陳聯(lián)盟,李澤斌,章 禾,劉毅杰,周一一,董石麟

(1. 溫州大學(xué) 建筑工程學(xué)院,浙江 溫州 325035; 2. 常州工學(xué)院 土木與建筑學(xué)院,江蘇 常州 213002;3. 浙江大學(xué) 空間結(jié)構(gòu)研究中心,浙江 杭州 310027)

0 引言

索穹頂結(jié)構(gòu)是一類基于Fuller整體張拉思想、由拉索和壓桿為基本單元、通過張拉成形的自平衡柔性空間結(jié)構(gòu)。由于能充分利用拉索的高強性,且能通過施加和優(yōu)化預(yù)應(yīng)力分布來提供和優(yōu)化結(jié)構(gòu)剛度,故該類結(jié)構(gòu)具有跨度大、構(gòu)造輕盈、形態(tài)優(yōu)美、經(jīng)濟性能卓越等諸多優(yōu)點,在實際工程中得到廣泛應(yīng)用,目前主要包括Geiger型和Levy型兩類索穹頂結(jié)構(gòu)類型。然而實際工程中,Geiger型索穹頂結(jié)構(gòu)由于索桁架平面外剛度較弱,且結(jié)構(gòu)冗余度低,在不對稱荷載作用下容易失穩(wěn)[1];Levy型索穹頂結(jié)構(gòu)對施工誤差敏感,使得結(jié)構(gòu)實際狀態(tài)與理想狀態(tài)存在一定偏差,進而影響結(jié)構(gòu)承載性能[2-3]。另外隨著社會的不斷發(fā)展,以索穹頂結(jié)構(gòu)為代表的索桿張力結(jié)構(gòu)在各種極端環(huán)境條件下各種倒塌情況時有發(fā)生。1978年美國Hartford公民中心體育館的屋蓋結(jié)構(gòu)以及2010年美國明尼蘇達Minnesota Vikings 索膜結(jié)構(gòu)體育館均因暴風(fēng)雪極端天氣發(fā)生整體倒塌事故。因此,為保證該類結(jié)構(gòu)在各種荷載條件下具有足夠的安全性、耐久性和適用性,需通過合理設(shè)計保證其具有足夠的可靠性。

可靠度是反映結(jié)構(gòu)可靠性的指標(biāo),其思想可以追溯至19世紀初,當(dāng)時常使用基于實際經(jīng)驗的安全系數(shù)來確保結(jié)構(gòu)的正常工作[4],其本質(zhì)上是對實際工程中各種不確定因素的綜合估計。到了20世紀初,工程界基本確立了使用概率論反映客觀存在的隨機變量,并以此度量結(jié)構(gòu)可靠度的研究路線。MAYER[5]首次系統(tǒng)闡述了使用概率論分析結(jié)構(gòu)可靠度的思路。隨后FREADENTBAL[6]、LIND[7]等學(xué)者進一步發(fā)展了結(jié)構(gòu)可靠性理論并進入實用階段。趙國藩[8]較早地采用數(shù)理統(tǒng)計的方法研究了荷載、材料強度的概率分布及基于可靠度理論的結(jié)構(gòu)極限狀態(tài)設(shè)計方法。因此,基于可靠度的結(jié)構(gòu)性能分析理論以及在此基礎(chǔ)上構(gòu)建的工程設(shè)計方法是目前非常基本又非常重要的分析方法[9-10]。

當(dāng)前索穹頂結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計一般集中在4個層面,即預(yù)應(yīng)力優(yōu)化[11-12]、截面優(yōu)化[13]、形狀優(yōu)化[13-14]及拓撲優(yōu)化[14-15],其中截面優(yōu)化、形狀優(yōu)化及拓撲優(yōu)化設(shè)計多圍繞著結(jié)構(gòu)質(zhì)量最輕這一優(yōu)化目標(biāo)展開。實際上,索穹頂結(jié)構(gòu)的自重本身就較輕,用鋼量一般不到30 kg/m2,對其進一步進行質(zhì)量優(yōu)化意義不大;另一方面,隨著社會的不斷發(fā)展,面對更為復(fù)雜的結(jié)構(gòu)形式、更為極端的氣候條件,對于索穹頂結(jié)構(gòu)自身的各項性能必然有著更為嚴格的要求。因此,開展基于結(jié)構(gòu)性能(如可靠性)的優(yōu)化設(shè)計,對于索穹頂結(jié)構(gòu)的進一步推廣應(yīng)用具有較強的理論研究和工程應(yīng)用價值。

