口啟慧，王海峰，劉坤澎，職鑫鑫

(西北工業(yè)大學 航空學院，西安 710072)

0 引 言

高空長航時飛行平臺通常指運行在平流層、能長時間工作的飛行器，如平流層飛艇、高空太陽能無人機等。高空長航時飛行平臺的特點使其在通信、對地觀測等領域有著廣泛的應用前景。由電機驅動的螺旋槳推進系統(tǒng)是高空長航時飛行平臺的主要動力[1]，其中螺旋槳的推進效率對整個推進系統(tǒng)的效率影響重大，進而影響飛行平臺的續(xù)航能力。高空空氣密度和黏度與地面值差異較大，且通常要求螺旋槳槳尖馬赫數(shù)小于1以避免跨聲速帶來的激波問題。因此高空螺旋槳的槳尖雷諾數(shù)通常低于1 × 106，其氣動問題是一個低雷諾數(shù)問題。在飛行平臺功率和槳葉直徑的限制下，獲得高效的高空螺旋槳氣動優(yōu)化方案是需要解決的關鍵設計問題。

針對以上問題，各國學者對高空螺旋槳氣動優(yōu)化設計進行了研究。Zhang等用不同優(yōu)化方法設計低雷諾數(shù)翼型[2]。Morgado等使用JBLADE軟件進行高空螺旋槳設計優(yōu)化[3]。Mourousias等對高空螺旋槳進行基于葉素動量理論和Kriging代理的多點多目標優(yōu)化[4]。García-Gutiérrez 等發(fā)展了一種基于非侵入式多項式混沌展開的螺旋槳設計算法，以平流層飛艇螺旋槳為例進行驗證[5-6]。Ma等耦合直接優(yōu)化算法EXTREM和XFOIL，為低速低雷諾數(shù)翼型的多點設計問題提供有效解決方案[7]。Jiao等提出平流層飛艇螺旋槳的多目標優(yōu)化和驗證方法[8]。Duan、Liu、Park等分別基于葉素動量理論和渦流理論提出高空螺旋槳設計優(yōu)化方法，對設計結果進行計算和試驗驗證[9-11]。從文獻中可以看出，目前高空螺旋槳的優(yōu)化設計大多都基于葉素/渦流理論。這種計算方法的優(yōu)點是有較快的氣動性能計算速度，但其計算精度較低、尋找理論最優(yōu)解較為困難。CFD數(shù)值模擬雖然具有較高的計算精度，但優(yōu)化設計中使用其獲得氣動性能造成的時間成本難以接受。

貝葉斯優(yōu)化（Bayesian optimization, BO）是一種數(shù)據(jù)驅動進化優(yōu)化算法，具有很強的自適應和自學習特征[12]。該算法以可變精度的高斯過程模型代替獲取耗時的真實目標函數(shù)，通過歷史數(shù)據(jù)和采樣函數(shù)，進行樣本點更新，逼近局部或全局最優(yōu)解，并保證所產(chǎn)生的樣本點精確收斂于優(yōu)化問題的真實最優(yōu)解。對于復雜多維問題，其代替模型不必在整個設計空間內(nèi)具有高的近似精度，而只需在關鍵區(qū)域，特別是最優(yōu)解附近，具有高的近似精度。貝葉斯優(yōu)化已逐漸被應用于氣動優(yōu)化設計領域[13-16]。

本文提出了一種基于貝葉斯優(yōu)化框架的高空螺旋槳氣動優(yōu)化設計方法，通過試驗驗證了框架中使用的數(shù)值模擬方法的準確性，并使用該方法對某高空太陽能無人機螺旋槳進行優(yōu)化設計。

1 螺旋槳參數(shù)化方法

1.1 低雷諾數(shù)翼型

翼型是螺旋槳設計的基礎。傳統(tǒng)翼型在高空、低雷諾數(shù)環(huán)境下，隨迎角增加，升力系數(shù)增加緩慢，阻力系數(shù)增加迅速，翼型升阻特性顯著下降。本文暫不考慮翼型的優(yōu)化設計過程，直接使用課題組研發(fā)的PLRY系列翼型（共6個）。圖1給出了其中部分翼型典型徑向剖面的幾何形狀。

圖1 部分翼型典型徑向剖面示意圖Fig.1 Airfoil radial profiles

高空螺旋槳從根部到尖部涵蓋低速、亞聲速或高亞聲速范疇，采用系列翼型可以綜合兼顧高升力和高升阻比，具有幾何兼容和氣動兼容等特點。該系列翼型相對厚度由槳根向槳尖逐漸減小，根部厚、尖部薄的特點也為提高螺旋槳結構剛度提供了條件。

