張盟盟 吳紹峰

（重慶人文科技學(xué)院）

常微分方程是集理論與實(shí)踐為一體的一門必修課，是在學(xué)習(xí)了數(shù)分、高代等課程的基礎(chǔ)之上，開(kāi)設(shè)的一門課程，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)其他課程的前提，在對(duì)學(xué)生的邏輯推理、獨(dú)立思考問(wèn)題、團(tuán)隊(duì)協(xié)作等能力的提升方面占據(jù)重要地位，也培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維及創(chuàng)新思維，同時(shí)也是聯(lián)系微積分理論與實(shí)際問(wèn)題的紐帶，其課程中蘊(yùn)含的重要數(shù)學(xué)思想、邏輯推理方法和處理技巧也經(jīng)常用于解決實(shí)際問(wèn)題，是數(shù)學(xué)學(xué)科聯(lián)系實(shí)際的重要途徑之一，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和科學(xué)研究中發(fā)揮著重要作用，也在數(shù)學(xué)人才培養(yǎng)過(guò)程中起著至關(guān)重要的作用[1]。

基于思政的大環(huán)境下，努力挖掘?qū)I(yè)課程中的思政元素，發(fā)揮課程的育人功能是極其必要的。而常微分方程作為大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的專業(yè)基礎(chǔ)課之一，不僅為學(xué)生提供專業(yè)理論知識(shí)，而且還承載著素質(zhì)育人的功能。將思想政治教育融入到常微分方程課堂教學(xué)中去，努力挖掘該課程的教學(xué)方式、課程內(nèi)容中蘊(yùn)涵的育人元素，使之有效的滲入課堂教學(xué)中，潛移默化中感化學(xué)生，使學(xué)生在學(xué)習(xí)專業(yè)知識(shí)的同時(shí)，注重德育的培養(yǎng)和個(gè)人文化素養(yǎng)的提升，將傳道授業(yè)解惑與立德樹(shù)人齊頭并進(jìn)，將思想政治教育貫穿到教學(xué)始終，改善傳統(tǒng)教學(xué)枯燥的課堂活動(dòng)，沉寂的課堂氛圍，無(wú)趣的課堂互動(dòng)，讓學(xué)生在快樂(lè)中汲取知識(shí)，不斷成長(zhǎng)。

然而常微分方程課程理論性較強(qiáng)，部分定理也比較抽象讓人難以理解，故想要在教學(xué)過(guò)程中融入育人意識(shí)，教師確實(shí)需要花費(fèi)更多的心思，付出更多的努力。本章從以下兩個(gè)方面入手，探索常微分方程課程中如何引入思政理念。

一、加強(qiáng)專業(yè)教師對(duì)思政建設(shè)的思想認(rèn)識(shí)

許多教師特別是非思政教育類專業(yè)教師，對(duì)思政有一定的片面理解，不理解其中的內(nèi)涵，不能深入理解什么是思政元素，思政元素具體包含哪些，課程思政的內(nèi)涵是什么，更不用提如何將思政元素引入純理論學(xué)科，以及如何將馬克思主義原理貫穿到整個(gè)教學(xué)過(guò)程，所以最重要的是加強(qiáng)任課教師對(duì)思政建設(shè)的意識(shí)，育人意識(shí)是思政建設(shè)的前提，只有育人意識(shí)加強(qiáng)，才能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，才能把思政理念貫徹始終，有效地將專業(yè)教育和德育相結(jié)合。

