方帆,郝育新

(北京信息科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,北京 100192)

0 引言

雙穩(wěn)態(tài)層合殼結(jié)構(gòu)具有兩種平衡位置,每種穩(wěn)態(tài)都是自然平衡的,其結(jié)構(gòu)是由碳纖維增強(qiáng)材料和樹脂基體復(fù)合而成,根據(jù)每層纖維鋪設(shè)角度的不同,分為非對(duì)稱和反對(duì)稱等鋪設(shè)方式。由于熱膨脹系數(shù)不一致,復(fù)合材料層合板在固化過(guò)程中產(chǎn)生兩個(gè)柱形的平衡穩(wěn)態(tài)構(gòu)型和一個(gè)不穩(wěn)定的馬鞍形狀態(tài)。這種平衡構(gòu)型不需要外部能量輸入來(lái)維持其圓柱構(gòu)型,且只需較小的外部力就可以實(shí)現(xiàn)兩種構(gòu)型之間的相互跳變。因此,雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)已被應(yīng)用于自適應(yīng)結(jié)構(gòu)、可變形機(jī)翼、變體飛行器等變形部件的研究和制造[1-2]?；鸺w機(jī)機(jī)翼、葉輪機(jī)和渦輪發(fā)動(dòng)機(jī)葉片、潛艇船體等結(jié)構(gòu)通常被簡(jiǎn)化為曲邊固支模型的懸臂結(jié)構(gòu)。在復(fù)雜的應(yīng)用工作環(huán)境中,雙穩(wěn)態(tài)層合殼結(jié)構(gòu)不可避免地會(huì)受到外部載荷的沖擊,從而導(dǎo)致振動(dòng)的發(fā)生。因此,研究曲邊固支雙穩(wěn)態(tài)層合殼的振動(dòng)特性具有實(shí)際意義。

Hyer[3]率先研究了雙穩(wěn)態(tài)非對(duì)稱復(fù)合層板,發(fā)現(xiàn)其存在兩種近似圓柱態(tài)的穩(wěn)態(tài)構(gòu)型,且主曲率方向相互垂直。隨后,Daton-Lovett[4]發(fā)現(xiàn)反對(duì)稱復(fù)合材料層合板也具有雙穩(wěn)態(tài)特性,且存在兩種曲率方向相同的圓柱構(gòu)型。也有研究者采用有限元方法來(lái)模擬這兩種鋪設(shè)方式的穩(wěn)態(tài)構(gòu)型,所得結(jié)果與理論方法基本一致[5]。Swaminathan等[6]利用一階剪切變形理論研究了角鋪設(shè)反對(duì)稱復(fù)合材料層合板的自由振動(dòng)。翟彥春等[7]推導(dǎo)了復(fù)合材料夾芯開口圓柱殼的動(dòng)力學(xué)方程,并研究了開口角度對(duì)自由振動(dòng)的影響。Firouzian-Nejad等[8]利用高階形函數(shù)對(duì)雙穩(wěn)態(tài)正交復(fù)合材料層合板的固有頻率進(jìn)行了準(zhǔn)確的預(yù)測(cè),并對(duì)其振動(dòng)特性進(jìn)行了有限元分析。Emam[9]研究了鋪層為[90n/0n]的雙穩(wěn)態(tài)復(fù)合材料層合板的自由振動(dòng),在中點(diǎn)固支的情況下,計(jì)算了不同長(zhǎng)厚比對(duì)基頻的影響及其變化趨勢(shì)。Vogl和Hyer[10]考慮了方形層合板的線性振動(dòng)特性,主要研究了夾緊中點(diǎn)時(shí)的固有頻率和相關(guān)振型。Wu等[11]采用有限元以及理論和實(shí)驗(yàn)方法研究了四角點(diǎn)簡(jiǎn)支雙穩(wěn)態(tài)方殼的自由振動(dòng)。Zhang等[12]研究了邊界條件為中心點(diǎn)固支-四邊自由的非對(duì)稱雙穩(wěn)態(tài)殼的振動(dòng)特性,并獲得不同參數(shù)下的頻率和模態(tài)振型。