1.2 螺旋槳幾何參數(shù)化

螺旋槳由外形完全相同的槳葉組成，因此螺旋槳的設計需要先進行槳葉幾何外形設計，再以此為基礎計算螺旋槳氣動性能。目前槳葉的設計不是直接進行幾何坐標設計，而是將槳葉劃分為多個剖面，選定一個或一組翼型作為各剖面基本翼型，保持槳葉各剖面翼型不變，通過設計各剖面翼型的實際弦長和扭轉角確定槳葉的幾何外形，然后通過螺旋槳氣動性能（推力、效率、功率等）判定設計方案的優(yōu)劣。

基于槳葉弦長和扭角分布特點，本文使用二次函數(shù)參數(shù)化方法來描述槳葉弦長和扭轉角分布，保證了槳葉氣動外形沿展向光滑連續(xù)。同時，與直接使用弦長和扭轉角作為設計變量相比，該方法減少了變量個數(shù)，降低了設計空間維數(shù)，設計變量個數(shù)不會隨剖面數(shù)量而變化，提高了螺旋槳優(yōu)化收斂速度。

高空螺旋的每片槳葉從根部到尖部可以分為內(nèi)段、中段和外段，其中中段和外段貢獻了其整體推力的80%～90%[17]。本文定義螺旋槳相對半徑r/R= 0.2（R為螺旋槳半徑）所在的剖面為內(nèi)段和中段分界面。根據(jù)PLRY系列翼型特點，其有效氣動外形被劃分為12個截面。從根部開始，1～3剖面翼型相同，4～6剖面使用3個不同翼型，7～9剖面翼型相同，10～12剖面翼型相同。

1.2.1 弦長參數(shù)化

弦長參數(shù)化方法如式（1）所示，弦長最大點將該函數(shù)分為兩個二次函數(shù)。該函數(shù)在分段點（弦長最大位置）處連續(xù)可導，保證了弦長在最大位置處的光滑。

其中：x為剖面位置；xmax為最大弦長所在剖面位置；xtip為槳尖位置（等于螺旋槳半徑）；c為剖面弦長；cmax為最大剖面弦長；croot為根部弦長；ctip為槳尖弦長。上述變量單位均為mm。槳葉弦長的參數(shù)化變量共 5 個：croot、xmax、cmax、xtip、ctip。

1.2.2 扭轉角參數(shù)化

扭轉角參數(shù)化方法如式（2）：

其中：x為剖面位置，單位為mm；xp為分布函數(shù)極值點位置，單位為 mm；β為剖面扭轉角，單位為 (°)；βroot為根部扭轉角，單位為 (°)；βtip為槳尖扭轉角，單位為 (°)。槳葉扭轉角的參數(shù)化變量共 3 個：βroot、βtip、xp。

通過以上選取的系列翼型及螺旋槳幾何參數(shù)，即可確定各剖面弦長和扭轉角。帶弦長和扭轉角的各翼型前后緣坐標可生成三條三次樣條曲線（前緣一條，后緣兩條），樣條曲線和各剖面翼型共同構成槳葉氣動外形輪廓。以槳葉輪廓為基礎，使用光滑曲面可生成其氣動外形。

2 數(shù)值模擬

2.1 模擬方法

采用非結構化網(wǎng)格進行數(shù)值模擬，采用網(wǎng)格自動化技術完成適應槳葉外形變化的流場網(wǎng)格和貼體網(wǎng)格劃分，在槳尖和前后緣進行局部網(wǎng)格加密，網(wǎng)格數(shù)量大約1 200萬，其中內(nèi)場網(wǎng)格數(shù)量大約900萬，外場網(wǎng)格大約300萬。共15層附面層網(wǎng)格，第一層附面層網(wǎng)格高度為0.002 mm（y+＜1）。流場尺寸如圖2所示。使用滑移網(wǎng)格方法，其中內(nèi)場為旋轉域，外場為靜止域。數(shù)值模擬采用基于有限體積法（finite volume method, FVM）的CFX完成，湍流模型使用SSTk-ω二方程模型，對流項離散格式為二階迎風。仿真條件如表1所示。數(shù)值模擬收斂準則采用均方根（root mean square, RMS）殘差類型，殘差精度為 1 × 10-4。

圖2 CFD模擬流場尺寸示意圖Fig.2 Sketch of CFD simulation domain

表1 CFD求解器設置Table 1 CFD solver settings

2.2 模擬方法驗證

為驗證數(shù)值模擬方法的準確性，使用該方法對某高空螺旋槳的地面氣動性能進行數(shù)值模擬，并與試驗測試結果進行對比。模擬條件與試驗的工況參數(shù)相同（見表2）。

