馬艷波

（延邊州教育學(xué)院，吉林 延吉 133000）

隨著經(jīng)濟(jì)、科技的迅猛發(fā)展和社會(huì)生活的變化，教學(xué)改革也發(fā)生重大的變化。把提高學(xué)生綜合素質(zhì)、著力發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)作為育人目標(biāo)。教育的目的是培養(yǎng)全面而又個(gè)性的社會(huì)主義建設(shè)者和接班人，更多地強(qiáng)調(diào)“人”的全方位的發(fā)展。育人目標(biāo)的變化必然會(huì)使得學(xué)校、教師的教育方法發(fā)生變化，教師需要轉(zhuǎn)變教育觀念，改變教學(xué)方法，思考怎么教才能更好地達(dá)成育人目標(biāo)。應(yīng)運(yùn)而生出現(xiàn)了深度教學(xué)和深度學(xué)習(xí)。而學(xué)生的深度學(xué)習(xí)一定建立在教師的深度教學(xué)和引導(dǎo)之下，深度教學(xué)一定建立在教師的深度學(xué)習(xí)、深入研究的基礎(chǔ)之上。所以，教師要深刻理解并踐行深度學(xué)習(xí)。

深度學(xué)習(xí)是理解性、融入性的學(xué)習(xí)。學(xué)習(xí)者能夠批判性地將學(xué)習(xí)的新知識納入已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，并能將眾多的信息進(jìn)行比對，遇到新問題、新情境能將知識進(jìn)行遷移，作出決策和判斷。這種學(xué)習(xí)是深刻的，長久的，新知識與原有的知識融合，成為學(xué)習(xí)者知識體系的一部分，變成學(xué)習(xí)者的能力和用來解決問題的工具。與深度學(xué)習(xí)相對的淺層學(xué)習(xí)則是表象的記憶性學(xué)習(xí)。對于眾多的新的信息，學(xué)習(xí)者將他們作為孤立的，不相關(guān)的事實(shí)來記憶，不會(huì)歸類，不會(huì)查找與已有知識間的聯(lián)系。由于信息的孤立性，記憶起來就會(huì)感到多且雜，不能形成網(wǎng)，不成體系，不能運(yùn)用自如，正是由于這種情況，造成學(xué)習(xí)的表面性，記憶的短時(shí)性，不能對知識和信息的理解保持長期性，所以我們要進(jìn)行深度學(xué)習(xí)。

數(shù)學(xué)作為研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的基礎(chǔ)學(xué)科，它的抽象性，邏輯性對人的思維的培養(yǎng)、對思維靈活性的訓(xùn)練極其重要，具有不可替代的作用。正是數(shù)學(xué)學(xué)科的特殊性決定了數(shù)學(xué)的深度學(xué)習(xí)勢在必行。數(shù)學(xué)的抽象經(jīng)歷兩個(gè)階段：一是基于現(xiàn)實(shí)的抽象，二是基于邏輯的抽象?；诂F(xiàn)實(shí)的抽象有些有實(shí)際意義，有些并沒有實(shí)際意義，例如數(shù)字1、2、3，它本身沒有實(shí)際意義，但這些抽象出來的東西是存在的，它存在于人們的頭腦中，并被人們普遍認(rèn)識。正是由于這種抽象的存在，人們對現(xiàn)實(shí)世界的認(rèn)識才能從感性上升到理性，才可以在這些符號、概念的基礎(chǔ)上，進(jìn)行第二階段的抽象，將上一階段的抽象進(jìn)行邏輯化，將知識符號化、公理化、形式化，這個(gè)階段是從理性到理性的思維過程。我們高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是訓(xùn)練學(xué)生用學(xué)到的概念、定理、公理、數(shù)學(xué)語言（數(shù)學(xué)符號）來描述世界，學(xué)生需要記住并理解符號的意義，并用它們解決問題，這種學(xué)會(huì)并將之?dāng)U大延伸的學(xué)習(xí)，就是將知識內(nèi)化為能力的學(xué)習(xí)，就是深度學(xué)習(xí)。