要想將專業(yè)課程教師的德育認(rèn)知提升到新的臺(tái)階，最基本的要求就是不忘初衷，繼續(xù)進(jìn)一步鞏固扎實(shí)專業(yè)教師的理論基礎(chǔ)。因?yàn)檎n程思政也是以專業(yè)理論為依托，只有不斷提升教師的專業(yè)技能，理清課程內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系和蘊(yùn)含的哲學(xué)思想，用心投入到教學(xué)實(shí)踐中去，才能充分挖掘課程建設(shè)與人才培養(yǎng)的關(guān)系，提煉課程中的人文情懷、社會(huì)責(zé)任。但是由于專業(yè)教師對(duì)思政理論的認(rèn)知有限，故教師思想政治理論學(xué)習(xí)也必不可少，教師可通過(guò)學(xué)習(xí)公社、高校教師創(chuàng)新大賽等交流平臺(tái)，提升教師的自身教學(xué)技能，加強(qiáng)思政理論的學(xué)習(xí)[2]，一方面促進(jìn)教師之間思政教育的交流學(xué)習(xí)，改變教師傳統(tǒng)的教學(xué)觀，授課過(guò)程中有意識(shí)的滲入社會(huì)主義核心價(jià)值觀、哲學(xué)觀等觀點(diǎn)看法，另一方面有助于思政教學(xué)能力的提升。

二、找準(zhǔn)課程思政著力點(diǎn)，挖掘課程中的思政元素

常微分方程屬于偏理論課程，要想有效的融入思政元素，確實(shí)有一定的困難，作為專任教師首先要充分認(rèn)識(shí)到常微分課程建設(shè)與人才培養(yǎng)、畢業(yè)要求的內(nèi)在聯(lián)系，從專業(yè)知識(shí)的背景、內(nèi)在聯(lián)系及其蘊(yùn)涵的思想方法出發(fā)，尋找專業(yè)知識(shí)與價(jià)值引領(lǐng)的結(jié)合點(diǎn)，以此來(lái)提升課程建設(shè)的政治高度及人文情懷。

常微分方程講授的主要內(nèi)容包含以下幾部分：一階方程、高階方程、一階方程組的求解以及一階方程解的連續(xù)依賴、可微性定理等。實(shí)際授課過(guò)程中偏應(yīng)用部分講解較少，整體理論性較強(qiáng)，所以在教學(xué)過(guò)程中要努力挖掘課程中的思政元素，找準(zhǔn)著力點(diǎn)，比如課程中第三章第一節(jié)中一階方程的解的存在定理，該部分內(nèi)容純粹為定理的推導(dǎo)證明，學(xué)生聽(tīng)起來(lái)也枯燥無(wú)味，看起來(lái)和思政元素沒(méi)有任何聯(lián)系，而作為教師可以從解的存在定理證明過(guò)程中蘊(yùn)涵的思想入手，該證明主要采用逐步逼近法，在一階方程存在唯一解的前提下，如果找不出真正的解，就可采用近似解無(wú)限逼近真實(shí)解，不斷縮小與真實(shí)解的誤差，就如人生理想看似遙不可及，但只要始終如一、堅(jiān)持不懈、砥礪前行，每一次的到岸均是下一次航行的起點(diǎn)，不斷地向目標(biāo)靠近，終能到達(dá)彼岸。下面從三方面入手，簡(jiǎn)單闡述常微分課堂教學(xué)中的思政著力點(diǎn)。

（一）從課程中的數(shù)學(xué)文化中挖掘思政元素

將思政教育與數(shù)學(xué)文化相結(jié)合，從《常微分方程》中的數(shù)學(xué)文化入手，引入思政元素，是最常見(jiàn)的思政形式。比如在第一章講授內(nèi)容之前，可以花部分時(shí)間專門介紹常微分方程的發(fā)展史。自17 世紀(jì)末，微分方程這個(gè)詞第一次在牛頓的書信中出現(xiàn)，到如今被應(yīng)用到工業(yè)、航空航天、醫(yī)學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域，縱觀常微分200 多年發(fā)展史，涌現(xiàn)出大批著名科學(xué)家，如牛頓、萊布尼茨、歐拉、伯努利、里卡蒂、劉維爾、柯西、龐加萊、李雅普諾夫等等[3]。許多教師也喜歡從這部分內(nèi)容引入思政，因?yàn)樗颊孛黠@，簡(jiǎn)單闡述科學(xué)家的奮斗經(jīng)歷及主要成果，科學(xué)家們?cè)谧非笳胬淼倪^(guò)程中堅(jiān)持不懈、不懼困難、勇往直前的科學(xué)精神與勇氣，以此來(lái)鼓勵(lì)學(xué)生，增強(qiáng)斗志。而課程中的伯努利方程、里卡蒂方程、歐拉方程等均為后人以他們的名字命名的方程，李雅普諾夫提出了運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性理論，來(lái)解決方程解的初值擾動(dòng)的影響，最后誕生了李雅普諾夫穩(wěn)定性問(wèn)題。這些知識(shí)點(diǎn)均可引入名人軼事，教育學(xué)生要孜孜不倦、不怕困難、勇于鉆研，不能急于求成，一步一個(gè)腳印，前輩們也是在不斷探索和失敗中砥礪前行，為學(xué)生樹(shù)立正確的學(xué)習(xí)榜樣，端正學(xué)習(xí)態(tài)度。

