摘?要：對(duì)稱性思想是物理學(xué)的基本思想之一，在整個(gè)物理學(xué)的發(fā)展中起著舉足輕重的作用。本文從大學(xué)物理的基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)入手，來探討對(duì)稱性思想在力學(xué)，特別是剛體力學(xué)中的具體體現(xiàn)形式和應(yīng)用，以及在電磁學(xué)領(lǐng)域麥克斯韋方程組所體現(xiàn)出來的優(yōu)美對(duì)稱性，和用麥克斯韋方程組來解決問題時(shí)所用到的對(duì)稱性思想。通過對(duì)物理不同分支對(duì)稱性思想的研究，來探究對(duì)稱性思想的重要意義。

關(guān)鍵詞：對(duì)稱性；剛體力學(xué)；麥克斯韋方程組

The?Application?of?Symmetry?in?Physics

Guo?Huping

Dept.of?Basic?Courses，Xian?Siyuan?University?ShaanxiXian?710038

Abstract：The?idea?of?symmetry?is?one?of?the?basic?ideas?of?physics，and?it?plays?a?pivotal?role?in?the?development?of?the?whole?physics;this?paper?starts?with?the?basic?knowledge?of?university?physics，and?discusses?the?specific?application?of?the?idea?of?symmetry?in?mechanics，especially?rigid?body?mechanics.It?embodies?the?form?and?application，as?well?as?the?beautiful?symmetry?embodied?by?Maxwell's?equations?in?the?field?of?electromagnetism，and?the?symmetry?ideas?used?when?using?Maxwell's?equations?to?solve?problems.Through?the?study?of?symmetry?ideas?in?different?branches?of?physics，to?explore?The?importance?of?the?idea?of?symmetry.

Keywords：symmetry；rigid?body?mechanics；Maxwell's?equations

在古希臘時(shí)期，著名的學(xué)者亞里士多德提出了物理學(xué)的概念，出版了一本書，名字就叫《物理學(xué)》。亞里士多德明確提出了地心說，認(rèn)為地球是宇宙的中心，分為月球天、水星天、金星天、太陽天、火星天、土星天、恒星天。地上萬物由土、水、氣、火四種元素構(gòu)成，每種元素所生成的物體都有本質(zhì)屬性，都要處于自己本來應(yīng)該具有的位置，如果不在自己的位置，它就要回到自己的位置。比如，氣就是向上的，而土，就是向下的。之后托勒密給出了宇宙的模型，也就是地心模型，以地球?yàn)橹行模ㄟ^均輪、本輪的概念，闡述了當(dāng)時(shí)的宇宙觀。雖然這個(gè)觀念在今天看來并不正確，但是托勒密的模型以球體和圓形為基本模型，因而具有高度的對(duì)稱性。隨著歐幾里得幾何學(xué)的建立，人們發(fā)現(xiàn)，物理和幾何有著天然的聯(lián)系。牛頓力學(xué)和歐幾里得幾何是緊密聯(lián)系的，而愛因斯坦的相對(duì)論和黎曼幾何是聯(lián)系在一起的。種種結(jié)論都是在表達(dá)著物理學(xué)的終極追求：即想要知道世界的根本構(gòu)成和根本秩序。正如斯蒂芬·威

廉·霍金（Stephen?William?Hawking）所說：他們渴望理解世界的根本秩序。今天我們?nèi)匀粯O想知道，我們?yōu)楹卧诖?？我們從何而來？人類求知的最深切的意愿足以為我們所從事的不斷探索提供充足的理由。而我們的目?biāo)恰恰正是對(duì)于我們生存其中的宇宙做出完整的描述［1］。經(jīng)過不斷的探索，人們發(fā)現(xiàn)自然界的重要特征之一，就是具有對(duì)稱性。

對(duì)稱性是物理中最重要的概念之一。被愛因斯坦稱為“數(shù)學(xué)史上最偉大的女性”的德國數(shù)學(xué)家艾米·諾特（Emmy?Noether）證明了將對(duì)稱性和守恒性聯(lián)系在一起的定理，即每一個(gè)自然界的對(duì)稱性中可以得到一個(gè)守恒定律，每一個(gè)守恒定律對(duì)應(yīng)著一種對(duì)稱性［2］。而楊振寧和李政道的諾貝爾獎(jiǎng)成果宇稱不守恒定律也是和對(duì)稱性相關(guān)的，在大學(xué)物理的學(xué)習(xí)過程中，處處也蘊(yùn)含著對(duì)稱的思想。牛頓力學(xué)中的三個(gè)基本守恒定律：動(dòng)量守恒定律、機(jī)械能守恒定律、角動(dòng)量守恒定律分別對(duì)應(yīng)著空間平移對(duì)稱性、時(shí)間平移對(duì)稱性和空間轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱性。本文從大學(xué)物理的基本知識(shí)點(diǎn)入手，來探討對(duì)稱性在大學(xué)物理中的應(yīng)用。