數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)，不僅依賴數(shù)學(xué)知識，數(shù)學(xué)語言，還依賴數(shù)學(xué)的解題思想。教師要熟練掌握教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法，在教學(xué)的過程中逐步將這些知識、思想、方法教給學(xué)生，只有這樣才能使知識得以延續(xù)，學(xué)生的思維得到發(fā)展，這也是數(shù)學(xué)教師應(yīng)該具備的思維品質(zhì)。高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容很多，其核心內(nèi)容突出函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)這四條主線。這四條主線貫穿必修，選擇性必修和選修的整個(gè)教程。教師要深入研究每條主線的知識結(jié)構(gòu)，教學(xué)內(nèi)容以及通性通法。

為此，數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)必須在原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上依托教學(xué)內(nèi)容、學(xué)科思想與方法，對問題進(jìn)行深入思考和系統(tǒng)化整合。從內(nèi)容層面講，數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)是以建構(gòu)學(xué)科結(jié)構(gòu)體系為目的的學(xué)習(xí)，以學(xué)科知識為核心，思想方法為依托，整合、提煉學(xué)科本質(zhì)的學(xué)習(xí)；從思維層面講，數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)是以提升學(xué)習(xí)品質(zhì)為目的的學(xué)習(xí)，由具體的思想方法與策略過渡到一般性思維與策略的學(xué)習(xí)；從過程層面講，數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)是培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的學(xué)習(xí)，始終關(guān)注學(xué)生身心健康成長過程的學(xué)習(xí)。下面以幾個(gè)具體實(shí)例說明怎樣在教學(xué)中進(jìn)行深度學(xué)習(xí)。

一、多角度思考，注重知識間的橫向聯(lián)系，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

例1.正實(shí)數(shù)a,b滿足a+b=2，求a2+b2的最小值。

這個(gè)看似簡單的問題，它其實(shí)有多種求解方法，每一種求解方法都能很好地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。但由于思維的局限性，對于這道題，教師在教學(xué)過程中往往只采用代數(shù)方法進(jìn)行證明，對于幾何法和向量法用得很少，甚至有些教師根本就想不到用這些方法解決問題。為此，教師在教學(xué)過程中的引領(lǐng)地位是非常重要的，教師的思維高度、思考問題的廣度決定了他所教學(xué)生思維的高度與廣度。所以，教師不僅要全面理解教材、掌握教法，更要多學(xué)，多看，多想，對出現(xiàn)的問題一定要全方位，多角度考量，只有教師的思路開闊了，思維靈活了，才能將核心素養(yǎng)落到實(shí)處。

1.公式法

（1）基本不等式法

解析：因?yàn)榛静坏仁綄W(xué)生很熟悉，所以，對于本題，學(xué)生很容易想到用基本不等式去解。思考學(xué)過的內(nèi)容，建立a2+b2與a2+b2的關(guān)系式。

（2）柯西不等式法

解析：柯西不等式是常用的求解最值的公式，其特點(diǎn)是左右兩側(cè)都為二次式。方法非常簡單，只要學(xué)生掌握其形式特征，掌握等號成立的條件，類似填空一樣，把所求的內(nèi)容填上即可求得最值。

方法2：由(a2+b2)(1+1) ≥ (a+b)2可得。

2.函數(shù)法

解析：一般來說，最值問題大多是函數(shù)最值問題，很少有直接用公式可以求解的。所以，函數(shù)法是學(xué)生必須掌握的求解方法。函數(shù)只能有一個(gè)變量，從已知條件出發(fā)，思考將誰作為變量，將誰作為參數(shù)，問題轉(zhuǎn)化成含有一個(gè)變量的函數(shù)，用函數(shù)方法來求最值。

