劉久成

培養(yǎng)小學(xué)生的運(yùn)算能力是歷次課程改革不容回避的問題，重視發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力，是我國數(shù)學(xué)教學(xué)的特色所在。然而，從教材和教學(xué)的實(shí)際來看，認(rèn)數(shù)始終作為運(yùn)算的前提條件，不同數(shù)的認(rèn)識有不同的背景和獨(dú)特的方法。比如，整數(shù)（指自然數(shù)）強(qiáng)調(diào)計(jì)數(shù)，小數(shù)注重聯(lián)系現(xiàn)實(shí)生活，分?jǐn)?shù)強(qiáng)調(diào)等分事物。數(shù)的運(yùn)算也有各自的算理，對整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的算法也進(jìn)行了不同的歸納。總之，算理未能凸顯數(shù)的意義和本質(zhì)，算法之間也缺乏聯(lián)系。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》提出課程內(nèi)容要進(jìn)行結(jié)構(gòu)化整合，把“數(shù)的認(rèn)識”與“數(shù)的運(yùn)算”整合為“數(shù)與運(yùn)算”這一個(gè)主題，包括整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的認(rèn)識及其四則運(yùn)算。如此，溝通了數(shù)的概念與數(shù)的運(yùn)算之間的關(guān)聯(lián)，有助于學(xué)生從整體上理解數(shù)與運(yùn)算的知識和方法，感悟數(shù)與運(yùn)算之間的密切聯(lián)系，體會數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性，也將促進(jìn)學(xué)生數(shù)感、符號意識、運(yùn)算能力、推理意識等核心素養(yǎng)的提升。如何理解落實(shí)這一新的要求，引導(dǎo)學(xué)生對運(yùn)算一致性進(jìn)行探索，促進(jìn)學(xué)生加強(qiáng)知識間的相互聯(lián)系和對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識，從而使其形成更為整體而結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識呢？筆者認(rèn)為，可以從以下幾個(gè)方面著手展開探索。

一、數(shù)概念的一致性

數(shù)量來自對事物（事件、物體）量的表達(dá)，而數(shù)正是對數(shù)量抽象化的結(jié)果。小學(xué)生所認(rèn)識的數(shù)主要是整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)，這些都是對現(xiàn)實(shí)世界事物數(shù)量的抽象，對它們的認(rèn)識是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最重要的基礎(chǔ)。

數(shù)的形成經(jīng)歷了一個(gè)漫長的過程，從實(shí)物符號記數(shù)到象形符號記數(shù)，再到數(shù)字符號記數(shù)。記數(shù)方法也多種多樣，如采用加減法原則的羅馬數(shù)字記數(shù)制、采用位值原則的阿拉伯?dāng)?shù)字記數(shù)制等。采用位值原則的十進(jìn)制計(jì)數(shù)法由于只要1、2……9、0 十個(gè)數(shù)字以及計(jì)數(shù)單位就能表示任意大小的數(shù)而被普遍采用。可以說，十進(jìn)制計(jì)數(shù)法是數(shù)學(xué)史上無與倫比的光輝成就。從數(shù)的構(gòu)造來看，計(jì)數(shù)單位是構(gòu)造數(shù)的基礎(chǔ)，也是認(rèn)數(shù)的關(guān)鍵，有了計(jì)數(shù)單位，同一個(gè)數(shù)字出現(xiàn)在不同的數(shù)位上就表示不同大小的數(shù)。

認(rèn)識整數(shù)時(shí)，1～9 的認(rèn)識比較容易，10 的認(rèn)識就相對比較困難。9加1是十個(gè)1，十個(gè)1是1個(gè)“十”，1個(gè)“十”如何表示呢？用1來表示就會與1 個(gè)“一”相混淆，如果用太多符號表示也不方便，這時(shí)人們想到用“10”來表示。十位上的“1”表示1 個(gè)“十”，個(gè)位上的“0”表示沒有，是用來占位的。這樣，學(xué)生能感受到十進(jìn)制計(jì)數(shù)法的特點(diǎn)，認(rèn)識到位置值的重要性以及“0”占位的必要性。隨著認(rèn)數(shù)的擴(kuò)大，由一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)到十個(gè)十個(gè)地?cái)?shù)、百個(gè)百個(gè)地?cái)?shù)……學(xué)生感受到記數(shù)的過程就是計(jì)數(shù)單位的創(chuàng)造過程，計(jì)數(shù)單位的重要性也就凸顯出來了。

