張曉亮，張曉彤，劉福壽，孫加亮，文浩，金棟平

（1.南京航空航天大學(xué) 航空航天結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制全國(guó)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 210016；2.上海衛(wèi)星工程研究所，上海 201109；3.南京林業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院，江蘇 南京 210037）

0 引言

為提高運(yùn)載火箭利用率和運(yùn)載效率，一箭多星發(fā)射技術(shù)得到國(guó)際宇航界的廣泛關(guān)注，其中多星分離成為一箭多星發(fā)射之關(guān)鍵技術(shù)［1-4］。相比于單星發(fā)射，一箭多星在技術(shù)方案和分離程序上均有很多不同之處。研究一箭多星在軌分離策略，以及在分離過程中如何避免衛(wèi)星之間的干擾和碰撞，顯得尤為重要。為保障衛(wèi)星能夠在軌順利分離，需要在地面開展相關(guān)的分離試驗(yàn)及動(dòng)態(tài)模擬。

在一箭多星衛(wèi)星在軌分離地面試驗(yàn)軟硬件方面，韓非等［5］設(shè)計(jì)由氣浮零重力平臺(tái)、衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)模擬器和地面測(cè)量系統(tǒng)等組成的航天器在軌分離運(yùn)動(dòng)與控制地面模擬試驗(yàn)系統(tǒng)；HUANG等［6］詳細(xì)介紹了適用于衛(wèi)星地面分離實(shí)驗(yàn)的氣浮實(shí)驗(yàn)臺(tái)的硬件、軟件結(jié)構(gòu)。上述工作雖然為衛(wèi)星分離地面實(shí)驗(yàn)奠定了良好軟硬件的基礎(chǔ)，但是設(shè)計(jì)衛(wèi)星與其支撐結(jié)構(gòu)為一體，無法拆卸。由于沒有衛(wèi)星的支撐結(jié)構(gòu)，因此如果需要更換衛(wèi)星，則需要重新進(jìn)行仿真器的設(shè)計(jì)。

關(guān)于衛(wèi)星分離動(dòng)力學(xué)仿真建模方法，通常采用ADAMS 等軟件進(jìn)行建模分析［7-9］，部分學(xué)者采用姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方法進(jìn)行分離動(dòng)力學(xué)分析。如蔣超等［10］采用歐拉四元素表示衛(wèi)星分離前后的姿態(tài)，并結(jié)合動(dòng)量定理和角動(dòng)量定理進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模。沈曉鳳等［11］、滕來等［12］、張華等［13］均采用歐拉角描述衛(wèi)星姿態(tài)，在計(jì)算小數(shù)量的衛(wèi)星分離仿真時(shí)，使用歐拉四元素或者歐拉角表述衛(wèi)星分離前后的姿態(tài)比較直觀，但是隨著衛(wèi)星數(shù)量增加，在描述衛(wèi)星分離姿態(tài)時(shí)，要想在同一慣性系下描述所有的衛(wèi)星，則牽扯到較多的坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換計(jì)算，衛(wèi)星之間解鎖分離的約束方程變化不夠直觀。采用自然坐標(biāo)描述衛(wèi)星分離運(yùn)動(dòng)，自然坐標(biāo)法能夠在同一慣性系下描述所有的衛(wèi)星，并可以得到表達(dá)形式簡(jiǎn)潔的系統(tǒng)約束方程［14］。衛(wèi)星分離裝置和分離策略也是衛(wèi)星分離的重要研究?jī)?nèi)容。衛(wèi)星之間連接分離裝置可分為火工裝置和非火工裝置2 種類型［15］。其中，火工裝置主要包括爆炸螺栓、火工鎖、火工推桿等［16-18］?；鸸ぱb置作用時(shí)間短，同步性高，但是其安全性差，不能夠重復(fù)使用。非火工裝置包括彈簧、橡膠、電磁驅(qū)動(dòng)等［19-22］。非火攻裝置沖擊載荷小，不會(huì)造成環(huán)境污染，安全性更高［23-25］?？紤]到空間安全性及減少分離后空間碎片對(duì)衛(wèi)星之干擾，本文采用衛(wèi)星表面附著橡膠夾層的方式完成衛(wèi)星分離，并且設(shè)置初始自旋角速度［26］，以增加衛(wèi)星分離的速度。

