王國平

摘要：在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，能起到豐富數(shù)學(xué)教學(xué)形式，助力學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展等作用。但在實(shí)際教學(xué)中，不乏教師缺乏數(shù)形結(jié)合教學(xué)意識、學(xué)生缺乏對數(shù)形結(jié)合思想的重視等現(xiàn)象，這些都會阻礙學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)與發(fā)展?；诖?，本文以提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量為目的，結(jié)合人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)案例，從課前教學(xué)設(shè)計(jì)、課堂材料投放、課后鼓勵應(yīng)用三個角度出發(fā)，探究在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)活動中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的具體策略，旨在啟發(fā)一線教育者。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合思想；小學(xué)；數(shù)學(xué)

沒有任何東西比幾何圖形更容易引入腦際了。因此，用圖像表達(dá)事物是非常有益的。數(shù)形結(jié)合教學(xué)符合學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)，有助于深化學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解和記憶。小學(xué)生的認(rèn)知水平與邏輯思維均處于初級發(fā)展階段，難以通過語言講解和文字讀取直觀理解部分?jǐn)?shù)學(xué)知識概念的含義。圖形正是為小學(xué)生搭建認(rèn)知支架的教學(xué)突破口。因此，提高小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想勢在必行。

1? ?在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的意義

1.1培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱為《課程標(biāo)準(zhǔn)》）中將小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)歸納為11個發(fā)展方向。其中，數(shù)感、符號意識、幾何直觀、空間觀念素養(yǎng)與數(shù)形結(jié)合教學(xué)效果存在異曲同工之處。應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想展開教學(xué)，有助于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展。

1.2豐富學(xué)科教學(xué)形式

數(shù)形結(jié)合思想的踐行本質(zhì)原理在于通過類比的方式將圖形之間的邏輯關(guān)系與數(shù)字之間的內(nèi)在邏輯聯(lián)系起來。學(xué)生通過理解數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系深度理解圖與圖之間的聯(lián)系。教師要創(chuàng)設(shè)實(shí)物教學(xué)、情境教學(xué)等視覺感官體驗(yàn)強(qiáng)的教學(xué)形式，使數(shù)學(xué)學(xué)科課程進(jìn)一步豐富與優(yōu)化。

2? ? 阻礙學(xué)生建立數(shù)形結(jié)合思想的原因分析

2.1教師缺乏深刻教學(xué)理解

教師層面存在的主要問題在于：部分教師缺乏對數(shù)形結(jié)合思想的深入認(rèn)知。這一現(xiàn)象致使教師在無形中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)而不自知，課堂教學(xué)中缺乏對數(shù)形結(jié)合助學(xué)效果的強(qiáng)調(diào)，或數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用時機(jī)不當(dāng)，難以發(fā)揮數(shù)形結(jié)合思想的教育價值。

2.2學(xué)生輕視數(shù)形助思效果

學(xué)生在數(shù)形結(jié)合思想方面存在的學(xué)習(xí)問題包括：第一，缺乏運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決數(shù)學(xué)問題的經(jīng)驗(yàn)、意識和能力；第二，存在不同程度的作圖不規(guī)范、思維怠惰問題；第三，對數(shù)形結(jié)合輔學(xué)助思的教學(xué)效果認(rèn)知不清，存在輕視心理。因此，數(shù)形結(jié)合思想在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中未能發(fā)揮顯著教育價值。

3? ?數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐的有效路徑

從概念角度解讀，數(shù)形結(jié)合思想旨在將數(shù)與形相結(jié)合，是一種提升學(xué)生知識關(guān)聯(lián)與理解能力的學(xué)習(xí)方式或?qū)W習(xí)思路?！皵?shù)”與“形”是較為古老的數(shù)學(xué)語言，在一定條件下可以相互替代、相互轉(zhuǎn)化。將數(shù)形結(jié)合思想作為課堂教學(xué)的基本方法，需要從課前、課中、課后三個時段展開逐層鋪設(shè)。

3.1教學(xué)前深挖教材，應(yīng)用合適的教學(xué)方法

課前時段是教師改良教學(xué)設(shè)計(jì)、推敲教學(xué)環(huán)節(jié)的重要時段。這一時段教師可以將教材作為數(shù)形結(jié)合教學(xué)的主陣地，立足學(xué)科整體和教材內(nèi)容展開綜合探究，以期創(chuàng)設(shè)服務(wù)于整體的數(shù)形結(jié)合教學(xué)模式，提高課堂內(nèi)容與教學(xué)形式的契合程度。