分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生來源于多方面的需要，分?jǐn)?shù)不僅可以比較大小，而且具有運(yùn)算功能。認(rèn)識分?jǐn)?shù)時(shí)，分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位（也就是分?jǐn)?shù)單位）同樣是表示分?jǐn)?shù)的關(guān)鍵。任何一個(gè)分?jǐn)?shù)都是若干個(gè)分?jǐn)?shù)單位的累加。分?jǐn)?shù)單位雖有大小之分，但不是十進(jìn)制，也沒有明確的倍數(shù)關(guān)系，教材和教學(xué)對此都強(qiáng)調(diào)不夠，以至于學(xué)生認(rèn)識不到分?jǐn)?shù)也有計(jì)數(shù)單位。

小數(shù)是基于十進(jìn)分?jǐn)?shù)定義的，具有十進(jìn)位制的特點(diǎn)，可以與整數(shù)一起構(gòu)成一個(gè)完整的位值制系統(tǒng)。每一個(gè)整數(shù)或小數(shù)的大小，不僅取決于表示它的數(shù)字符號，還取決于這些數(shù)字符號所在的位置值，即它的計(jì)數(shù)單位。

因此，計(jì)數(shù)單位是構(gòu)造數(shù)的共同基礎(chǔ)，整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)都可以看作計(jì)數(shù)單位的“組裝”，認(rèn)識數(shù)的核心在于認(rèn)識計(jì)數(shù)單位，計(jì)數(shù)單位的統(tǒng)領(lǐng)作用是數(shù)概念的一致性所在。

二、運(yùn)算意義的關(guān)聯(lián)性

數(shù)概念是運(yùn)算的基礎(chǔ)，通過運(yùn)算不僅能反映引進(jìn)數(shù)的價(jià)值，而且可以加深對數(shù)概念的理解。集合論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，自然數(shù)的四則運(yùn)算都可以基于集合的基數(shù)理論和序數(shù)理論進(jìn)行定義。

在基數(shù)理論中，自然數(shù)的加法的和是指兩個(gè)不相交的有限集合A、B的并集C的基數(shù)；自然數(shù)的減法的差是指一個(gè)有限集合A與其子集B的差集C的基數(shù)；自然數(shù)的加法與減法的結(jié)果都可以通過數(shù)數(shù)獲得，既可以數(shù)并集與差集中元素的個(gè)數(shù)，也可以在集合A的基數(shù)上繼續(xù)數(shù)出b個(gè)1 來，或者在集合A的基數(shù)上往回?cái)?shù)出b個(gè)1 來?！耙弧笔亲罨镜挠?jì)數(shù)單位，這一點(diǎn)小學(xué)生容易理解，小學(xué)數(shù)學(xué)教材中通常也是這樣幫助學(xué)生理解加減法意義的。

自然數(shù)的乘法同樣可以用集合的基數(shù)來定義。兩個(gè)有限集合A、B的基數(shù)分別是a、b，由A中取一個(gè)元素u，B中取一個(gè)元素v，組成一個(gè)有序數(shù)對（u、v），所有這樣的有序數(shù)對構(gòu)成的集合稱為A和B的笛卡爾乘積集合A×B（也叫直積集合A×B），其基數(shù)就是a與b的積。在小學(xué)數(shù)學(xué)教材里，乘法是用“同數(shù)連加”的方法來定義的，其實(shí)兩者可以統(tǒng)一起來。比如，3+3+3+3 按同數(shù)連加表示成3×4或4×3，也可以表示成每排有3個(gè)○，共4排，形象地表示成一個(gè)方陣，這就形成了笛卡爾乘積集合。

自然數(shù)的除法是指把有限集合C（基數(shù)c）恰好分成a個(gè)有相同基數(shù)b的子集B，記作c÷b=a。分成a個(gè)有相同基數(shù)b的子集，表明從c中連續(xù)減去a個(gè)b，所以除法又可以看作“同數(shù)連減”。小學(xué)數(shù)學(xué)教材中除法的引入通常結(jié)合分東西，“每份分得同樣多，可以分成幾份？”就運(yùn)用了除法的集合意義。這樣理解除法比較直觀，具有可操作性，也利于學(xué)生感受除法的實(shí)際價(jià)值。

數(shù)的運(yùn)算從更抽象的層面都可以看作集合A×A到A的對應(yīng)，也就是對于集合A×A中的序偶（a1，a2），集合A中都有唯一確定的元素a與之對應(yīng)，我們就說集合A上定義了一種運(yùn)算。這也反映了數(shù)的運(yùn)算在高階抽象層面上的一致性。小學(xué)數(shù)學(xué)中所說的運(yùn)算，是指定義在整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)集合上的運(yùn)算，包括加法、減法、乘法和除法四則運(yùn)算，也稱算術(shù)運(yùn)算。它們之間的關(guān)系可以通過下圖1 簡單加以表明?？梢?，減法和乘法是在加法的基礎(chǔ)上衍生出來的，除法既可以看作同數(shù)連減的簡便運(yùn)算，也可以看作乘法的逆運(yùn)算，所以，加法是其他三種運(yùn)算的基礎(chǔ)。