本文針對(duì)帶有預(yù)緊力和柔性橡膠夾層的衛(wèi)星旋轉(zhuǎn)分離問題，研究了地面分離試驗(yàn)方案設(shè)計(jì)及支撐衛(wèi)星的工裝結(jié)構(gòu)。建立了基于自然坐標(biāo)法的分離過程動(dòng)力學(xué)模型，繼而對(duì)不帶工裝和帶有工裝的衛(wèi)星分離過程進(jìn)行了動(dòng)態(tài)仿真分析，使得試驗(yàn)方案的合理性獲得了良好的評(píng)價(jià)?；谧匀蛔鴺?biāo)法建模，為在軌分離參數(shù)，如分離力、初始分離速度、衛(wèi)星是否連接工裝結(jié)構(gòu)等對(duì)衛(wèi)星分離過程的動(dòng)態(tài)影響提供了分析手段。

1 分離動(dòng)力學(xué)建模

1.1 分離策略設(shè)計(jì)

衛(wèi)星模型簡(jiǎn)化為長(zhǎng)方體，衛(wèi)星α、β之間附著有橡膠層，旨在為2 顆衛(wèi)星的分離提供分離力，如圖1所示。分離前通過固定裝置將2 顆衛(wèi)星壓緊在一起，并給予衛(wèi)星一定的自旋角速度；分離時(shí)固定裝置解鎖，衛(wèi)星通過自旋和橡膠的彈性分離力實(shí)現(xiàn)分離。

圖1 衛(wèi)星與橡膠組裝Fig.1 Schematic diagram of satellites with rubber sandwich

將實(shí)驗(yàn)工裝簡(jiǎn)化為托盤形狀，如圖2 所示。實(shí)驗(yàn)工裝的作用是在地面試驗(yàn)時(shí)為衛(wèi)星提供支撐，能夠方便更換底面相同但衛(wèi)星形狀質(zhì)量不同的多類衛(wèi)星，同時(shí)減小衛(wèi)星和地面實(shí)驗(yàn)平臺(tái)之間的摩擦力。

圖2 單個(gè)衛(wèi)星和工裝結(jié)構(gòu)Fig.2 One satellite and its tooling structure

1.2 自然坐標(biāo)法建模

采用自然坐標(biāo)法表述2 顆衛(wèi)星的位置和姿態(tài)，相比于傳統(tǒng)的歐拉角表述剛體位姿，自然坐標(biāo)法采用完全笛卡爾坐標(biāo)，系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)較為簡(jiǎn)單。此外，容易分析衛(wèi)星分離系統(tǒng)的約束和自由度，便于寫出約束方程以及約束方程的雅克比矩陣，進(jìn)而能夠提高仿真計(jì)算效率。

由于只研究衛(wèi)星的分離策略，因此可以將衛(wèi)星簡(jiǎn)化為剛體，其外形為長(zhǎng)方體。設(shè)2 顆衛(wèi)星分別為剛體α和剛體β，2 顆衛(wèi)星的大小形狀均相同。

自然坐標(biāo)法的廣義坐標(biāo)為剛體上的2 個(gè)固定點(diǎn)，以及2 個(gè)不共面的單位向量，如圖3 所示。其中，O-XYZ表示慣性坐標(biāo)系，A-?αηα ξα為固定在衛(wèi)星α上的局部坐標(biāo)系，單位向量uα與Aηα軸平行，單位向量vα與A?α軸平行。

圖3 衛(wèi)星α 的廣義坐標(biāo)Fig.3 Generalized coordinates of Satellite α

衛(wèi)星α的廣義坐標(biāo)為

如果已知位于衛(wèi)星α上的任意一點(diǎn)P在坐標(biāo)系A(chǔ)-?αηα ξα中的位置矢量為rˉ，則其在慣性坐標(biāo)系O-XYZ中的位置矢量為

式中：I3為3 階單位矩陣；c1、c2、c3為局部坐標(biāo)系中的i、j點(diǎn)的位置以及單位向量uα、vα的函數(shù)，即

同理，衛(wèi)星β的廣義坐標(biāo)為

式中：rβi、rβj分別為固定在衛(wèi)星β上的i、j點(diǎn)在慣性系下的位置矢量；uβ、vβ分別為固定在衛(wèi)星β上的2個(gè)方向向量。

1.3 約束分析

單個(gè)剛體在空間中共有6 個(gè)自由度，使用自然坐標(biāo)法描述的廣義坐標(biāo)含有12 個(gè)自由度，因此固有約束為6 個(gè)。以衛(wèi)星α為例，設(shè)其廣義坐標(biāo)qα中的元素為(q1，q2，…，q12)，衛(wèi)星β的廣義坐標(biāo)qβ的分量分別為(q13，q14，…，q24)，根據(jù)廣義坐標(biāo)的定義，約束方程為