1?力學(xué)中的對(duì)稱性

剛體力學(xué)是物理學(xué)中非常重要的內(nèi)容之一，在剛體力學(xué)中，有一個(gè)非常重要的概念是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，這個(gè)物理量是用來描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的慣性大小。不同于質(zhì)點(diǎn)平動(dòng)時(shí)描述慣性大小的物理量質(zhì)量，剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的慣性大小不僅與質(zhì)量分布有關(guān)，還與剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)軸有關(guān)；同一個(gè)剛體，轉(zhuǎn)動(dòng)軸不同，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也就不同。所以，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算就成了剛體力學(xué)中一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)，掌握它的計(jì)算就顯得尤為重要。而轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算，如果是一般的無規(guī)則結(jié)構(gòu)，理論上是比較難計(jì)算的，通常的處理方法都是通過實(shí)驗(yàn)來測(cè)定。而如果剛體是一個(gè)對(duì)稱性結(jié)構(gòu)，則問題就變得簡單，利用剛體的對(duì)稱性結(jié)構(gòu)，就可以很方便地進(jìn)行積分。下面通過幾個(gè)常見的例子來說明這個(gè)問題。

1.1?長為L、質(zhì)量為m的均勻細(xì)棒對(duì)過中點(diǎn)的垂直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量［3］

JC=∫x2dm=∫L2-L2x2λdx=mL212

1.2?質(zhì)量為m，半徑為R的均勻圓環(huán)對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

設(shè)質(zhì)量線密度為λ，

dm=λdl

J=∫R2dm=∫2πR0R2λdl=R2λ·2πR=mR2

1.3?質(zhì)量為m、半徑為R的均勻薄圓盤對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

設(shè)質(zhì)量面密度為σ，取半徑為r寬為dr的薄圓環(huán)，

dm=σds=σ2πrdr

J=∫r2dm=∫R0r2·σ·2πrdr=12πR4σ=12mR2

1.4?質(zhì)量m，半徑R的均勻球殼對(duì)直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

dS=2πrdl=2πRsinθ·Rdθ

σ=m4πR2

dm=σdS=12msinθdθ

dJ=r2dm=（Rsinθ）2dm=12mR2sin3θdθ

J=∫dJ=∫π012mR2sin3θdθ=23mR2

2?電磁學(xué)中解題中的對(duì)稱性

電磁學(xué)中的核心知識(shí)之一是散度和旋度，對(duì)應(yīng)的定理就是高斯定理和環(huán)路定理。而高斯定理和環(huán)路定理用來處理電磁學(xué)問題時(shí)，需要建立一個(gè)封閉曲面或者封閉曲線。一般的封閉曲線或者曲面是比較麻煩的，而如果封閉曲面或者封閉曲線如果是一個(gè)對(duì)稱性結(jié)構(gòu)，比如球面、圓柱面、圓、矩形，就會(huì)給解決問題帶來很大的便利。常見的封閉曲面有球殼、圓柱面、長方體面等，常見的閉合曲線有圓環(huán)等。