（圖1）

從集合的序數(shù)意義出發(fā)，也可以給出自然數(shù)四則運(yùn)算的定義。由于基數(shù)意義下的四則運(yùn)算相對直觀，易于理解，通常為小學(xué)數(shù)學(xué)教材所采用。

三、數(shù)與運(yùn)算的整體性

首先，我們必須看到數(shù)與運(yùn)算密切相關(guān)，數(shù)失去運(yùn)算也就沒有意義了。數(shù)的認(rèn)識包括數(shù)的表達(dá)與數(shù)的大小，整數(shù)、小數(shù)的表達(dá)有賴于記數(shù)符號和位值概念，任何一個(gè)整數(shù)或小數(shù)都是不同計(jì)數(shù)單位的數(shù)相加的結(jié)果，而每一個(gè)位置上的數(shù)又都是該數(shù)字值與其位置值的積，如個(gè)位上的3 是3×1 的積，十位上的3 是3×10 的積，百位上的3 是3×100 的積。因此，整數(shù)或小數(shù)的認(rèn)識離不開運(yùn)算。同樣，任何一個(gè)分?jǐn)?shù)也都可以看作由幾個(gè)分?jǐn)?shù)單位相加得到的，如是3個(gè)相加的結(jié)果，這可以通過圖形直觀來說明。數(shù)的大小也與運(yùn)算有關(guān)，如在自然數(shù)的認(rèn)識中，通過自然數(shù)的“直接后繼”（+1）得到后續(xù)自然數(shù)，這便在定義自然數(shù)時(shí)給出了自然數(shù)的加法。隨著認(rèn)數(shù)增大，出現(xiàn)更大的計(jì)數(shù)單位“十”“百”“千”“萬”等。不難看出，整數(shù)、小數(shù)的加減法本質(zhì)上是相同計(jì)數(shù)單位的數(shù)的累加與遞減；分?jǐn)?shù)相加減時(shí)，從分?jǐn)?shù)的意義出發(fā)，需要統(tǒng)一分?jǐn)?shù)單位。因此，無論是整數(shù)、小數(shù)還是分?jǐn)?shù)的認(rèn)識，都與運(yùn)算密不可分。

其次，數(shù)的認(rèn)識與運(yùn)算分別是陳述性知識與程序性知識。教育心理學(xué)研究表明，陳述性知識是學(xué)習(xí)程序性知識的前提條件，程序性知識的形成會促進(jìn)新的陳述性知識的掌握。因此，單純教學(xué)數(shù)的概念意義不大。有學(xué)者指出，只向?qū)W生傳授陳述性知識是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，必須把陳述性知識的教學(xué)與程序性知識的訓(xùn)練有機(jī)結(jié)合起來。［1］學(xué)習(xí)四則運(yùn)算必須通過理解算理達(dá)到掌握算法，而對算理的理解必須依據(jù)對數(shù)的意義和運(yùn)算意義的理解，就像整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)相加減，都要?dú)w結(jié)為相同計(jì)數(shù)單位（分?jǐn)?shù)單位）上的數(shù)相加減。讓學(xué)生從數(shù)的意義和計(jì)數(shù)單位的視角理解算理，建立起概念性知識和程序性知識的聯(lián)系，有助于他們形成整體性的知識結(jié)構(gòu)。

四、算理和算法的一致性

審視歷次教學(xué)大綱或課程標(biāo)準(zhǔn)，都強(qiáng)調(diào)算理、算法的重要性。算法是指在解相同類型的計(jì)算或問題的時(shí)候，按照一定的計(jì)算方法和步驟總能得到結(jié)果的程序。［2］算理則是指說明這種程序的合理性或理論依據(jù)。