表2 設計工況Table 2 Design condition

螺旋槳地面靜推力試驗在西北工業(yè)大學的試驗臺進行（圖3）。試驗現(xiàn)場環(huán)境溫度34.54℃，相對濕度60.2%。試驗考慮了環(huán)境對結果的影響，共進行了三次測試。圖4給出了測試數(shù)據(jù)和仿真數(shù)據(jù)對比。從圖中可以看出，三次試驗結果基本一致，驗證了測試系統(tǒng)的穩(wěn)定性。試驗數(shù)據(jù)與仿真數(shù)據(jù)變化趨勢一致。相同轉速下，推力平均誤差約2.34%，最大誤差約5.66%；最大推力誤差發(fā)生在第一次試驗轉速為175 r/min時，其余兩次試驗在該轉速時的推力誤差分別為1.74%和2.41%。扭矩平均誤差約3.33%，最大誤差約6.79%；最大扭矩誤差發(fā)生在第一次試驗轉速為75 r/min時，其余兩次試驗在該轉速時的扭矩誤差分別為2.89%和3.35%。

圖3 地面靜推力測試Fig.3 Ground thrust test

圖4 測試數(shù)據(jù)和仿真數(shù)據(jù)對比Fig.4 Comparison of experimental and numerical results

3 貝葉斯優(yōu)化方法

本文使用的高空螺旋槳貝葉斯優(yōu)化方法流程如圖5所示。

圖5 高空螺旋槳貝葉斯優(yōu)化流程Fig.5 BO process for high-altitude propellers

圖中初始樣本使用拉丁超立方抽樣，根據(jù)實際需求選擇初始樣本數(shù)量，通過數(shù)值模擬來計算螺旋槳氣動性能。初始樣本通過訓練獲得初代高斯過程模型。CMP為帶約束的目標函數(shù)最小值預測準則（constraint minimizing the predicted objectivefunction）[18-19]， CEI為 帶 約 束 的 改 善 期 望 準 則（constraint expected improvement）[18，20]，CMSE 為帶約束的均方差準則（constraint mean squared error）[18-19]。遺傳算法和以上三種準則共同構成貝葉斯優(yōu)化的并行加點子優(yōu)化。子優(yōu)化可以獲得不同加點準則在當前模型下的最優(yōu)解及對應設計變量，通過數(shù)值模擬得到氣動性能，并將新的樣本點加入樣本數(shù)據(jù)，更新樣本數(shù)據(jù)，訓練模型。三種加點準則可以在一次優(yōu)化中產(chǎn)生三個新樣本點，從而提高優(yōu)化收斂速度。產(chǎn)生于當前模型最優(yōu)解附近的新樣本點，提高了更新后的模型在局部和全局最優(yōu)解附近的近似精度，這樣可以將樣本點添加在模型最需要的地方，降低優(yōu)化時間成本，提高優(yōu)化效率。這是貝葉斯優(yōu)化和固定代理模型優(yōu)化的主要區(qū)別，也是貝葉斯優(yōu)化的優(yōu)化機制。

貝葉斯優(yōu)化沒有嚴格的收斂條件，國內(nèi)外關于其優(yōu)化終止條件定義的文獻較少，也沒有統(tǒng)一的標準。本文使用兩種終止條件共同判定[13]：

（1）根據(jù)樣本點距離及其對應目標函數(shù)值的差別來定義。

式中，下標“new”代表新加入的樣本點，下標“best”代表現(xiàn)有樣本中的最優(yōu)點。當新加入樣本點與當前最優(yōu)樣本點之間的距離以及函數(shù)值之差相對值小于設定的閥值ε時，優(yōu)化即可終止。

在設計空間內(nèi)，高空螺旋槳的優(yōu)化是一個多峰多谷問題，對于相同的目標函數(shù)值，可能有不同解。因此在上述終止條件中，增加了樣本點距離的比較，以確保目標函數(shù)變化達到要求的閾值時，對應的樣本點在同一個峰內(nèi)，即，只有新樣本點與已知最優(yōu)樣本點之間的距離和目標函數(shù)變化都很小時才認為優(yōu)化收斂。

（2）預設的數(shù)值模擬最大次數(shù)。由于代理模型的使用，單獨使用終止條件（1）可能存在一個問題—當優(yōu)化獲得的新樣本點恰好在初始最優(yōu)樣本點附近時（即初始最優(yōu)樣本點恰好在初始模型某個局部或全局最優(yōu)解附近時），可能由于達到收斂閾值而使優(yōu)化提前終止，但此時模型精度不高，獲得的結果并不是最優(yōu)。為了避免這種可能存在的偶然情況，本文同時使用了終止條件（2）。兩種終止條件共同使用，避免了上述偶然情況的發(fā)生，使優(yōu)化能在可接受時長的約束范圍內(nèi)獲得較好的結果。