（二）從實(shí)際問(wèn)題引入中挖掘思政元素

常微分方程在其它交叉學(xué)科中應(yīng)用地位顯而易見(jiàn)，尤其在數(shù)學(xué)建模中，而高教出版社出版的這本教材中，很少提及將微分方程與數(shù)學(xué)模型聯(lián)系起來(lái)，往往是直接給出方程的定義，求解方法，故在教學(xué)過(guò)程中可從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)引導(dǎo)學(xué)生建立簡(jiǎn)單的微分方程模型，從而引出教學(xué)內(nèi)容。比如在講變量分離方程時(shí)，由論證星星之火可以燎原，引入Malthus人口模型[4]：在人口自然增長(zhǎng)過(guò)程中，假設(shè)相對(duì)凈增長(zhǎng)率為固定常數(shù)k，記t時(shí)間人口總數(shù)為N(t),則在t到t+Δt時(shí)間段內(nèi)人口增長(zhǎng)數(shù)為, 即為關(guān)于N(t) 的一個(gè)一階線性方程，從而引入變量分離方程。從人口模型中啟示我們要控制人口數(shù)量，提高人口質(zhì)量，正確處理人和自然的關(guān)系，走可持續(xù)發(fā)展道路。講一階線性方程時(shí)，可從實(shí)際問(wèn)題藝術(shù)品鑒別模型入手，啟發(fā)學(xué)生愛(ài)護(hù)文物，保護(hù)國(guó)家文化遺產(chǎn)，提升學(xué)生的愛(ài)國(guó)意識(shí)、家國(guó)情懷。此外，可結(jié)合傳染病SIS 模型，與當(dāng)前時(shí)事熱點(diǎn)新冠病毒的相關(guān)知識(shí)相結(jié)合，從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，建立一階里卡蒂微分方程模型（或考慮病人治愈后可以重新被感染，建立SIS 模型，引入一階方程組），在講到傳播途徑時(shí)，可向?qū)W生宣傳防疫、抗疫的科學(xué)意識(shí)和科學(xué)方法，努力安撫學(xué)生，不懼病毒，正確看待新冠病毒，同時(shí)增強(qiáng)學(xué)生對(duì)國(guó)家應(yīng)對(duì)疫情的信心，提高學(xué)生對(duì)病毒的防范意識(shí)。同時(shí)可適當(dāng)引入鐘南山、李蘭娟等科學(xué)家在抗擊疫情中的感人事跡、卓越表現(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生的愛(ài)國(guó)情懷。