3.1.1立足學(xué)科整體，構(gòu)建數(shù)形結(jié)合教學(xué)體系

從學(xué)科整體教學(xué)角度出發(fā)展開數(shù)形結(jié)合教學(xué)探究，教師可以通過小學(xué)學(xué)段整體教學(xué)目標(biāo)與學(xué)段教學(xué)規(guī)劃展開教學(xué)分析，尋找數(shù)形結(jié)合教學(xué)與核心素養(yǎng)培養(yǎng)目標(biāo)、學(xué)科知識基本區(qū)塊的交接點(diǎn)，構(gòu)建關(guān)聯(lián)緊密、和而不同、服務(wù)于整體的數(shù)形結(jié)合教學(xué)體系。從教學(xué)目標(biāo)來看，《課程標(biāo)準(zhǔn)》的教學(xué)目標(biāo)模塊中將小學(xué)教學(xué)總目標(biāo)分為三個學(xué)段目標(biāo)，教師可以結(jié)合學(xué)生所處學(xué)段展開目標(biāo)探究，根據(jù)學(xué)段目標(biāo)創(chuàng)設(shè)數(shù)形結(jié)合教學(xué)的具體內(nèi)容，在難度上有所側(cè)重，使數(shù)形轉(zhuǎn)化案例貼合學(xué)生最近發(fā)展區(qū)。從教學(xué)內(nèi)容來看，《課程標(biāo)準(zhǔn)》將數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)知識模塊分為數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率、綜合與實(shí)踐四個維度。其中，數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何分別對應(yīng)“數(shù)”與“形”的相關(guān)知識，而統(tǒng)計(jì)與概率則包含數(shù)與形，是數(shù)與形的綜合體；綜合與實(shí)踐模塊內(nèi)容以跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)為主要內(nèi)容，其應(yīng)用與“數(shù)”與“形”存在密不可分的聯(lián)系。在實(shí)際教學(xué)中，教師可以在獨(dú)立課程教學(xué)設(shè)計(jì)時將教學(xué)內(nèi)容分類處理。教師可以在“數(shù)與代數(shù)”知識教學(xué)時運(yùn)用圖形輔助講解，實(shí)現(xiàn)“以形助教”。教師可以在設(shè)計(jì)“圖形與幾何”教學(xué)方案時融入數(shù)的類比，實(shí)現(xiàn)“以數(shù)解形”；還可以在講解統(tǒng)計(jì)概率模塊時集中訓(xùn)練學(xué)生數(shù)與形相互轉(zhuǎn)化的能力，使學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想得到充分的鍛煉。

例如，在人教版小學(xué)數(shù)學(xué)一年級上冊《11～20各數(shù)的認(rèn)識》教學(xué)設(shè)計(jì)前期，教師應(yīng)立足學(xué)科整體展開深度教學(xué)解析，從教學(xué)目標(biāo)來看，處于第一學(xué)段（1～2年級）的小學(xué)生讀圖能力高于對“數(shù)”的理解能力；從教學(xué)內(nèi)容角度來看，該課內(nèi)容屬于“數(shù)與代數(shù)”范疇。因此，教師制定“以形助教”數(shù)形結(jié)合方案，將小球教具融入課堂，以具象化圖形為學(xué)生建立清晰的“數(shù)的大小”概念。教師為小組學(xué)生發(fā)放小球教具，每個小組25個，請學(xué)生依次擺出“1～10”中任意一個數(shù)字所代表的小球量，鞏固學(xué)生對知識的記憶，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力。而后，教師可以展開“11～20”數(shù)字的講解，讓學(xué)生了解“11=10+1”，用小球來表示則是10個小球的基礎(chǔ)上加上1個小球。學(xué)生能在實(shí)物教具的作用下建立清晰的數(shù)形思想，以形讀數(shù)，輕松理解“11～20”數(shù)字所代表的量的含義，實(shí)現(xiàn)本課知識目標(biāo)。依照“數(shù)”類教學(xué)內(nèi)容，尋找“形”之教學(xué)輔助方式，能有效實(shí)現(xiàn)“以形助教”，促進(jìn)課堂知識目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)。

3.1.2立足教材整體，制訂數(shù)形結(jié)合教學(xué)計(jì)劃

從教材整體展開數(shù)形結(jié)合教學(xué)設(shè)計(jì)，需要教師立足教材整體展開綜合考量。人教版數(shù)學(xué)教材將“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”“綜合與實(shí)踐”穿插鋪設(shè)于8-9個單元中，難度呈遞進(jìn)式編排。因此，教師在進(jìn)行整體編排時，所用教學(xué)模式需要注意規(guī)避重復(fù)性設(shè)計(jì)，盡量使同一類教學(xué)內(nèi)容應(yīng)用不同的教學(xué)模式，使學(xué)生收獲豐富多變的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體驗(yàn)。