在具有懸臂邊界條件的雙穩(wěn)態(tài)層合殼結(jié)構(gòu)上,Arrieta等[13]提出了雙穩(wěn)態(tài)懸臂板的穩(wěn)定構(gòu)型,并開發(fā)了導(dǎo)致結(jié)構(gòu)快速跳變的模態(tài)頻率的變形策略。Pan等[14]對(duì)懸臂混雜鋪設(shè)對(duì)稱層合板的跳變行為進(jìn)行了研究。Brunetti等[15-16]研究了懸臂邊界條件的雙穩(wěn)態(tài)非對(duì)稱穩(wěn)定構(gòu)型的非線性動(dòng)力學(xué),并描述了包括規(guī)則動(dòng)力學(xué)、混沌動(dòng)力學(xué)和快速穿越運(yùn)動(dòng)在內(nèi)的全局動(dòng)力學(xué)。

本文基于一階剪切變形理論和殼理論,應(yīng)用瑞利-里茲法(Rayleigh-Ritz)和切比雪夫(Chebyshev)多項(xiàng)式,求解曲邊固支的非對(duì)稱和反對(duì)稱雙穩(wěn)態(tài)層合方殼的固有頻率和模態(tài)振型,并討論了不同尺寸大小和鋪層數(shù)量對(duì)其固有頻率的影響。

1 理論表述

1.1 力學(xué)模型

本文研究的一條曲邊固支,其他三條邊自由的非對(duì)稱和反對(duì)稱雙穩(wěn)態(tài)圓柱復(fù)合材料層合方殼模型及其幾何參數(shù)如圖1所示。

圖1 曲邊固支雙穩(wěn)態(tài)層合殼模型

其中,笛卡爾坐標(biāo)系(O-xyz)位于圓柱穩(wěn)態(tài)構(gòu)型的中面,且坐標(biāo)原點(diǎn)選在固支曲邊的中點(diǎn)。懸臂雙穩(wěn)態(tài)層合殼的總厚度為h,曲率半徑為R,長(zhǎng)和寬分別為L(zhǎng)x和Ly,對(duì)于方殼來(lái)說(shuō),Lx=Ly。圖2給出了雙穩(wěn)態(tài)非對(duì)稱和反對(duì)稱復(fù)合材料層合板的兩種鋪層方式。

圖2 復(fù)合材料層合板的鋪層方式

1.2 能量表述

考慮橫向剪切變形影響,使用一階剪切變形理論來(lái)表述懸臂雙穩(wěn)態(tài)層合殼內(nèi)任意點(diǎn)在x、y、z坐標(biāo)方向的位移分量:

(1)

式中:u0(x,y,t)、v0(x,y,t)、w0(x,y,t)為中面z=0上任意點(diǎn)在x、y、z坐標(biāo)方向上的位移分量;φx(x,y,t)和φy(x,y,t)為層合殼中面法線關(guān)于y軸和x軸的旋轉(zhuǎn)函數(shù)。

正交非對(duì)稱和反對(duì)稱鋪設(shè)的雙穩(wěn)態(tài)層合板穩(wěn)態(tài)構(gòu)型可以看作是殼模型。因此,采用殼體理論并只考慮應(yīng)變與位移之間的線性關(guān)系,第k層的應(yīng)變-位移關(guān)系為

(2)

式中:

考慮固化溫度的影響,第k層雙穩(wěn)態(tài)懸臂圓柱殼的本構(gòu)關(guān)系為

(3)

式中:σxx,σyy,τxy,τyz和τxz為應(yīng)力分量;ΔT為固化溫度差;熱膨脹轉(zhuǎn)換系數(shù)αxx,αyy和αxy可表達(dá)為以下的形式:

(4)

(5)

式中:S和C代表sinθ和cosθ,θ表示相對(duì)于坐標(biāo)系的復(fù)合材料單層板的纖維鋪設(shè)角度;剛度項(xiàng)Qij(i=1,2…,6;j=1,2…,6)為

Q66=G12,Q55=G13,Q44=G23

(6)