封閉曲面和封閉曲線的示例如圖：

舉例：均勻帶電球體的電場(chǎng)分布

取同心球面為高斯面，電通量E·dS=E4πr2=∑q內(nèi)ε0

分為球外和球內(nèi)：

球外（r＞R）

∵∑q外=43πR3ρ?∴E=ρ3ε0R3r2

球內(nèi)（r＜R）

∵∑q內(nèi)=43πR3ρ?∴E=ρ3ε0r

無限長帶電圓柱體的磁場(chǎng)分布

電流分布具有軸對(duì)稱性，故磁場(chǎng)分布也是軸對(duì)稱［4］

LB·dl=LBdl=BLdl=B·2πr=μ0∑I

在圓柱外部（r＞R）

∵∑I=I∴B=μ0I2πr

在圓柱內(nèi)部（r＜R）

∵∑I=IπR2·πr2∴B=μ0I2πR2r

3?電場(chǎng)和磁場(chǎng)概念的對(duì)稱性

電場(chǎng)的基本概念是電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)，磁場(chǎng)的基本概念是磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁位。電場(chǎng)強(qiáng)度E和磁感應(yīng)強(qiáng)度B是對(duì)應(yīng)的，電位移D和磁場(chǎng)強(qiáng)度H是對(duì)應(yīng)的，所以，在掌握了靜電場(chǎng)的基本知識(shí)后，就可以根據(jù)對(duì)稱性，推導(dǎo)出磁場(chǎng)的基本知識(shí)。比如，含有電介質(zhì)的電場(chǎng)，高斯定律的表達(dá)式是：

∮SD·dS=∑iQ0i

由此可以得出磁場(chǎng)的高斯定律的表達(dá)式

∮SB·dS=0

1820年，丹麥物理學(xué)家奧斯特在做實(shí)驗(yàn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)電流的磁效應(yīng)，即通電導(dǎo)線旁的小磁針發(fā)生了偏轉(zhuǎn)，說明通電導(dǎo)線產(chǎn)生了磁場(chǎng)。當(dāng)時(shí)德意志哲學(xué)家康德的關(guān)于大自然是統(tǒng)一性的觀念非常受歡迎，很多人都受到康德的影響。法拉第在知道了奧斯特、安培等人的研究成果后，進(jìn)行了一系列電磁學(xué)實(shí)驗(yàn)，進(jìn)而思考了一個(gè)問題，既然電流可以產(chǎn)生磁場(chǎng)，那么反過來，磁場(chǎng)能不能產(chǎn)生電流呢？經(jīng)過十多年不懈的努力，法拉第終于發(fā)現(xiàn)了磁場(chǎng)產(chǎn)生電流的方法：只要通過回路線圈的磁通量發(fā)生了變化，就會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電流。這種認(rèn)為電和磁可以相互產(chǎn)生的對(duì)稱性思想，也體現(xiàn)在麥克斯韋方程組中。從麥克斯韋方程組的積分形式中，可以看出

∮sE·ds=qε0?∮lE·dl=-∫sBt·ds

∮sB·ds=0?∮lB·dl=∫sμ0jc+μ0ε0Et·ds

變化的電場(chǎng)可以產(chǎn)生磁場(chǎng)，變化的磁場(chǎng)可以產(chǎn)生電場(chǎng)，電和磁是一個(gè)對(duì)稱性的結(jié)構(gòu)，形成電磁場(chǎng)。而電磁場(chǎng)在空間的傳播，就形成了電磁波，麥克斯韋通過方程，預(yù)言了電磁波的存在，并且給出了電磁波的速度，之后證明光就是一種電磁波。

在麥克斯韋預(yù)言了電磁波的存在后，赫茲通過實(shí)驗(yàn)證明了電磁筆的存在。可以通過圖像看到，電磁波在空間的傳遞也體現(xiàn)出了對(duì)稱性：電場(chǎng)和磁場(chǎng)相互垂直，與傳播方向成右手螺旋關(guān)系。

結(jié)語

通過上面的討論可以看出，對(duì)稱性是物理學(xué)的基本思想之一，貫穿于整個(gè)物理學(xué)之中。無論是前沿的物理科研，還是基礎(chǔ)的物理學(xué)習(xí)，都處處展現(xiàn)出對(duì)稱性思想的重要性，結(jié)合前人物理學(xué)家的研究過程，我們發(fā)現(xiàn)，思考對(duì)稱性原理，對(duì)于科研和學(xué)習(xí)有巨大的推動(dòng)作用。

參考文獻(xiàn)：

［1］Stephen?Hawking.時(shí)間簡史［M］.湖南科學(xué)技術(shù)出版社，2012.

［2］漆安慎，杜嬋英.力學(xué)［M］.高等教育出版社，2003.

［3］馬文蔚，周雨青.物理學(xué)教程［M］.高等教育出版社，2019.

［4］吳百詩.大學(xué)物理B版［M］.西安交通大學(xué)出版社，2020.

作者簡介：郭虎平（1986—?），男，漢族，陜西西安人，講師，研究方向：物理學(xué)、電磁場(chǎng)。