝的概率為P3=C26+C22+C12C13C37=2235,

        若第一次摸出白球,則摸球人獲勝的概率為P4=C26-1+C23C37=1735,

        則摸球人獲勝的概率為P=18×37+18×57+38×2235+38×1735=157280>12,故比賽不公平.

        例12.某公司準(zhǔn)備處理部分批號(hào)的保健用品,這些保健用品每箱200件,以箱為單位進(jìn)行售賣.已知這批保健用品中每箱出現(xiàn)的廢品率只有01或02兩種可能,且兩種可能對(duì)應(yīng)的概率都是05.若該保健用品正品市場(chǎng)價(jià)格為200元每件,廢品不值錢.現(xiàn)決定處理價(jià)為33600元每箱,若遇廢品則不給更換.以一箱保健用品中正品的期望價(jià)為依據(jù).

        (1)在不開箱檢驗(yàn)的情況下,判斷是否可以購(gòu)買;

        (2)現(xiàn)允許開箱,有放回地隨機(jī)從一箱中抽取2件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn).

        (i)若此箱出現(xiàn)的廢品率為20%,記抽到的廢品數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;

        (ii)若已發(fā)現(xiàn)在抽取檢驗(yàn)的2件產(chǎn)品中,其中恰有一件是廢品,判斷是否可以購(gòu)買.

        解析:(1)在不開箱檢驗(yàn)的情況下,一箱保健用品中正品的期望價(jià)為:

        Eξ=200×1-02×200×05+200×1-01×200×05=34000>33600.

        ∴在不開箱檢驗(yàn)的情況下,可以購(gòu)買.

        (2)(i) X的可能取值為0,1,2,

        PX=0=C02·020·082=064;

        PX=0=C12·021·081=032;

        PX=2=C22·022·080=004,

        ∴X的分布列為:

        X012

        P064032004

        ∴EX=0×064+1×032+2×004=04.或∵X服從二項(xiàng)分布B202,∴EX=2×04=04.

        (ii)設(shè)事件A :發(fā)現(xiàn)在抽取檢驗(yàn)的 2 件保健用品中恰有一件是廢品,

        則 PA=C12·02·08×05+C12·01·09×05=025,

        一箱保健用品中,設(shè)正品的價(jià)格期望值為Y,則Y =32000 ,36000,

        事件 B1:抽取廢品率為20% 的一箱,事件 B2:抽取廢品率為10% 的一箱,則:

        PY=32000=PB1A=PAB1PA=C12·02·08×05025=064,

        PY=36000=PB2A=PAB2PA=C12·01·09×05025=

        036,∴EX=32000×064+3600×036=33440<33600,

        ∴在抽取檢驗(yàn)的 2 件產(chǎn)品中,其中恰有一件是廢品, 不可以購(gòu)買.

        點(diǎn)評(píng):概率計(jì)算是重點(diǎn),也是難點(diǎn),是考生能否完成一道綜合題的關(guān)鍵.這兩例題主要考查條件概率,離散性隨機(jī)變量的分布列、均值,屬基本題題,難點(diǎn)處用到條件概率公式需要細(xì)心.

        4.統(tǒng)計(jì)案例與其它

        新教材加強(qiáng)了統(tǒng)計(jì)案例,在必修統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的基礎(chǔ)上,通過(guò)對(duì)成對(duì)數(shù)據(jù)研究?jī)蓚€(gè)隨機(jī)變量之間的關(guān)系,使考生能掌握成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的直觀表示以及線性相關(guān)統(tǒng)計(jì)特征的刻畫方法.

        例13.某工廠為了提高生產(chǎn)效率,對(duì)生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行了技術(shù)改造,為了對(duì)比技術(shù)改造后的效果,采集了技術(shù)改造前后各20次連續(xù)正常運(yùn)行的時(shí)間長(zhǎng)度(單位:天)數(shù)據(jù),整理如下:

        改造前:19,31,22,26,34,15,22,25,40,35,18,16,28,23,34,15,26,20,24,21;改造后:32,29,41,18,26,33,42,34,37,39,33,22,42,35,43,27,41,37,38,36.

        (1)完成下面的列聯(lián)表,并依據(jù)小概率值α=0010的獨(dú)立性檢驗(yàn)分析判斷技術(shù)改造前后的連續(xù)正常運(yùn)行時(shí)間是否有差異?

        技術(shù)改造

        設(shè)備連續(xù)正常運(yùn)行天數(shù)

        超過(guò)30不超過(guò)30

        合計(jì)

        改造前

        改造后

        合計(jì)

        (2)工廠的生產(chǎn)設(shè)備的運(yùn)行需要進(jìn)行維護(hù),工廠對(duì)生產(chǎn)設(shè)備的生產(chǎn)維護(hù)費(fèi)用包括正常維護(hù)費(fèi)和保障維護(hù)費(fèi)兩種,對(duì)生產(chǎn)設(shè)備設(shè)定維護(hù)周期為T天(即從開工運(yùn)行到第kT天,k∈N*)進(jìn)行維護(hù),生產(chǎn)設(shè)備在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)設(shè)置幾個(gè)維護(hù)周期,每個(gè)維護(hù)周期相互獨(dú)立,在一個(gè)維護(hù)周期內(nèi),若生產(chǎn)設(shè)備能連續(xù)運(yùn)行,則只產(chǎn)生一次正常維護(hù)費(fèi),而不會(huì)產(chǎn)生保障維護(hù)費(fèi);若生產(chǎn)設(shè)備不能連續(xù)運(yùn)行,則除產(chǎn)生一次正常維護(hù)費(fèi)外,還產(chǎn)生保障維護(hù)費(fèi).經(jīng)測(cè)算,正常維護(hù)費(fèi)為05萬(wàn)元/次,保障維護(hù)費(fèi)第一次為02萬(wàn)元/周期,此后每增加一次則保障維護(hù)費(fèi)增加02萬(wàn)元.

