宮會元，宋艾平

(63850部隊，吉林 白城 137001)

0 引言

子彈藥散布均勻性是子母彈重要的性能,是子母彈鑒定、驗收等試驗中必須考核驗證的指標?，F(xiàn)有子彈藥地面散布均勻性評價方法主要有兩種:一種是對散布區(qū)域分區(qū)并對各分區(qū)內(nèi)落點數(shù)量分布應(yīng)用統(tǒng)計方法進行檢驗;另一種是將落點按坐標方向分解,并按一維坐標分別檢驗均勻性。這些算法存在以下缺點:1)分組區(qū)間的劃分方法主觀性強,其合理性對檢驗結(jié)果有很大影響,降低了評價結(jié)果的可信度;2)只適用于樣本數(shù)量足夠大的情況;3)對不規(guī)則邊界區(qū)域適應(yīng)性差;4)忽略了分組區(qū)間內(nèi)部均勻性等,制約了實際的應(yīng)用。針對上述問題,文中引入Delaunay三角形剖分法,對子彈藥落點散布均勻性進行研究,以解決現(xiàn)有方法的諸多缺點。

1 Delaunay三角剖分

三角剖分(triangulation)是計算幾何領(lǐng)域中最主要的內(nèi)容,是數(shù)值分析(有限元等)、信息可視化、計算機圖形學等領(lǐng)域一項極為重要的預(yù)處理技術(shù)。Delaunay三角剖分由俄國數(shù)學家B.Delaunay于1934年提出,它是Voronoi 圖的集合對偶圖,具有嚴格的數(shù)學定義和完備的理論基礎(chǔ)。Delaunay三角網(wǎng)因其具有優(yōu)良的幾何特性,如空外圓性質(zhì)、最小角最大的性質(zhì)等,是公認的最優(yōu)三角網(wǎng)[1-2], 應(yīng)用領(lǐng)域極為廣泛,如:GIS、計算機仿真、地質(zhì)學、計算機圖形學及虛擬現(xiàn)實等。

1.1 Voronoi 圖

定義1[1]:令d(x,Pi)表示x到Pi的歐式距離,則點Pi的鄰域Vi定義為:

Vi={x∈Rn|d(x,Pi)

(1)

式中:Rn為n維歐氏空間;i=1,2,…,n;j=1,2,…,n。

對于二維空間,Voronoi圖如圖1所示,圖中陰影區(qū)域內(nèi)的任意點到P2的距離近于到其他點Pi(i≠2)的距離,V1,V2,V3,V4,V5,V6確定的六邊形稱為P2的鄰域,其邊界對應(yīng)于點P2的Voronoi多邊形,它是由Pi與相鄰點連線的垂直平分線圍成的。二維Voronoi圖是平面點集所有點的鄰域多邊形的并集。Voronoi多邊形的數(shù)學期望為6[3]

圖1 Voronoi圖Fig.1 Voronoi ketch chart

1.2 Delaunay 三角剖分

定義2[1]:U為Ed空間的有限點集,點集U的Delaunay三角化定義為滿足以下條件的單純形單元復(fù)形D(U)[4]:

1)復(fù)形D(U)的0-單純形組成的集合(即D(U)的所有頂點的集合)是U的子集。

2)復(fù)形的底空間是點集U的凸包C(U)。

3)任意一個d-單純形ΔT∈D(U),|T|=k+1,滿足:任意q∈U-T,q在ΔT的外接球外。

Delaunay三角剖分與Voronoi圖為對偶圖,Voronoi邊(限有限長線段)的中垂線就是Delaunay邊。如圖2所示,虛線為Voronoi圖,實線為Delaunay三角部分。

圖2 Voronoi 圖和Delaunay 三角剖分Fig.2 Voronoi ketch chart and Delaunay triangulation

2 均勻性檢驗方法

單發(fā)子母彈的子彈藥落點集合為P,其對應(yīng)的二維區(qū)域為子彈藥的落點散布區(qū)域。對散布區(qū)域進行Voronoi劃分后,確定集合P中所有落點間的鄰近關(guān)系,如圖1中P2的鄰近點為P1,P3,P4,P5,P6,P7。繼續(xù)對點集P進行Delaunay三角剖分,剖分后的所有Delaunay邊長構(gòu)成的集合X,即為所有落點與其鄰近點的距離的集合,其散布可以表征點集P在散布區(qū)域內(nèi)分布的均勻性。

根據(jù)Delaunay三角剖分性質(zhì),一個點集的Delaunay三角剖分唯一確定,可以避免原有檢驗方法中對區(qū)域劃分的主觀性對結(jié)果帶來的影響,提高了檢驗結(jié)果的可信性。且每個相鄰點的距離均計入統(tǒng)計,能實現(xiàn)對全區(qū)域內(nèi)的分布均勻性進行檢驗,杜絕了檢驗盲區(qū)。同時,該方法對樣本數(shù)量無要求、對不規(guī)則邊界區(qū)域適應(yīng)性好。