式中：‖ · ‖2為向量的模；第1 式為i、j兩點(diǎn)之間的距離約束；第2、3 式為向量uα、vα的長(zhǎng)度，為1；第4、5、6式為向量rαi-rαj與向量uα、向量vα三者互相正交。

衛(wèi)星α與衛(wèi)星β的初始位置如圖4 所示。

圖4 衛(wèi)星α 與衛(wèi)星β 的局部坐標(biāo)Fig.4 Local coordinates of Satellites α and β

根據(jù)圖4，當(dāng)衛(wèi)星α與衛(wèi)星β固連在一起時(shí)，固定約束可以令衛(wèi)星α上的一個(gè)點(diǎn)與衛(wèi)星β上的點(diǎn)重合。取該點(diǎn)為固連在衛(wèi)星β上的局部坐標(biāo)系B-?βηβ ξβ的原點(diǎn)B，B點(diǎn)在局部坐標(biāo)系B-?βηβ ξβ上的坐標(biāo)為(0，0，0)，則根據(jù)式（2），B點(diǎn)在全局坐標(biāo)系下的位置矢量為

式中：03為3 階零矩陣。

點(diǎn)B在局部坐標(biāo)系A(chǔ)-?αηα ξα中的坐標(biāo)為(0，0，lAB)，其中l(wèi)AB為A、B兩點(diǎn)之間的距離。同樣根據(jù)式（2）可以得到用廣義坐標(biāo)qα表示的B點(diǎn)在全局坐標(biāo)系下的位置矢量為

根據(jù)式（6）和式（7），衛(wèi)星α與衛(wèi)星β之間的固定約束為

將上述約束寫成分量形式，則有

由于向量rαi-rαj與向量uβ、向量vβ互相正交，向量uα與向量vβ正交，故存在3個(gè)方向的約束方程，即

同樣，可將上述方程寫成坐標(biāo)分量的形式，即

根據(jù)以上分析可知，當(dāng)衛(wèi)星α和衛(wèi)星β固連在一起時(shí)，一共有18 個(gè)約束方程，分別是衛(wèi)星α的固有約束、衛(wèi)星β的固有約束以及式（9）和式（11）所表示的兩個(gè)衛(wèi)星相連的固定約束。而當(dāng)衛(wèi)星解鎖后，即2 顆衛(wèi)星不在固連在一起，此時(shí)的約束方程則僅含有衛(wèi)星α、β的固有約束，共12 個(gè)約束方程。

1.4 動(dòng)力學(xué)模型

分析完分離前后系統(tǒng)的約束方程之后，結(jié)合自然坐標(biāo)法的廣義坐標(biāo)可以得到系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為［26］

式中：M為系統(tǒng)的廣義質(zhì)量矩陣；q¨、q為系統(tǒng)的廣義加速度和廣義坐標(biāo)；Φ(q，t)、Φq為系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)約束方程及其對(duì)廣義坐標(biāo)的雅可比矩陣，包括剛體之間的固有約束、與剛體對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置矢量之間的約束以及對(duì)接完成時(shí)的位置約束；λ為拉氏乘子列陣；F(q) 為由橡膠彈性分離力引起的廣義力。

本文采用廣義α算法［27］求解式（12）表示的系統(tǒng)約束微分方程。根據(jù)虛功原理，可以得到系統(tǒng)的廣義質(zhì)量矩陣

式中：ρ0為衛(wèi)星的密度；V為衛(wèi)星體積。

2 地面分離動(dòng)態(tài)仿真分析

2.1 不帶工裝情形

設(shè)單個(gè)衛(wèi)星長(zhǎng)、寬、高分別為0.3、3.0、1.5m，質(zhì)量為180kg。根據(jù)圖3建立局部坐標(biāo)系A(chǔ)-?αηα ξα。考慮到衛(wèi)星內(nèi)部存在很多零部件以及任務(wù)載荷，衛(wèi)星并非均質(zhì)，故衛(wèi)星質(zhì)心不位于長(zhǎng)方體中心。假設(shè)質(zhì)心位置為（1.6，-0.22，0.14）。根據(jù)其質(zhì)心位置可以計(jì)算出衛(wèi)星的質(zhì)量慣性矩陣E1為