解：由a+b=2，可得b=2-a＞ 0所以a2+b2=a2+(2-a)2=2a2-4a+4=2(a-1)2+2可得。

3.幾何法

本題教師可以引導(dǎo)學(xué)生從橫向、縱向進(jìn)行深挖，從代數(shù)、幾何、向量法三個(gè)方向探究，分別應(yīng)用公式法、函數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法、幾何法、向量法求解，以此開闊學(xué)生的視野，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。通過講解，使學(xué)生對所學(xué)的知識有了更深的認(rèn)識，拉近了知識的橫向聯(lián)系，打開學(xué)生的解題的思維固式，活學(xué)活用，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，開闊解題思路，對學(xué)生的學(xué)習(xí)起到積極作用。當(dāng)然，這對教師的知識儲(chǔ)備和教學(xué)能力有較高的要求。

二、一題多解，縱向深挖學(xué)科知識，豐富學(xué)生的解題思路

例2.如圖1，四棱錐P-ABCD，底面ABCD 是正方形，PD⊥底面ABCD，PD=，AD=1，E、F 分別是AB、PC 的中點(diǎn)，求證：EF//平面PAD。

圖1

這道證明線面平行的問題很簡單，解題方法也有多種。學(xué)生更容易想到利用線線、線面、面面關(guān)系推理證明：一是利用線線平行證明線面平行；二是利用面面平行證明線面平行。這也是最常用的方法，是學(xué)生必須掌握的方法。而本題還可以用向量法和割補(bǔ)法，所以，教師應(yīng)該深入挖掘題目所給的條件，從中找到可利用的信息。

1.由線線平行推證線面平行

解析：題中給出線段的中點(diǎn)，學(xué)生很容易想到利用三角形中位線的性質(zhì)求解。本題的中位線的選取有兩種：一是在圖形內(nèi)部，根據(jù)已知條件，作出三角形中位線；二是在圖形外部作圖，將邊的一部分作為中位線，利用中位線的性質(zhì)推理證明。

方法1：（圖2）取PD 中點(diǎn)H，連接AH、FH易得四邊形AEFH 為平行四邊形。

（圖2）

方法2：（圖3）連接并延長CE，與DA 的延長線交于H，連接PH，只需證明A 為DH 中點(diǎn)即可；利用線線平行可得線面平行。

（圖3）

2.由面面平行推證線面平行

解析：利用面面平行推得線面平行也是常用的方法。本題的關(guān)鍵是找到EF 所在的平面。根據(jù)題中所給的條件，利用中點(diǎn)，找中位線，學(xué)生容易找到以下兩種平面，用兩相交直線平行于一個(gè)平面，則兩平面平行，進(jìn)而通過面面平行證明線面平行。

方法3：（圖4）取DC 中點(diǎn)H，利用中位線性質(zhì)可得面EFH//面PAD，由面面平行，證得線面平行。

（圖4）

方法4：（圖5）取PB 中點(diǎn)H，利用中位線性質(zhì)可得面EFH//面PAD，由面面平行，證得線面平行。

（圖5）

3.空間向量法和割補(bǔ)法

解析：由于交于一點(diǎn)的三條直線兩兩垂直，所以，考慮用向量法求解；也可以將圖形放到長方體中進(jìn)行討論。長方體作為特殊幾何體，對于長方體內(nèi)的線面，線線、面面或者成角問題，學(xué)生很熟悉。這樣做會(huì)使問題的難度降低，學(xué)生更容易得到結(jié)果。

方法5：建立空間坐標(biāo)系，只需證明EF 與面PAD 的法向量垂直即可。

方法6：將圖形放到長方體中求解。

教師還可以將問題擴(kuò)展開。

（3）若PD 不垂直于底面又怎么求解？

如此一來，隨著問題的變化，學(xué)生對這道題的研究越來越深入，學(xué)生的思維得到訓(xùn)練，知識掌握得更加扎實(shí)，對此類問題的解法有更系統(tǒng)的了解，以后遇到這類問題就有了大致的解題思路了。如此經(jīng)過長期的學(xué)習(xí)，學(xué)生的解題能力會(huì)得到大幅度的提升。

三、一題多變，培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)