文中從可靠性角度出發(fā),首先提出基于索穹頂結(jié)構(gòu)非線性特性的結(jié)構(gòu)可靠度量化評價指標(biāo),結(jié)合Geiger型索穹頂結(jié)構(gòu)模型,分析構(gòu)件截面積對結(jié)構(gòu)可靠度的影響規(guī)律;然后使用遺傳算法,在不增加結(jié)構(gòu)質(zhì)量的前提下開展基于結(jié)構(gòu)可靠性的截面優(yōu)化設(shè)計;在此基礎(chǔ)上,基于提高結(jié)構(gòu)冗余度的優(yōu)化理念,進一步提出一種布索優(yōu)化方案以提高結(jié)構(gòu)整體可靠性;最后再次使用遺傳算法,對布索優(yōu)化方案下的索穹頂結(jié)構(gòu)進行截面優(yōu)化設(shè)計,尋求最優(yōu)的結(jié)構(gòu)形式和材料分布,因此文中的研究具有較高的理論研究和工程應(yīng)用價值。

1 索穹頂結(jié)構(gòu)可靠性分析方法

1.1 索桿體系可靠度計算方法

工程中常采用可靠性框圖法來描述系統(tǒng)可靠性。分析時,首先根據(jù)Maxwell準(zhǔn)則,判斷結(jié)構(gòu)是串聯(lián)系統(tǒng)、并聯(lián)系統(tǒng)還是同時具有串聯(lián)和并聯(lián)系統(tǒng)。如果拆除任意桿件均會引起結(jié)構(gòu)變成可變體系,則該體系為串聯(lián)系統(tǒng),此時結(jié)構(gòu)整體可靠度為:

(1)

式中,pi為第i根桿件的可靠度。如果只要有一個單元正常工作,整個系統(tǒng)便能正常工作,則該系統(tǒng)為并聯(lián)系統(tǒng),此時結(jié)構(gòu)整體可靠度為:

(2)

式中,Xf,i為第i個單元的失效概率。如果結(jié)構(gòu)中既有串聯(lián)系統(tǒng)又有并聯(lián)系統(tǒng),即表決系統(tǒng),則在由n個單元組成的系統(tǒng)中,只有當(dāng)至少k個單元正常工作時,整個系統(tǒng)才能正常工作,此時結(jié)構(gòu)可靠度為:

(3)

式中,Xj為第j個單元正常工作的概率。

1.2 索穹頂結(jié)構(gòu)桿件可靠度計算方法

文中主要基于一次二階矩理論中的中心點法來計算桿件可靠度,即:

pi=Φ(βi)

(4)

式中:函數(shù)Φ(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù);βi為單根桿件的可靠指標(biāo),其計算方法為:

(5)

式中:μr,i、μs,i分別為第i根桿件強度與應(yīng)力的平均值;σr,i、σs,i分別為第i根桿件強度與應(yīng)力的標(biāo)準(zhǔn)差。μr,i的取值可以參考《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范》中的相關(guān)規(guī)定,μs,i值可通過讀取各桿件的應(yīng)力值再對其求平均值得到。σr,i采用式(6)求得,

σr,i=cv×μr,i

(6)

式中,cv為變異系數(shù),文中荷載、拉索類桿件強度及壓桿類桿件強度的變異系數(shù)分別取0.074、0.08和0.047[16]。另外,雖然荷載服從正態(tài)分布,但由于索穹頂結(jié)構(gòu)為非線性結(jié)構(gòu),故σs,i與us,i之間的關(guān)系無法直接通過簡單的線性關(guān)系式得出,需使用以下方法計算σs,i值。

假定結(jié)構(gòu)實際承受荷載F(t)為常規(guī)設(shè)計荷載值P與荷載干擾值w(t)之和,即:

F(t)=P+w(t)

(7)

式中,干擾值w(t)服從 (0,σp)的正態(tài)分布,則F(t)服從(P,σp)的正態(tài)分布。根據(jù)概率論中的“3σ”法則:盡管真實荷載的取值區(qū)間為(-∞,+∞),但在區(qū)間(P-3σp,P+3σp)發(fā)生干擾的概率達99.74%。因此,在施加干擾值時,可以近似的將干擾值限定在(-3σp,+3σp)之內(nèi)。進一步將荷載干擾值的區(qū)間分為m段(為方便計算,m一般取偶數(shù),文中取100),由于其關(guān)于y軸對稱,故以下只討論區(qū)間(-3σp,0)上的情況。