實(shí)驗(yàn)衛(wèi)星分離分為兩個(gè)階段。第1 階段，從初始時(shí)刻到3 s 時(shí)，2 顆衛(wèi)星固定連接在一起，同時(shí)2顆衛(wèi)星繞衛(wèi)星中心以0.03 rad/s 的角速度旋轉(zhuǎn)，角速度矢量方向?yàn)閅軸正方向。此時(shí)2 顆衛(wèi)星之間放置橡膠，橡膠產(chǎn)生650 N 的預(yù)緊力加在衛(wèi)星的質(zhì)心上。3 s 后撤去橡膠的預(yù)緊力，此時(shí)2 顆衛(wèi)星分離解鎖。

根據(jù)上述自然坐標(biāo)法建模編寫程序，其中衛(wèi)星在不同時(shí)刻的分離過程如圖5 所示?？梢钥闯觯谇? s 的時(shí)間內(nèi)，衛(wèi)星α和衛(wèi)星β始終是一個(gè)整體，而在3 s 之后，由于衛(wèi)星之間的固定裝置解鎖以及橡膠彈力的作用，衛(wèi)星α和衛(wèi)星β之間的間距越來越大，整個(gè)仿真過程并沒有出現(xiàn)碰撞現(xiàn)象，表明所設(shè)計(jì)的衛(wèi)星分離策略可行。

圖5 不考慮工裝時(shí)的衛(wèi)星分離狀態(tài)Fig.5 Satellite separation configurations at different moments without tooling structure

由于地面試驗(yàn)中，衛(wèi)星只在XOZ平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，因此只考慮衛(wèi)星沿X軸和Z軸的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。研究衛(wèi)星α和衛(wèi)星β上的A、B兩點(diǎn)，用來表示衛(wèi)星之間的距離變化。2 顆衛(wèi)星上的A點(diǎn)和B點(diǎn)沿X軸和沿Z軸的位移變化曲線分別如圖6 和圖7 所示?？梢钥闯觯c(diǎn)A不斷沿著X軸正方向運(yùn)動(dòng)。同樣，B隨著仿真時(shí)間的增加，也逐漸向X軸的正方向運(yùn)動(dòng)。另外，由于衛(wèi)星在3 s 后分離，根據(jù)圖5 給出的分離動(dòng)畫也可以看出，衛(wèi)星β上的頂點(diǎn)B沿Z軸位移變化很小。

圖6 點(diǎn)A和B沿X 軸位移變化Fig.6 Displacement variations of Points A and B along the X-axis

圖7 點(diǎn)A、B沿Z 軸位移變化Fig.7 Displacement variations of Points A and B along the Z-axis

A、B兩點(diǎn)之間的距離如圖8 所示?？梢钥闯觯珹、B兩點(diǎn)之間的距離在3 s 之后一直呈現(xiàn)增大的趨勢(shì)，表明在衛(wèi)星解鎖釋放之后，衛(wèi)星之間間距不斷增大，說明所設(shè)計(jì)的分離策略是正確的。

圖8 點(diǎn)A和B 之間的距離變化Fig.8 Distance variations between Points A and B

不同的初始角速度下點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離變化曲線如圖9 所示。隨著自旋角速度從0.03、0.05 rad/s到0.10 rad/s 逐漸增大，A、B兩點(diǎn)之間分離的趨勢(shì)越來越大，說明隨著初始自旋角速度增大，衛(wèi)星之間的分離趨勢(shì)也會(huì)更大，適當(dāng)?shù)卦龃笮l(wèi)星分離時(shí)的自旋角速度能夠提高衛(wèi)星分離的效率。

圖9 不同自旋角速度下點(diǎn)A和B 距離變化Fig.9 Distance variations between Points A and B at different spin angular velocities

2.2 帶有工裝的情形

衛(wèi)星工裝即為衛(wèi)星的底座，在仿真實(shí)驗(yàn)時(shí)給與衛(wèi)星一定的支撐。衛(wèi)星工裝的形式多種多樣，這里設(shè)置建立在衛(wèi)星與工裝組合體上的局部坐標(biāo)系，如圖10 所示。