        現(xiàn)制定生產(chǎn)設(shè)備一個(gè)生產(chǎn)周期(以120天計(jì))內(nèi)的維護(hù)方案:T=30,k=1,2,3,4 以生產(chǎn)設(shè)備在技術(shù)改造后一個(gè)維護(hù)周期內(nèi)能連續(xù)正常運(yùn)行的頻率作為概率,求一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)維護(hù)費(fèi)的分布列及均值.

        附:

        α0150100. 050025001000050. 001

        xα20722706384150246635787910828

        χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),(其中n=a+b+c+d).

        解析:(1)列聯(lián)表為:

        技術(shù)改造

        設(shè)備連續(xù)正常運(yùn)行天數(shù)

        超過(guò)30不超過(guò)30

        合計(jì)

        改造前51520

        改造后15520

        合計(jì)202040

        零假設(shè)為:H0:技術(shù)改造前后的連續(xù)正常運(yùn)行時(shí)間無(wú)差異.

        ∴χ2=40(5×5-15×15)220×20×20×20=10>6635,

        ∴依據(jù)小概率值α=0010的獨(dú)立性檢驗(yàn)分析判斷H0不成立,即技術(shù)改造前后的連續(xù)正常運(yùn)行時(shí)間有差異.

        (2)由題知,生產(chǎn)周期內(nèi)有4個(gè)維護(hù)周期,一個(gè)維護(hù)周期為30天,一個(gè)維護(hù)周期內(nèi),生產(chǎn)線需保障維護(hù)的概率為P=14.

        設(shè)一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)需保障維護(hù)的次數(shù)為ξ,則ξ~B(4, 14);一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)的正常維護(hù)費(fèi)為05×4=2萬(wàn)元,保障維護(hù)費(fèi)為02ξ×(ξ+1)2=(01ξ2+01ξ)萬(wàn)元.

        ∴一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)需保障維護(hù)ξ次時(shí)的生產(chǎn)維護(hù)費(fèi)為(01ξ2+01ξ+2)萬(wàn)元.

        設(shè)一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)的生產(chǎn)維護(hù)費(fèi)為X,則X的所有取值為2,22,26,32,4.

        P(X=2)=1-144=81256,

        P(X=22)=C141-14314=2764,

        P(X=26)=C241-142142=27128,

        P(X=32)=C341-14143=364,

        P(X=4)=144=1256 .

        所以,X的分布列為:

        X22226324

        P812562764271283641256

        ∴E(X)=2×81256+22×2764+26×27128+32×364+4×1256=162+2376+1404+384+4256=5824256=2275,

        ∴一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)維護(hù)費(fèi)的均值為2275萬(wàn)元.

        例14.已知PA=12,PA=13,P=34,則()

        A.PA=23

        B.P=14

        C.P=23

        D.PB=37

        解析:∵PA=PAPA=1312=23,故A對(duì).

        又∵P=PP=P12=34,

        所以P=38.

        又∵PB=1-P=1-34=14,PB=PB=PA+P=13+38=1724.

        PB=1-P=1-1724=724,∴PB=PBPB=PPBPB=12×14724=37.

        故D對(duì),選AD.

        點(diǎn)評(píng):這種考法值得關(guān)注,承上啟下,概念也好,公式也罷,能理解其本質(zhì)很重要.概率與統(tǒng)計(jì)承載中學(xué)核心教學(xué)內(nèi)容,另一方面為大學(xué)理工科相關(guān)專業(yè)的考生繼續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

        概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律的科學(xué),是統(tǒng)計(jì)學(xué)的理論基礎(chǔ).概率是用來(lái)度量隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小,概率與統(tǒng)計(jì)同代數(shù)、幾何一樣,也應(yīng)從考生的認(rèn)知規(guī)律出發(fā),因材施教,以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)科核心素養(yǎng)為目標(biāo).作為考生,更要了解自己,了解高考.統(tǒng)計(jì)學(xué)雖然放在數(shù)學(xué)課程中,但它與數(shù)學(xué)是有差別的,數(shù)學(xué)是建立在概念和定義的基礎(chǔ)上通過(guò)公理化方法來(lái)構(gòu)建的,而統(tǒng)計(jì)學(xué)的研究是建立在數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上,通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)分析進(jìn)行推斷的.高考備考不但要開啟數(shù)學(xué)之門窗,而且要毅然決然進(jìn)去遨游神奇的數(shù)學(xué)世界.

        責(zé)任編輯 徐國(guó)堅(jiān)

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