取每個區(qū)間上的中點值近似表示該區(qū)間上的荷載干擾值大小,則第k個區(qū)間為(3σp·(k-1)/(m/2),3σp·k/(m/2),該區(qū)間上的荷載干擾值大小為3σp·(2k-1)/m, 0

(8)

對該區(qū)間上的概率密度函數(shù)積分作為第k個區(qū)間的權(quán)重系數(shù)Q(k),

(9)

則σs應(yīng)力標(biāo)準(zhǔn)差的計算公式為:

(10)

式中:uk,i為干擾值發(fā)生在第k個區(qū)間上時,第i根桿件的應(yīng)力大小;當(dāng)干擾值發(fā)生在區(qū)間(0,+3σp)上時,σs,i的計算原理與上述完全相同,這里不再贅述。

2 索穹頂結(jié)構(gòu)可靠性分析

結(jié)合Geiger型索穹頂結(jié)構(gòu)案例,分析結(jié)構(gòu)可靠度及桿件截面對結(jié)構(gòu)可靠性能的影響規(guī)律。結(jié)構(gòu)跨度71.2 m,矢高5.5 m,環(huán)向16等分。結(jié)構(gòu)設(shè)置一道環(huán)索,中心設(shè)置拉力環(huán)。結(jié)構(gòu)支座為固定鉸支座,設(shè)計荷載0.4 kN/m2。結(jié)構(gòu)剖面圖如圖1所示,構(gòu)件材料參數(shù)以及初始預(yù)應(yīng)力[17]如表1所示。拉索和壓桿彈模分別為160、206 GPa。

圖1 結(jié)構(gòu)剖面尺寸Fig. 1 Structure section and dimensions

模型包含144根桿件,分為外脊索、內(nèi)脊索、外斜索、內(nèi)斜索、外壓桿、內(nèi)壓桿、外環(huán)索、內(nèi)下環(huán)索、內(nèi)上環(huán)索共9個子系統(tǒng)。其中,內(nèi)下環(huán)索與內(nèi)上環(huán)索同屬于內(nèi)環(huán)索類桿件,為簡化方便起見,文中分析時兩者的截面積均保持一致,統(tǒng)稱內(nèi)環(huán)索。

分別計算各類型桿件在不同截面積(0.8、1.0、1.2、1.5倍初始截面)時結(jié)構(gòu)整體可靠度,結(jié)果如表2所示,可見:1)外脊索、內(nèi)脊索、外斜索、內(nèi)斜索、外壓桿、內(nèi)壓桿、外環(huán)索、內(nèi)環(huán)索8類桿件截面由初始大小增大到1.5倍截面積時,結(jié)構(gòu)整體的可靠度分別提高了13.88%、7.33%、0.52%、12.16%、-0.28%、-0.03%、-8.39%、0.06%,負值表示減小,表明不同桿件的截面變化對結(jié)構(gòu)整體可靠度產(chǎn)生不同的影響。2)增大脊索類與斜索類桿件截面時,結(jié)構(gòu)整體可靠度總體上會增大。3)而增大壓桿類與外環(huán)索截面積時,會使結(jié)構(gòu)整體可靠度減小,原因是對于壓桿來說,其在初始截面時桿件可靠度已達上限1,增大壓桿截面將增加結(jié)構(gòu)整體質(zhì)量,增大其余桿件的工作負擔(dān),進而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)整體可靠度下降;對于外環(huán)索來說,雖然增大截面積可以提高構(gòu)件可靠度,但是由于外環(huán)索的桿件長度較長、截面較大,故增大其截面將會使結(jié)構(gòu)增加較多質(zhì)量,使得其它桿件的可靠度出現(xiàn)不同程度的減小,從而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)整體可靠度減小。

3 截面優(yōu)化設(shè)計

3.1 優(yōu)化算法

基于前文分析的各類桿件截面面積變化對于結(jié)構(gòu)可靠度具有不同的影響規(guī)律,本節(jié)進一步對上述Geiger型索穹頂進行基于結(jié)構(gòu)可靠性的截面優(yōu)化設(shè)計。在優(yōu)化分析中,直接基于ANSYS軟件中的零階和一階優(yōu)化算法適用于線性結(jié)構(gòu),而對于非線性結(jié)構(gòu)其準(zhǔn)確性會大大降低,而遺傳優(yōu)化算法采用生物仿生進化原理,具有與問題領(lǐng)域無關(guān)的全局搜索能力,且計算準(zhǔn)確度高,故文中采用遺傳算法對結(jié)構(gòu)進行截面優(yōu)化分析與設(shè)計,基本思路為:

1)使用Matlab編寫遺傳算法主程序,設(shè)置初始參數(shù),確定優(yōu)化目標(biāo)并選擇優(yōu)化變量,限定優(yōu)化變量的取值范圍,并采用二進制編碼生成初始種群。文中,種群大小設(shè)為15,字符串長度設(shè)為32,交叉概率為0.8,變異概率為0.2,進化迭代次數(shù)設(shè)為300次。

2)將生成的種群導(dǎo)入有限元分析軟件ANSYS,建模并計算種群內(nèi)所有個體的適應(yīng)度值,即結(jié)構(gòu)可靠度。計算得到的適應(yīng)度值個數(shù)應(yīng)與種群內(nèi)個體數(shù)相等。

3)將ANSYS計算結(jié)果導(dǎo)入Matlab,對適應(yīng)度值按最大值進行排序,提取初始種群中的最佳個體,并對其進行復(fù)制、交叉和變異,以此進行循環(huán)迭代計算,直至迭代次數(shù)達到設(shè)定值。

優(yōu)化的具體過程如圖2所示。

圖2 遺傳算法優(yōu)化流程示意圖Fig. 2 Schematic diagram of genetic algorithm optimization process

3.2 優(yōu)化模型

文中探索結(jié)構(gòu)總質(zhì)量不增加前提下,通過優(yōu)化桿件截面和材料分布,使得結(jié)構(gòu)整體可靠度盡可能大,即探索Psys值最大,優(yōu)化目標(biāo)為maxPsys。各類桿件截面大小變化范圍為初始截面值的0.8～1.2倍,且荷載作用下應(yīng)力不能超過屈服點。其數(shù)學(xué)優(yōu)化模型可表示為:

(11)

3.3 優(yōu)化結(jié)果

截面優(yōu)化迭代過程如圖3所示,優(yōu)化結(jié)果如表3所示,可見,1)優(yōu)化迭代到170次后基本達到穩(wěn)定,優(yōu)化后整體可靠度由0.728 123提高到0.891 355,優(yōu)化率達22.4%。2)外脊索、內(nèi)脊索、外斜索、內(nèi)斜索及外環(huán)索桿件面積分別增大了1.35%、9.33%、1.33%、11.99%和6.70%,內(nèi)壓桿、外壓桿及內(nèi)環(huán)索桿件面積分別減小20.0%、17.36%和1.34%,該變化現(xiàn)象總體上與前面參數(shù)分析時各類桿件截面變化對于結(jié)構(gòu)可靠度的影響規(guī)律相一致。3)文中同時計算分析了結(jié)構(gòu)質(zhì)量不約束時截面優(yōu)化設(shè)計后結(jié)構(gòu)整體可靠度為0.998 795,優(yōu)化率達37.2%,即優(yōu)化過程中無質(zhì)量約束可進一步提高結(jié)構(gòu)可靠度。

圖3 截面優(yōu)化迭代過程Fig. 3 Iterative process of cross section optimization

表3 截面優(yōu)化前后不同桿件截面積及可靠度Table 3 Different bar cross-sectional area and reliability before and after section optimization

4 布索方案優(yōu)化設(shè)計

通過分析可以發(fā)現(xiàn),該Geiger型索穹頂結(jié)構(gòu)整體冗余度較低,各個子系統(tǒng)及子系統(tǒng)內(nèi)的桿件均以串聯(lián)的邏輯聯(lián)結(jié)在一起,以至于結(jié)構(gòu)中微小的損傷會較大程度地影響整體可靠度,因此,文中以改變子系統(tǒng)內(nèi)桿件的邏輯聯(lián)系、提高整個結(jié)構(gòu)的冗余度為布索方案優(yōu)化設(shè)計出發(fā)點,將原結(jié)構(gòu)外圈徑向布置的外脊索和外斜索布置方式調(diào)整為Levy型,桿件面積為原桿件面積0.6倍,形成內(nèi)圈Geiger-外圈Levy型的復(fù)合型索穹頂。優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)模型如圖4所示。