因此,每層雙穩(wěn)態(tài)懸臂層合殼的動(dòng)能可通過(guò)下面公式進(jìn)行計(jì)算:

(7)

雙穩(wěn)態(tài)層合殼應(yīng)變能計(jì)算公式為

(8)

式中:N為總鋪層數(shù)量。值得注意的是,該式的應(yīng)力項(xiàng)已經(jīng)包含了熱應(yīng)力影響項(xiàng),因此考慮了固化溫度差對(duì)殼體的影響。

1.3 固有頻率和振型的求解

為了求解懸臂雙穩(wěn)態(tài)層合殼的振動(dòng)固有頻率和模態(tài),采用瑞利-里茲法和切比雪夫多項(xiàng)式。瑞利-里茲法是研究雙穩(wěn)態(tài)固有振動(dòng)特性的一種常用且經(jīng)典的方法。使用切比雪夫多項(xiàng)式優(yōu)點(diǎn)是可以減小龍格現(xiàn)象,并提供最佳的均勻近似。系統(tǒng)的位移和旋轉(zhuǎn)位移可表示為

(9)

式中:U(x,y),V(x,y),W(x,y),Φx(x,y)和Φy(x,y)為各位移分量的模態(tài)振型函數(shù);ω為系統(tǒng)固有振動(dòng)頻率。由于坐標(biāo)原點(diǎn)選取在固支曲邊的中點(diǎn),為了在整個(gè)層合殼區(qū)域保證切比雪夫多項(xiàng)式的正交性,需進(jìn)行坐標(biāo)變換,即ξ=2x/Lx-1,η=2y/Ly。

模態(tài)振型函數(shù)以雙求和級(jí)數(shù)形式表示,即在兩個(gè)方向上用切比雪夫展開式乘以相應(yīng)的邊界函數(shù)值。展開形式如下:

(10)

式中:Umn,Vmn,Wmn,Φxmn和Φymn為多項(xiàng)式待定系數(shù);Tδm和Tδn(δ=u,v,w,Φx,Φy)為多項(xiàng)式表示的位移項(xiàng),即兩個(gè)方向上邊界函數(shù)值乘以m階和n階的切比雪夫展開式,其具體表達(dá)式為

Tδm(ξ)=fδ(ξ)pm(ξ),Tδn(η)=gδ(η)pn(η)

(11)

式中:fδ(ξ)和gδ(η)為邊界函數(shù)值,可由每條邊的邊界條件進(jìn)行選取,相應(yīng)的值如表1所示;pm(ξ)和pn(η)均為切比雪夫多項(xiàng)式遞推關(guān)系式,表達(dá)式為

(12)

其中M和N為切比雪夫多項(xiàng)式的階數(shù)。

表1 不同邊界條件對(duì)應(yīng)的邊界函數(shù)值

將式(9)代入到式(7)和(8),可獲得系統(tǒng)的最大動(dòng)能和勢(shì)能。懸臂雙穩(wěn)態(tài)層合殼的能量函數(shù)表達(dá)式為

Π=Umax-Kmax

(13)

利用瑞利-里茲法,令能量函數(shù)對(duì)系數(shù)Umn、Vmn、Wmn、Φxmn和Φymn的偏導(dǎo)數(shù)為零,可以求解特征值問(wèn)題,即

(14)

式(14)可以整理為以下形式

(S-ω2D)P=0

(15)

式中:S和D分別為剛度和質(zhì)量矩陣;P為各階頻率對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式待定系數(shù)向量,其表達(dá)式可寫為

(16)

將線性振動(dòng)方程的系數(shù)矩陣設(shè)為零,可計(jì)算出雙穩(wěn)態(tài)懸臂層合殼的廣義特征值,即固有頻率,將其代入式(15)中,可確定相應(yīng)的模態(tài)。

2 穩(wěn)態(tài)構(gòu)型

首先使用有限元軟件ABAQUS來(lái)獲得非對(duì)稱和反對(duì)稱層合板的穩(wěn)態(tài)構(gòu)型,假設(shè)層合板材料為CFRP環(huán)氧樹脂Gr.-Ep (T300/934)[17],材料特性參數(shù)如表2所示。表中:E1、E2為材料的彈性模量;v12、v13、v23為泊松比;G12、G23、G13為剪切模量;ρ為材料密度;ΔT為高溫固化溫度差;α1、α2和α3為材料的熱膨脹系數(shù);tply為材料每層的厚度。

