福建省福清第一中學(xué) (350300) 郭海萍

福建省福清市教師進(jìn)修學(xué)校 (350300) 林新建

解析幾何問題一直是數(shù)學(xué)高考的難點(diǎn),它的“難”在于“運(yùn)算”,這給學(xué)生的解答帶來較大的挑戰(zhàn)．為此,教學(xué)中教師應(yīng)引領(lǐng)學(xué)生學(xué)會運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象的方法,借助直觀想象,從問題中的條件,挖掘其幾何圖形特征,進(jìn)而選擇合理的解題路徑,將問題得以簡便求解．本文以2022年新高考Ⅰ卷一道試題為例,就如何基于數(shù)學(xué)抽象,借助直觀想象,挖掘圖形特征指引解題進(jìn)行探析,與同仁交流．

本題以橢圓中求解三角形周長為背景,考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì),考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化思想,考查數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性、創(chuàng)新性,難度較大．

1 解法探析

本題已知的是橢圓的離心率,及過焦點(diǎn)F1且垂直于AF2的直線DE,待求的是△ADE的周長,由于看不出△ADE的形狀,若通過分別求三角形三邊長而得,顯然計(jì)算量較大．為此,需要對題設(shè)條件的數(shù)量關(guān)系作感知,以發(fā)掘條件的隱含信息,進(jìn)而得出圖形的關(guān)鍵特征,對所求問題進(jìn)行轉(zhuǎn)換,有效解決問題．

圖1

評注：高考命題者試圖通過學(xué)生對圖形特征的挖掘和解題路徑的選擇來考查和區(qū)分學(xué)生,此問題可謂以幾何特征優(yōu)化思考,以關(guān)鍵線段確定方向,以長度或角度算法構(gòu)建要素,是一道體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科價(jià)值的好題．

2 策略剖析

本題若分別求出△ADE三邊的長,計(jì)算量會比較龐大,所以要基于直觀想象和數(shù)學(xué)抽象,從問題中的數(shù)量關(guān)系,充分挖掘圖形的幾何特征,建立形與數(shù)的聯(lián)系,進(jìn)而將△ADE的周長轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)焦點(diǎn)三角形的部分邊長和,這是本題的價(jià)值所在．同時(shí),對于如何由弦長|DE|=6,求解出c,也是要挖掘圖形幾何特征,構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型,進(jìn)而選擇合理的解題路徑,最終將問題求解．

解析幾何問題解決的三步曲如圖2所示,問題解決關(guān)鍵的一步就是轉(zhuǎn)化的過程,既可以對問題中的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行感知,挖掘圖形的幾何特征性質(zhì),然后進(jìn)行代數(shù)化;也可以對已有的幾何條件進(jìn)行深挖,得出相關(guān)的幾何性質(zhì),再進(jìn)行代數(shù)化．即“解析幾何問題→幾何性質(zhì)→代數(shù)問題”．幾何特征性質(zhì)挖掘得越充分,得到的代數(shù)化的形式就越簡潔,這樣,代數(shù)運(yùn)算也就越簡捷．

圖2

3 應(yīng)用賞析

在歷年高考中,有相當(dāng)一部分解析幾何試題,都可以借助數(shù)學(xué)抽象的方法,運(yùn)用直觀想象,挖掘其圖形特征及性質(zhì),進(jìn)而將問題化歸轉(zhuǎn)化,從而有效簡化解題過程．

例1(2019年全國Ⅰ卷理科第10題)已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(-1,0),F2(1,0),過F2的直線與C交于A,B兩點(diǎn)．若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,則C的方程為( ).

解析：基于數(shù)學(xué)抽象和直觀想象,從問題中的數(shù)量關(guān)系,充分挖掘幾何圖形特征．如圖3,設(shè)|BF2|=t,由于|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,所以|AF2|=2t,|BF1|=3t,由橢圓定義得|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a,可得|AF1|=2t,從而|AF1|=|AF2|,由此得點(diǎn)A為橢圓的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn),則△AF1F2為等腰三角形．

圖3

圖4

若通過設(shè)直線MN方程,與漸近線方程聯(lián)立,分別求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo),進(jìn)而用兩點(diǎn)距離公式求出MN的長,思路直觀,但運(yùn)算量偏大,費(fèi)時(shí)費(fèi)力．若運(yùn)用直觀想象,挖掘其圖形特征,將問題轉(zhuǎn)化,快捷求解．

圖5

(2)假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)P(x0,y0),如圖6,由△PAB與△PMN的面積相等可得|PA|·|PB|

圖6

=|PM|·|PN|,但由于M、N的坐標(biāo)未知且不易求得,許多考生至此望而卻步．

圖7

4 素養(yǎng)綜析

對于解析幾何問題,它的特點(diǎn)是“運(yùn)算”,而它的難點(diǎn)也是在運(yùn)算上,而能力恰恰體現(xiàn)在“如何簡化運(yùn)算”上．簡化運(yùn)算,這不僅與巧設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)與直線方程有關(guān),還與運(yùn)算路徑的選擇有關(guān),更與問題中的圖形特征和幾何性質(zhì)的挖掘有關(guān)．所以,在教學(xué)過程中,教師要引導(dǎo)學(xué)生會用數(shù)學(xué)眼光去觀察問題,即數(shù)學(xué)抽象,從數(shù)量關(guān)系中去挖掘圖形的幾何特征,巧妙轉(zhuǎn)化,培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象和直觀想象素養(yǎng);同時(shí)還要引導(dǎo)學(xué)生會用數(shù)學(xué)思維去思考問題,即邏輯推理,由圖形特征確定合理的解題路徑,合理引入?yún)?shù),進(jìn)行多元表征,將幾何條件代數(shù)化,求得正確的運(yùn)算結(jié)果,培養(yǎng)邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．