圖10 衛(wèi)星α 及其工裝結(jié)構(gòu)Fig.10 Satellite α and its tooling structure

帶有工裝結(jié)構(gòu)的衛(wèi)星和不帶有工裝結(jié)構(gòu)的衛(wèi)星相比，只是在衛(wèi)星的質(zhì)量屬性上有所變化，設(shè)置工裝為鋁合金材質(zhì)，其密度為2 700 kg/m3，其質(zhì)量變?yōu)?0 kg，結(jié)合衛(wèi)星的質(zhì)量，可以得到單個(gè)工裝和單個(gè)衛(wèi)星組合體的質(zhì)量為220 kg，組合體的質(zhì)心位置在局部坐標(biāo)系A(chǔ)-?AηA ξA的坐標(biāo)為(1.6，-0.4，0.15)。根據(jù)其質(zhì)心位置可以計(jì)算出組合體的質(zhì)量慣性矩陣E2為

分離策略與不帶工裝的衛(wèi)星分離策略相同，即前3 s 衛(wèi)星和工裝組合體連在一起，同時(shí)2 顆衛(wèi)星繞衛(wèi)星中心以0.03 rad/s 的角速度旋轉(zhuǎn)，角速度矢量方向?yàn)閅軸正方向。施加預(yù)緊的橡膠彈性力，3 s 后衛(wèi)星分離。依舊使用自然坐標(biāo)法建模，工裝和衛(wèi)星的組合體依舊使用長(zhǎng)方體表示。得到衛(wèi)星與工裝的組合體在不同時(shí)刻的分離過程如圖11 所示?？梢钥闯?，衛(wèi)星和工裝的組合體在分離過程中始終沒有發(fā)生碰撞。

圖11 不同時(shí)刻衛(wèi)星和工裝組合體狀態(tài)Fig.11 Satellite separation states at different moments with tooling structures

頂點(diǎn)A和頂點(diǎn)B沿X、Z軸位移的變化如圖12 和圖13 所示?？梢钥闯觯l(wèi)星分離變化趨勢(shì)和沒有加工裝的衛(wèi)星基本相同，沿X軸方向的位移不斷增大，沿Z軸的位移與不帶工裝的圖6 相似。根據(jù)不帶工裝的位移圖像對(duì)比可以得到，是否有工裝對(duì)衛(wèi)星分離的過程并沒有太大的影響。

圖12 組合體點(diǎn)A和B沿X 軸距離變化Fig.12 Displacement variations of Points A and B with tooling structures along the X-axis

圖13 組合體點(diǎn)A、B沿Z 軸距離變化Fig.13 Displacement variations of Points A and B with tooling structures along the Z-axis

A、B兩點(diǎn)之間的距離變化曲線如圖14 所示。根據(jù)和圖7 對(duì)比分析，當(dāng)衛(wèi)星加裝分離的工裝結(jié)構(gòu)時(shí)，僅僅改變整個(gè)結(jié)構(gòu)的質(zhì)量特性，在幾何外形上影響不大。因此，沿用原來的分離方案，對(duì)衛(wèi)星和工裝的組合體的分離仍然是有效的。

圖14 帶工裝的衛(wèi)星組合體上點(diǎn)A和B 之間的距離Fig.14 Distance variations of Points A and B with tooling structures

由上述實(shí)驗(yàn)的仿真結(jié)果可知，本文所設(shè)計(jì)的衛(wèi)星工裝結(jié)構(gòu)，在連接到衛(wèi)星上之后，原來所設(shè)計(jì)的衛(wèi)星自旋并施加橡膠預(yù)緊力的衛(wèi)星之間的分離策略仍然是可行的，設(shè)計(jì)的工裝結(jié)構(gòu)對(duì)衛(wèi)星分離影響很小，可用于衛(wèi)星分離地面實(shí)驗(yàn)。

3 結(jié)束語

自然坐標(biāo)法可以準(zhǔn)確地為在軌衛(wèi)星分離提供仿真分析，包括不同影響因素對(duì)分離過程的影響。仿真分析結(jié)果表明：衛(wèi)星之間提供彈性分離力的橡膠夾層和衛(wèi)星的初始自旋角速度對(duì)衛(wèi)星成功分離具有關(guān)鍵作用，自旋角速度越大，衛(wèi)星分離時(shí)間越短。本文所設(shè)計(jì)的地面分離試驗(yàn)工裝結(jié)構(gòu)不影響衛(wèi)星分離過程，在設(shè)定的轉(zhuǎn)速和預(yù)緊力下，分離時(shí)衛(wèi)星和工裝均未發(fā)生碰撞，衛(wèi)星可以成功分離。