以變異系數(shù)作為衡量各觀測值離散程度的統(tǒng)計量,具有無量綱特性,不受計量單位和均值大小的影響,因此對于衡量不同彈藥種類的相鄰子彈間距離散布情況具有普適性。

若相鄰子彈間距為x={x1,x2,…,xn},變異系數(shù)[2]Cv的表達式為:

(2)

其中:

(3)

(4)

2.1 檢驗?zāi)Ｐ?/h3>

根據(jù)以上分析,建立均勻性檢驗步驟如圖3所示。

圖3 均勻性檢驗步驟Fig.3 Uniformity inspection steps

2.2 均勻性檢驗的算法實現(xiàn)

目前主流的Delaunay三角形剖分算法[5-9]有貪心算法、漸進插入算法、Tsung-pao Fang和Les.pieg算法,其中貪心算法的時間復(fù)雜度較高、漸進插入算法復(fù)雜度適中但對有約束情況適應(yīng)性較差,Tsung-pao Fang和Les.pieg算法復(fù)雜度最低,但算法容易出現(xiàn)退化。因為子母彈外圍區(qū)域處理方法采用凸多邊形法,外圍約束符合Delaunay剖分特點,因此選用計算復(fù)雜度較小的漸進插入算法。則均勻性檢驗算法步驟為:

1)輸入m枚子彈坐標點集P,P={Pk|k=1,…,m};2)定義一個包含點集P的超三角形,把它作為初始Delaunay三角;3)將點集內(nèi)一個未處理點Pk插入已有的Delaunay三角網(wǎng)內(nèi);4)在三角網(wǎng)中找出包含Pk的三角形,把Pk與這個三角形的3個頂點相連,生成3個新的三角形;5)應(yīng)用Lawson提出的局部優(yōu)化算法,向外更新該步之前生成的所有三角形;6)重復(fù)步驟3)～5),直到所有的點都被插入;7)刪掉包含超三角頂點的所有三角形,完成三角形剖分;8)逐條計算Delaunay邊長;9)計算變異系數(shù)及其散布;10)給定置信水平,判定子彈散布是否均勻。

3 變異系數(shù)的仿真分析和閾值確定

3.1 變異系數(shù)理論分析

若集合L內(nèi)Delaunay邊長均相等,即L1=L2=…=Lk,意味著此點集P的元素在分布區(qū)域內(nèi)服從絕對的均勻分布,此時每3個相鄰的落點均構(gòu)成正三角形,此時變異系數(shù)Cv=0。

構(gòu)造一組分布較為極端的數(shù)據(jù),分布范圍為100 m×80 m,子彈落點數(shù)量nm=90。所有數(shù)據(jù)分成3部分,每30個落點集中在一起,范圍小于1 m×1 m,經(jīng)計算,此時Cv=1.745。

由此可知,實際Cv值的變化范圍為0～1.745。

3.2 仿真分析

設(shè)子彈落點散布半徑為r,構(gòu)造1 000組符合二維均勻分布的數(shù)據(jù),分別取r,nm的組合為[40,28],[200,28],[200,200],[40,500], 基本覆蓋常見子母彈數(shù)據(jù)范圍,采用2.2方法對數(shù)據(jù)進行檢驗,得到各種條件下下對應(yīng)的變異系數(shù)Cv值,結(jié)果如圖5所示。經(jīng)大量仿真結(jié)果顯示,其均值對r,n不敏感,標準差隨子彈數(shù)量增加有減小趨勢。一般均勻分布條件下變異系數(shù)Cv均值約為0.567。

3.3 均勻性檢驗閾值

變異系數(shù)服從正態(tài)分布,即Cv～N(0.567,S2),且變異系數(shù)越小均勻性越好,若Cv≤Cv0,其中Cv0為閾值,則分布均勻。為進行均勻性檢驗作假設(shè):

原假設(shè):Cv>Cv0,備擇假設(shè):Cv≤Cv0

4 試驗應(yīng)用

以坐標觀測值為例,進行試驗驗證,典型計算Delaunay剖分結(jié)果如圖4所示,給定顯著性水平α=0.1,計算得Cv0=0.494,可判定當Cv=0.49時分布較均勻,當Cv=0.80時分布不均勻。

圖4 子母彈典型Delaunay三角形剖分圖Fig.4 Typical Delaunay triangulation of a certain type of submunition

由Delaunay三角形剖分圖可見,變異系數(shù)隨散布均勻性而單調(diào)變化,其值偏小時子彈散布相對均勻,偏大時存在局部聚集、散布區(qū)域內(nèi)存在盲區(qū)的情況,根據(jù)變異系數(shù)能夠直觀判定均勻性。

5 結(jié)論

基于Delaunay算法的子彈均勻性檢驗算法能夠滿足均勻性檢驗的唯一性、全局性、普適性要求,對子彈數(shù)量不敏感,避免了原有方法的不足,具有良好的可操作性。