（三）從新知探究中挖掘思政元素

常微分方程課程偏理論，故要從課程內(nèi)容中挖掘思政元素，就需要深入研究課程內(nèi)容，理解各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，尋求解題過(guò)程、證明過(guò)程的一般規(guī)律以及蘊(yùn)涵的思想方法。比如恰當(dāng)微分方程與積分因子這一節(jié)，可采用小組討論的方式，引導(dǎo)小組學(xué)生搜集資料，自行總結(jié)恰當(dāng)方程的求解方法，并進(jìn)行課堂匯報(bào)，提升學(xué)生查找、搜集文獻(xiàn)的能力，同時(shí)讓學(xué)生感受到團(tuán)結(jié)協(xié)作的力量，培養(yǎng)分工協(xié)作及創(chuàng)新意識(shí)，最后由教師歸納總結(jié)恰當(dāng)微分方程常用的幾種求解方法：不定積分法、分組湊微法、線積分法等。同時(shí)教育學(xué)生，解決問(wèn)題的方法往往不止一種，遇到困難時(shí)，可以多變換角度考慮問(wèn)題。假如方程不是恰當(dāng)方程，就需要想辦法轉(zhuǎn)化為恰當(dāng)方程，這時(shí)候就需要尋找方程的積分因子，而積分因子的尋找是十分困難的，一旦找到，方程兩端同時(shí)乘以積分因子，方程就可以轉(zhuǎn)化為恰當(dāng)方程，方程的解自然就迎刃而解。而積分因子就好比人生中的一座高峰，翻越之時(shí)困難重重，只要不斷嘗試堅(jiān)持不懈，一旦達(dá)到頂峰，就會(huì)瞬間豁然開(kāi)朗，柳暗花明。再比如第三章解對(duì)初值的連續(xù)可微性定理，這一章節(jié)內(nèi)容理論性過(guò)強(qiáng)，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)理解起來(lái)相對(duì)吃力，本身大部分學(xué)生對(duì)證明題都有與生俱來(lái)的恐懼感，而枯燥的推導(dǎo)過(guò)程更容易使學(xué)生心不在焉，這時(shí)可以采用幾何圖形形象的表示解對(duì)初值的連續(xù)依賴性定理，每一部分的證明對(duì)應(yīng)畫出相應(yīng)的幾何解釋，這樣學(xué)生更容易理解，達(dá)到事半功倍的效果，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的邏輯推理能力的同時(shí)也培養(yǎng)學(xué)生透過(guò)表象看本質(zhì)及抽象思維的能力，體現(xiàn)課程中蘊(yùn)涵的數(shù)形結(jié)合思想。

常微分方程課程教學(xué)內(nèi)容中的思政元素挖掘點(diǎn)見(jiàn)圖1。

圖1 常微分方程教學(xué)內(nèi)容中的思政元素

將思政理論與常微分方程課程內(nèi)容合二為一，活躍了課堂氛圍，給課堂教學(xué)充滿生機(jī)活力，使學(xué)生既學(xué)習(xí)了專業(yè)知識(shí)，又培養(yǎng)了學(xué)生透過(guò)表象看本質(zhì)、量變引起質(zhì)變等思維能力及由淺入深、由特殊到一般、由局部到整體等事物的一般規(guī)律，提升學(xué)生的文化素養(yǎng)、家國(guó)情懷和使命感，樹(shù)立正確的哲學(xué)觀和思想意識(shí)。

三、結(jié)束語(yǔ)

在課程思政的大環(huán)境下，常微分方程課程建設(shè)必須要保證知識(shí)傳授的前提下，潛移默化的實(shí)現(xiàn)課程的育人目標(biāo)。專業(yè)教師要努力做好專業(yè)課程內(nèi)容的思政設(shè)計(jì)，努力學(xué)習(xí)思想政治理論及了解馬克思主義觀點(diǎn)，也要努力尋找德育與課程融合的有效途徑，努力挖掘課程中的思政元素，才能更好的全員、全程、全方位育人。將常微分方程教學(xué)內(nèi)容與思政理論合二為一融為一體，不僅豐富課堂內(nèi)容，使學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容有更深入全面的掌握，知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系及背景有進(jìn)一步的了解，又可以接受思想政治教育，提升學(xué)生的個(gè)人素養(yǎng)、家國(guó)情懷和社會(huì)責(zé)任感，培養(yǎng)學(xué)生知行合一的品質(zhì)，實(shí)現(xiàn)德育與專業(yè)教育相統(tǒng)一。

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