以人教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級上冊《量一量，比一比》一課教學(xué)設(shè)計(jì)為例，從教材整體來解讀，本單元教學(xué)重點(diǎn)在于“量感”教學(xué)，要求學(xué)生對物體的可測量屬性建立直觀概念，對數(shù)值產(chǎn)生清晰認(rèn)知。本單元與第一單元《長度單位》和第五單元《觀察物體（一）》同屬于“數(shù)與代數(shù)”知識脈絡(luò)。在第一單元，教師將量尺作為以形助教的實(shí)物工具；在第五單元，教師設(shè)計(jì)“視覺錯覺”微課程視頻作為數(shù)形結(jié)合的思維導(dǎo)引工具；在本單元教學(xué)中，教師要規(guī)避上述同類教學(xué)形式，選擇生活化場景聯(lián)想作為數(shù)形轉(zhuǎn)化形式。教師可以向?qū)W生提出生活化問題：“想一想，家庭中有哪些可以測量的數(shù)字？冰箱的高度是多少？門框的高度是多少？二者誰更高？你如何判斷？”學(xué)生結(jié)合教師給出的生活化問題展開聯(lián)想，結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)分析生活中數(shù)形結(jié)合解決實(shí)際問題的一般方法。立足于教材的整體的數(shù)形結(jié)合設(shè)計(jì)，使獨(dú)立課程的教學(xué)計(jì)劃服務(wù)于整體，有效提升了整體課程建設(shè)的豐富性與優(yōu)越性。

3.2教學(xué)中投放工具，演示數(shù)形轉(zhuǎn)化方式

處于第一、第二學(xué)段的學(xué)生形象思維占據(jù)數(shù)學(xué)思維的主導(dǎo)地位，難以自主理解數(shù)與數(shù)、形與形之間的抽象邏輯關(guān)系。若不用具象化教輔工具作引導(dǎo)，學(xué)生則難以跨越認(rèn)知障礙，建立穩(wěn)定的數(shù)形轉(zhuǎn)化聯(lián)系。因此，教師可以在教學(xué)中適當(dāng)投放教輔工具，以直觀演示數(shù)形轉(zhuǎn)化的方式啟迪學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想。

3.2.1投放實(shí)物材料教具，實(shí)現(xiàn)以形助教

實(shí)物教具是營造濃厚探究氛圍、建立直觀演示教學(xué)模式的有力工具。教師在進(jìn)行課堂教學(xué)時，可以結(jié)合實(shí)際教學(xué)需求將生活中的物品或?qū)I(yè)教具帶入課堂，以直觀的類比突破抽象數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的壁壘，實(shí)現(xiàn)學(xué)生同步理解。富有生活氣息的教具能激活學(xué)生對生活的思考，提升學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的認(rèn)同感與代入感，進(jìn)而達(dá)到以形助教、促進(jìn)邏輯理解的教育目的。教師在選擇實(shí)物教具的過程中，一方面，需要注意教具的功能性與課堂教學(xué)需求的契合度。所選的教具應(yīng)與課堂教學(xué)情境主題或知識概念存在明顯關(guān)聯(lián)，且其他特征盡量簡化，盡量保留、凸顯與教學(xué)有關(guān)的特征，避免分散學(xué)生學(xué)習(xí)注意力。另一方面，教師需要注意教具的可操作性，所造教具最好具備探究功能，供學(xué)生小組自主探究，讓其以觸碰、感知、操作等方式自主獲得學(xué)習(xí)結(jié)論，進(jìn)而對相關(guān)知識產(chǎn)生深刻印象。

例如，在人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級上冊《簡易方程》的教學(xué)活動中，教學(xué)的重點(diǎn)難點(diǎn)在于讓學(xué)生自然接受并牢記“含有未知數(shù)的等式兩邊相等”這一概念。等式兩邊相等是解方程的基礎(chǔ)規(guī)則。學(xué)生如能對此產(chǎn)生深刻認(rèn)識，則在后續(xù)運(yùn)算學(xué)習(xí)中能捋順運(yùn)算邏輯，正確理解未知數(shù)求解原理。因此教師可將實(shí)物教具“天平、小鋼珠和砝碼”帶入課堂。天平和砝碼教具具備可操作性，可供學(xué)生隨意探究，天平本身具有“兩邊相等”的價值屬性。學(xué)生將砝碼重量自然代入等式兩邊的數(shù)字，將未知重量的小鋼珠代入未知數(shù)“x”，由此抽象的方程等式框架在現(xiàn)實(shí)生活中初具雛形，學(xué)生能輕松接受方程概念，提升課堂理解能力。