表2 材料Gr.-Ep (T300/934)特性參數(shù)

在建立有限元模型時(shí),采用四節(jié)點(diǎn)S4R殼體單元類型,并考慮幾何非線性和固化溫差的影響。層壓板的初始溫度設(shè)為170 ℃,固化后降至室溫20 ℃。對(duì)于方形層合板,固化后形成的兩個(gè)柱形構(gòu)型經(jīng)過(guò)一定角度的旋轉(zhuǎn)會(huì)重合,即其曲率大小相同。因此,本文只研究上穩(wěn)態(tài)構(gòu)型的振動(dòng)特性。

此外,采用有限元法研究了4層非對(duì)稱和反對(duì)稱層合殼的半徑收斂性和網(wǎng)格密度對(duì)半徑的影響,如表3所示。從表3可以看出,當(dāng)網(wǎng)格密度為50×50時(shí),曲率半徑趨于一致和收斂。因此,在模擬雙穩(wěn)態(tài)構(gòu)型時(shí),采用50×50的網(wǎng)格密度來(lái)確定曲率半徑,以滿足可接受的精度。表4為有限元計(jì)算得到的雙穩(wěn)態(tài)懸臂層合殼的半徑,計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[18]采用的殼理論計(jì)算出的半徑進(jìn)行了比較。從表中可以看出,所有的誤差都在可接受的范圍內(nèi)。

表3 四層非對(duì)稱和反對(duì)稱層合殼半徑隨網(wǎng)格密度收斂性

表4 不同尺寸四層非對(duì)稱層合殼曲率和半徑對(duì)比

3 對(duì)比驗(yàn)證及結(jié)果分析

3.1 對(duì)比驗(yàn)證

為了證實(shí)理論方法的正確性和可靠性,通過(guò)兩組算例與已有文獻(xiàn)[19-22]以及有限元分析結(jié)果進(jìn)行了比較。

算例2：以具有完全自由邊界條件的各向同性圓柱殼為研究對(duì)象,材料特性為:E=210 GPa,ν=0.3,ρ=7 800 kg/m3;幾何參數(shù)為:R=2 m,θ=45°,L=3 m,h=0.01 m。與文獻(xiàn)[22]采用的切比雪夫-里茲法計(jì)算結(jié)果以及有限元結(jié)果進(jìn)行了比較,表6列出了對(duì)比結(jié)果的前8階頻率。

表5 四層開口圓柱殼的前6階無(wú)量綱頻率對(duì)比

表6 自由邊界條件下圓柱殼的前8階固有頻率對(duì)比

從表5和表6可以看出,采用本文的理論方法計(jì)算出來(lái)的結(jié)果與文獻(xiàn)具有良好的一致性,表明該理論方法可以用來(lái)求解系統(tǒng)的自由振動(dòng)頻率。

3.2 固有頻率和振型

表7給出了一條彎曲邊被固支,其他邊自由的非對(duì)稱和反對(duì)稱鋪層雙穩(wěn)態(tài)層合方殼的前6階頻率。懸臂雙穩(wěn)態(tài)層合殼尺寸大小分別為0.3 m×0.3 m、0.35 m×0.35 m和0.4 m×0.4 m,鋪層數(shù)量有4、6和8層。在數(shù)值計(jì)算中我們發(fā)現(xiàn),選取切比雪夫多項(xiàng)式為9階時(shí),結(jié)果基本上收斂為一致。表8為理論方法與有限元法得到的8層反對(duì)稱懸臂層合殼的前6階模態(tài)對(duì)比。從曲邊固支層合殼的模態(tài)和頻率的對(duì)比情況可以看出,理論計(jì)算方法與有限元法較為吻合。