可以發(fā)現(xiàn),外脊索與外斜索的桿件數(shù)均由16根增加到了32根。根據(jù)Maxwell準(zhǔn)則,該結(jié)構(gòu)的冗余度r=b+k-3j=176+3×16-3×64=32,與優(yōu)化前的模型比較,其冗余度大幅提高。重新計算布索方案優(yōu)化后各類桿件的可靠度及結(jié)構(gòu)整體可靠度,計算結(jié)果見表4,可見:1)對結(jié)構(gòu)布索優(yōu)化方案進行調(diào)整后,結(jié)構(gòu)整體可靠度由0.728 123提高至0.862 487,優(yōu)化率達18.5%。2)對布索優(yōu)化方案進行調(diào)整后,結(jié)構(gòu)整體自重略微增加,雖然大部分桿件的可靠度并無明顯的變化,但由于結(jié)構(gòu)整體冗余度大幅提高,各子系統(tǒng)內(nèi)部聯(lián)結(jié)邏輯也發(fā)生了改變,以至于結(jié)構(gòu)整體的可靠度明顯提高,因此該方案是一種可行、有效的優(yōu)化方案。3)作者同時研究了其他提高結(jié)構(gòu)冗余度的布索優(yōu)化方案,發(fā)現(xiàn)同樣可有效提高結(jié)構(gòu)可靠度。

5 布索-截面綜合優(yōu)化設(shè)計

5.1 優(yōu)化模型

(12)

5.2 優(yōu)化結(jié)果

優(yōu)化迭代過程如圖5所示,優(yōu)化結(jié)果如表5所示,可見,1)優(yōu)化迭代到180次后基本達到穩(wěn)定,截面優(yōu)化后結(jié)構(gòu)整體可靠度由0.862 487進一步提高至0.997 676,優(yōu)化率達15.7%。2)優(yōu)化后,外斜索和壓桿類桿件截面減小,其余各類桿件截面積均增大。其中,外壓桿和內(nèi)壓桿的截面變化最大,均達到桿件截面變化臨界值-20%;其次為內(nèi)斜索、內(nèi)脊索、內(nèi)環(huán)索和外斜索,分別為17.3%、12.0%、12.0%和-12.0%;外脊索和外環(huán)索的截面變化最小,分別為6.7%和9.4%。3)文中同時計算分析了優(yōu)化過程中不控制結(jié)構(gòu)質(zhì)量時優(yōu)化后結(jié)構(gòu)整體可靠度為0.999 630,優(yōu)化率為15.9%。

圖5 質(zhì)量約束布索-截面綜合優(yōu)化迭代過程Fig. 5 Iterative process of mass constraint cable-cross section synthesis optimization

表5 質(zhì)量約束布索-截面綜合優(yōu)化前后不同桿件截面積及可靠度Table 5 Different cross sectional areas and reliability of bars before and after mass constrained cable-section optimization

6 結(jié)語

文中針對索穹頂結(jié)構(gòu)缺乏有效的基于結(jié)構(gòu)性能優(yōu)化設(shè)計理論現(xiàn)狀,以可靠度理論為基礎(chǔ),提出了基于一次二階矩理論中心點法的索穹頂結(jié)構(gòu)非線性可靠度分析方法,并結(jié)合Geiger型索穹頂模型開展了結(jié)構(gòu)可靠度分析、截面優(yōu)化設(shè)計、布索優(yōu)化設(shè)計及布索-截面綜合優(yōu)化設(shè)計等,得出如下結(jié)論:

1)不同類型桿件截面面積的變化,導(dǎo)致結(jié)構(gòu)整體可靠度呈現(xiàn)出不同的變化趨勢;

2)控制結(jié)構(gòu)質(zhì)量不增加前提下,索穹頂結(jié)構(gòu)截面優(yōu)化后,結(jié)構(gòu)可靠度由0.728 123提高到0.891 355,優(yōu)化率為22.4%;

3)布索方案優(yōu)化使結(jié)構(gòu)可靠度由0.728 123提高至0.862 487,優(yōu)化率為18.5%;

4)控制結(jié)構(gòu)質(zhì)量不增加前提下,對索穹頂結(jié)構(gòu)進行布索-截面綜合優(yōu)化,結(jié)構(gòu)整體可靠度由0.862 487進一步提高至0.997 676,優(yōu)化率為15.7%,因此開展合理的截面優(yōu)化和布索優(yōu)化設(shè)計可有效提高結(jié)構(gòu)整體可靠度。

綜上,文中基于可靠性的分析、評價及優(yōu)化設(shè)計理論具有一定的理論研究和工程應(yīng)用價值。