3.2.2創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，實(shí)現(xiàn)以數(shù)解形

在數(shù)形結(jié)合教學(xué)中，教師往往將“以形助教”作為教學(xué)主流方式，一定程度上忽視了“以數(shù)解形”模式的教育作用?！皵?shù)”的相關(guān)知識屬于無形的邏輯概念，難以實(shí)物化。因此，在進(jìn)行教學(xué)演示時不易呈現(xiàn)在課堂。教師可以借助語言描述、生活案例、圖像視頻等方式將“數(shù)”具象化，借助具體的“數(shù)”輔助學(xué)生理解圖像與幾何相關(guān)知識內(nèi)容。教師可以通過語言描述創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，使學(xué)生聚焦數(shù)形思維，展開合理聯(lián)想，借助假設(shè)中的“數(shù)”推導(dǎo)“形”的性質(zhì)；可以通過列舉簡單生活案例創(chuàng)設(shè)生活化情境，使學(xué)生通過生活角度看待數(shù)學(xué)問題，輕松接受復(fù)雜的邏輯概念；還可以借助動態(tài)圖片、視頻進(jìn)行數(shù)形轉(zhuǎn)化模型演示，以此培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想，為學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型、發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科思維提供參照。豐富的情境創(chuàng)設(shè)方式能有效提升學(xué)生對“數(shù)”的感知力，進(jìn)而借助“數(shù)”理解“形”，達(dá)到“以數(shù)解形”的教育效果。

以人教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級上冊《平行四邊形和梯形》一課教學(xué)為例，本課教學(xué)的重點(diǎn)在于探究兩個平面圖形的性質(zhì)。當(dāng)探究到“穩(wěn)定性”時，教師為學(xué)生播放視頻“趣味數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)——平行四邊形和梯形的性質(zhì)”，視頻中演示了規(guī)格相同、材質(zhì)相同的平行四邊形、梯形木板實(shí)驗(yàn)材料的承重能力。實(shí)驗(yàn)者將兩組實(shí)驗(yàn)道具固定在地上，并在上面分別加等重砝碼。當(dāng)加到10千克時，平行四邊形木板首先折斷，而梯形的承重超出30千克仍沒有斷裂跡象。視頻中，砝碼的重量就是“數(shù)”的體現(xiàn)。在“數(shù)”的對比作用下，學(xué)生對平行四邊形的不穩(wěn)定性、梯形的穩(wěn)定性產(chǎn)生深刻的印象。

3.3教學(xué)后積極評價，鼓勵應(yīng)用數(shù)形思維

經(jīng)過課前設(shè)計(jì)與課中教學(xué)的層層滲透，學(xué)生已能結(jié)合預(yù)設(shè)教學(xué)條件自然轉(zhuǎn)化“數(shù)與形”的關(guān)系，但在自主探究中缺乏數(shù)形思維應(yīng)用意識，未能形成借助數(shù)形結(jié)合思想解決數(shù)學(xué)問題的思維習(xí)慣。因此，在課堂教學(xué)中、后期，教師需要積極承擔(dān)指導(dǎo)、評價職責(zé)，對學(xué)生數(shù)形結(jié)合理解能力、數(shù)形結(jié)合案例列舉能力進(jìn)行賞識教育。積極的評價能為學(xué)生帶來良好的數(shù)形思維情感體驗(yàn)，促使學(xué)生自覺提高數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用頻率，靈活運(yùn)用數(shù)形思想解決數(shù)學(xué)問題。教師還需要注意數(shù)形思維概念的滲透，積極倡導(dǎo)用數(shù)形思想解決問題的自主學(xué)習(xí)方式。學(xué)生能在教師的積極情感引領(lǐng)作用下深化數(shù)形思想、提高數(shù)形結(jié)合思想品質(zhì)。

綜上所述，數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用可以細(xì)致分為課前設(shè)計(jì)、課堂教學(xué)、課后啟思三個階段。在教學(xué)前期，教師需要深度探究學(xué)科教學(xué)和教材內(nèi)容，制訂適合的教學(xué)計(jì)劃；在課堂教學(xué)中期，教師需要投放實(shí)物教具和情境工具，以直觀演示的方式促進(jìn)學(xué)生課堂理解；在教學(xué)后期，教師可以通過積極的評價，啟發(fā)學(xué)生數(shù)形思想，鼓勵學(xué)生在學(xué)習(xí)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決問題。由此，能豐富課程建設(shè)，達(dá)到啟迪學(xué)生學(xué)科智慧、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形思維的教育目的。

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