表7 不同尺寸和鋪層順序的懸臂雙穩(wěn)態(tài)層合方殼的前6階固有頻率理論值與有限元結(jié)果對(duì)比

3.3 幾何參數(shù)對(duì)固有頻率的影響

雙穩(wěn)態(tài)層合殼的尺寸大小和鋪層數(shù)量都會(huì)對(duì)固有頻率大小產(chǎn)生影響,本文研究了非對(duì)稱和反對(duì)稱雙穩(wěn)態(tài)曲邊固支層合殼在不同尺寸大小和鋪層數(shù)量增加情況下的固有振動(dòng)特性。使用表2中的材料參數(shù),分別計(jì)算出鋪層數(shù)量為4、6和8層,尺寸大小為0.3 m×0.3 m、0.35 m×0.35 m和0.4 m×0.4 m的非對(duì)稱和反對(duì)稱懸臂層合殼的固有頻率,結(jié)果如圖3、4所示。

圖3 4,6和8層雙穩(wěn)態(tài)非對(duì)稱曲邊固支層合殼的前6階頻率

圖4 4,6和8層雙穩(wěn)態(tài)反對(duì)稱曲邊固支層合殼的前6階頻率

從圖3、4可以看出:同鋪層類型的層合殼,固有頻率隨著層合板尺寸的增加而減小;隨著鋪層數(shù)量的增加,非對(duì)稱層合殼固有頻率增大,而反對(duì)稱層合殼固有頻率減小。特別值得注意的是,對(duì)于曲線邊固支的雙穩(wěn)態(tài)層合殼,非對(duì)稱鋪設(shè)層合殼的固有頻率大于反對(duì)稱層合殼的固有頻率。

表9展示了尺寸大小為0.3 m×0.3 m的不同鋪層數(shù)量下非對(duì)稱和反對(duì)稱雙穩(wěn)態(tài)曲邊固支層合殼前6階模態(tài)。從表9可以看出,曲邊固支的雙穩(wěn)態(tài)層合殼,不論非對(duì)稱還是反對(duì)稱,無(wú)論是彎曲振動(dòng)還是扭轉(zhuǎn)振動(dòng),其振動(dòng)主要沿夾緊邊方向發(fā)生。

表9 不同鋪層順序下雙穩(wěn)態(tài)曲邊固支層合殼的前6階模態(tài)

4 結(jié)束語(yǔ)

本文以一條曲邊固支,其余三邊自由為邊界條件,對(duì)非對(duì)稱和反對(duì)稱雙穩(wěn)態(tài)復(fù)合材料層合殼的固有振動(dòng)特性進(jìn)行了研究?？紤]幾何非線性和固化溫度差的影響,基于一階剪切變形理論、最小勢(shì)能原理和切比雪夫多項(xiàng)式研究了曲邊固支非對(duì)稱和反對(duì)稱雙穩(wěn)態(tài)復(fù)合材料層合殼的頻率和模態(tài)。

首先通過(guò)有限元方法獲得雙穩(wěn)態(tài)層合殼的穩(wěn)態(tài)構(gòu)型,并與已有文獻(xiàn)進(jìn)行對(duì)比;然后將本文理論方法和有限元法以及已有文獻(xiàn)進(jìn)行了對(duì)比驗(yàn)證,并且給出了不同尺寸大小和鋪層數(shù)量的非對(duì)稱和反對(duì)稱曲邊固支層合殼的頻率和模態(tài);最后討論了幾何參數(shù)對(duì)曲邊固支雙穩(wěn)態(tài)層合殼固有頻率的影響。

結(jié)果表明:與直線邊固支的模態(tài)振型為所有的彎曲振動(dòng)沿自由邊方向發(fā)生,而扭轉(zhuǎn)振動(dòng)沿固支邊方向發(fā)生相反,對(duì)于曲邊固支的雙穩(wěn)態(tài)層合殼來(lái)說(shuō),非對(duì)稱鋪設(shè)層合殼的固有頻率大于反對(duì)稱層合殼的固有頻率,且無(wú)論是彎曲振動(dòng)還是扭轉(zhuǎn)振動(dòng),其振動(dòng)主要沿夾緊固支邊的方向發(fā)生。