例3.已知函數(shù)f(x)=2x-x-1，則不等式f(x) ＞ 0的解集是（ ）

解析：此類題不可能直接求解，本題重點(diǎn)是讓學(xué)生掌握一類問題的解法：數(shù)形結(jié)合法。數(shù)形結(jié)合法中，“數(shù)”與“形”都非常重要，它直接影響解題難度，“數(shù)”要簡單，“形”要易得。所以，函數(shù)的選擇很重要，一定是我們熟悉且圖像容易畫出來的函數(shù)，本題把它看成y=2x-1與y=-x；或者看成y=2x與y=-x+1的交點(diǎn)問題，通過圖像很容易得到結(jié)論。

教師提出問題：“能不能看成y=2x+x與y=1”的交點(diǎn)問題？為什么？以此引發(fā)學(xué)生探討，激發(fā)學(xué)生的探究欲望。

本題還可以進(jìn)行變式，變式本著由淺入深的原則，讓學(xué)生的思維螺旋式上升，以此來加深學(xué)生對知識的理解，提升學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)。

1.變成等式

變式1.討論函數(shù)f(x)=的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。

解析：在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)畫出y=和y=k圖像。本題變式后的難度在于指數(shù)函數(shù)的有界性，函數(shù)y=2x值域是(0,+∞)，所以，y=2x-1的值域是(-1,+∞)，故y=在x＜ 0部分圖像在x=0和x=1之間，且在x=1下方。移動(dòng)平行于x 軸的直線y=k，通過圖像觀察即可。

2.變換函數(shù)

變式2.若對任意的x，不等式e x-x-k＞ 0恒成立，求k 的取值范圍。

解析：類比上題，題目看起來難度大了很多，將2x換成ex，y=-x+1 換成y=x+k，比原來的題多了一個(gè)參數(shù)。但解法是一樣的，只需將題轉(zhuǎn)化為e x＞x+k，在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出y=ex和直線y=x,平移y=x，尋找y=ex與y=x+k 的切點(diǎn)。

3.變換角度

變式3.對于任意的x1、x2，求的最小值。

解析：這個(gè)問題難度更大，學(xué)生對此類問題如果沒有經(jīng)過訓(xùn)練，恐怕很難求解。一道題中出現(xiàn)兩個(gè)變量，如果用代數(shù)法去解，那么，誰為變量，誰為參數(shù)？所以，它不是學(xué)生常見的代數(shù)問題，通過觀察發(fā)現(xiàn)，它是根式形式，且根號下是平方形式，這類問題可以從兩點(diǎn)間距離的角度求解。哪兩個(gè)點(diǎn)？通過x1、x2的位置，找到兩個(gè)函數(shù)y=ex和y=x。本題看成y=ex上的點(diǎn)(x1,)到直線y=x的點(diǎn)(x2,x2)距離的最小值。問題就轉(zhuǎn)變?yōu)樽兪?了?？梢酝ㄟ^平移直線，找到切點(diǎn)，用距離公式求解即可。

一題多變，一題多解是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要手段，是實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維，落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要途徑。要想在教學(xué)過程中能更好地變式，教師要自己站得高，從總體上把握教材，了解教法，并不斷地學(xué)習(xí)、積累，探究，只有這樣才能使學(xué)生的思維得到長足發(fā)展。

總之，教育的目的是實(shí)現(xiàn)“人的發(fā)展”，實(shí)現(xiàn)人類歷史文化的傳承。教師在教學(xué)過程中要深入探討教學(xué)規(guī)律，研究學(xué)習(xí)規(guī)律，合理設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容，多方位，多角度思考問題，最大化地為學(xué)生的發(fā)展提供幫助，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性、激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用學(xué)科知識去解決問題，去理解世界，學(xué)以致用。與此同時(shí)，讓學(xué)生健康快樂地成長，獲得健全的人格和強(qiáng)健的體魄，成為符合新時(shí)代要求的社會(huì)主義建設(shè)者和接班人。