在小學(xué)數(shù)學(xué)四則運(yùn)算中，整數(shù)加減法強(qiáng)調(diào)相同數(shù)位對齊，小數(shù)加減法強(qiáng)調(diào)小數(shù)點(diǎn)對齊，分?jǐn)?shù)加減法則強(qiáng)調(diào)分母相同才能直接相加減。其中，算法的一致性是明顯的，也就是要求相同計(jì)數(shù)單位的數(shù)才能直接相加減。其算理在于，整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算本質(zhì)上都是對計(jì)數(shù)單位進(jìn)行運(yùn)算，加減法表現(xiàn)為對計(jì)數(shù)單位的累加或遞減，由于乘法是“同數(shù)連加”，除法是“同數(shù)連減”，作為加減法的高級運(yùn)算，乘除法仍然可以看作對計(jì)數(shù)單位的累加或遞減，在算理上是一致的。從另一個(gè)角度來看，比如，整數(shù)乘法也可以通過將乘數(shù)拆分成不同計(jì)數(shù)單位的數(shù)的和，再依據(jù)運(yùn)算律進(jìn)行運(yùn)算，如24×3=（2×10+4×1）×（3×1）=（2×3）×（10×1）+（4×3）×（1×1）。也就是計(jì)數(shù)單位上的數(shù)與計(jì)數(shù)單位上的數(shù)相乘，計(jì)數(shù)單位與計(jì)數(shù)單位相乘，再把相同計(jì)數(shù)單位上的數(shù)合起來。這樣的橫式展示了整數(shù)乘法的算理，小數(shù)乘法、分?jǐn)?shù)乘法以及除法運(yùn)算的算理也可以類似說明。不過，如此說明需要以運(yùn)算律和有關(guān)運(yùn)算性質(zhì)為基礎(chǔ)，適合在中高年級的適當(dāng)階段或單元復(fù)習(xí)整理時(shí)進(jìn)行概括，這也是新課標(biāo)在第二、三學(xué)段的“教學(xué)提示”中提出要求的原因所在。

五、運(yùn)算規(guī)律的共通性

規(guī)律是指事物之間內(nèi)在的必然聯(lián)系。整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算有許多規(guī)律性知識，比如，加法交換律、結(jié)合律，乘法交換律、結(jié)合律、分配律，乘法運(yùn)算中積的變化規(guī)律，除法運(yùn)算的商不變性質(zhì)等，將它們加以聯(lián)系和貫通，有助于學(xué)生加深對運(yùn)算意義及運(yùn)算規(guī)律的本質(zhì)認(rèn)識，并進(jìn)行有效遷移。

比如，在整數(shù)運(yùn)算中總結(jié)出來的加法交換律、加法結(jié)合律、乘法交換律等，隨著數(shù)域的擴(kuò)大，常常直接拿來使用，一般不進(jìn)行說理或證明。其實(shí)這正是讓學(xué)生感受和理解算法一致性的素材。比如，整數(shù)乘法交換律對于分?jǐn)?shù)乘法而言同樣適用，我們可以結(jié)合圖形直觀稍作說明：，可以表示先分一個(gè)矩形的，再分其中的；也可以表示先分這個(gè)矩形的，再分其中的。由此可見，是相等的。對此，學(xué)生是不難理解的。

再如，商不變的性質(zhì)是在整數(shù)除法中總結(jié)出來的重要規(guī)律，不僅可以用于整數(shù)除法運(yùn)算的簡化，也適用于小數(shù)除法和分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算，在整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)除法中具有共通性，這一點(diǎn)不難理解。此外，商不變的性質(zhì)在除法、分?jǐn)?shù)、比中也具有共通性。我們知道，除法、分?jǐn)?shù)、比這三個(gè)概念的來源不同，除法是作為乘法的逆運(yùn)算引進(jìn)的，在已知積和一個(gè)因數(shù)時(shí)求另一個(gè)因數(shù)；分?jǐn)?shù)通常為了表示平均分時(shí)部分與整體的關(guān)系，或者說表示除法運(yùn)算的結(jié)果；比實(shí)際上是把兩個(gè)量進(jìn)行比較，以一個(gè)量去衡量另一個(gè)量，當(dāng)兩個(gè)量的順序調(diào)換時(shí)，就會得到另一個(gè)比。三者的概念有一定區(qū)別，但它們又聯(lián)系密切，可以從“測量”的角度加以統(tǒng)一。當(dāng)用一條較短的線段a去測量另一條較長的線段b時(shí)，如果測量三次剛好量盡，我們可以說：線段b的長與線段a的長的比是3∶1；用除法運(yùn)算來說就是線段b中包含有3 個(gè)線段a；用分?jǐn)?shù)來說就是線段b的長是3 份而線段a的長只占1 份，線段a的長是線段b的長的，或者說，線段b的長是線段a的長的。由于這三個(gè)概念可以表達(dá)同一件事，具有共通性，相應(yīng)地，除法的商不變性質(zhì)、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)、比的基本性質(zhì)也就可以統(tǒng)一起來。如果把分?jǐn)?shù)線和比號看作除號，那么分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)、比的基本性質(zhì)和除法的商不變性質(zhì)就是一致的。即除法中的被除數(shù)和除數(shù)，分?jǐn)?shù)中的分子和分母，比的前項(xiàng)和后項(xiàng)，都同時(shí)乘或除以一個(gè)相同的數(shù)（0 除外），其結(jié)果不變。這種一致性還體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中“變中不變”的思想，從運(yùn)動和變化中發(fā)現(xiàn)不變的因素，從看似不同的事物中尋找共同的特征，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方法。