4 基于貝葉斯優(yōu)化的氣動外形設計

本文使用貝葉斯優(yōu)化方法，對通過葉素/渦流理論優(yōu)化設計獲得的某高空太陽能無人機螺旋槳進行氣動優(yōu)化與驗證。設計工況如表3所示。

表3 設計工況Table 3 Design condition

4.1 優(yōu)化模型

根據(jù)螺旋槳參數(shù)化方法，確定其幾何外形共需8個變量。在確定典型任務工況情況下，計算螺旋槳氣動性能還需轉速（n）。因此拉丁超立方抽樣的變量數(shù)為9。當槳徑固定時，實際設計變量數(shù)為8。本文取樣本數(shù)量為40。各變量取值范圍見表4。

表4 設計變量范圍Table 4 Design variable value range

高空螺旋槳氣動性能主要有推力（T）、扭矩（M）、功率（P）、效率（η）。其優(yōu)化問題是在輸入功率限制下，使螺旋槳產(chǎn)生的推力最大。其優(yōu)化數(shù)學模型為：

各子優(yōu)化均使用精英保留遺傳算法（elitist reservation genetic algorithm, EGA），種群數(shù)量為50，最大代數(shù)為1 000。

本文使用的優(yōu)化終止條件中，新加入樣本點目標函數(shù)和當前樣本最優(yōu)點目標函數(shù)之差的相對值的閾值ε為1 × 10-6。調用精確數(shù)值模擬次數(shù)最大為300。

4.2 優(yōu)化結果對比

圖6給出了優(yōu)化目標函數(shù)迭代收斂曲線。圖中橫坐標表示調用數(shù)值模擬次數(shù)（含初始樣本數(shù)值模擬時的調用次數(shù)），即樣本點數(shù)量；縱坐標表示用當前樣本點訓練成的模型優(yōu)化得到的目標函數(shù)值。從圖中可以看出，樣本點數(shù)量約為130，即優(yōu)化調用90次數(shù)值模擬時，優(yōu)化開始趨于收斂，且在后續(xù)再進行的110次子優(yōu)化中，目標函數(shù)不再提升。

圖6 優(yōu)化收斂曲線Fig.6 Optimization convergence curve

優(yōu)化前后設計變量取值對比如表5，氣動外形對比如圖7。從優(yōu)化前后設計變量和氣動外形的變化可以看出，優(yōu)化后的槳葉有更大弦長，最大弦長位置更靠近根部，螺旋槳的面積由0.266 m2增加到0.294 m2；優(yōu)化后的槳葉從根部到尖部的扭轉角變化更大。

表5 優(yōu)化前后設計變量對比Table 5 Comparison of design variables before and after optimization

圖7 優(yōu)化前后外形對比Fig.7 Shape comparison before and after optimization

圖8給出了優(yōu)化前后螺旋槳在表3所示高度和速度下的氣動性能對比。圖中橫坐標為前進比（λ），由于設計中來流速度和槳徑為常量，因此前進比只與轉速有關。從圖中可以看出，相同前進比下，優(yōu)化后的螺旋槳在設計點附近具有更高的推力和效率。表6給出了5 kW功率點的性能對比。優(yōu)化后的螺旋槳在功率點的性能顯著提高，推力提高9.24%，效率提高8.13%。優(yōu)化后，在5 kW設計點轉速降低約100 r/min，因此槳尖馬赫數(shù)減??；但由于槳尖剖面弦長增大，所以槳尖雷諾數(shù)增大。

圖8 螺旋槳性能對比Fig.8 Comparison of aerodynamic performance

表6 5 kW設計點氣動性能對比Table 6 Comparison of aerodynamic performance at 5 kW

在5 kW設計點，優(yōu)化前后槳葉壓力分布如圖9所示，流線如圖10所示。優(yōu)化前后槳葉負壓均出現(xiàn)在前緣靠近槳尖的位置，壓力分布連續(xù)性較好，無突變情況，這與螺旋槳旋轉時實際壓力分布情況相同。優(yōu)化前槳葉尖部流線不完整，表明在該工況下，氣流在槳葉尖部后緣上表面出現(xiàn)提前分離，而優(yōu)化后的槳葉流線分布較好。

圖9 5 kW功率時壓力云圖對比Fig.9 Comparison of pressure contours at 5 kW power

圖10 5 kW功率時流線圖對比Fig.10 Comparison of streamlines at 5 kW power

5 結 論

本文從優(yōu)化耗時和數(shù)據(jù)精度影響兩方面考慮，提出了一種基于貝葉斯優(yōu)化框架的高空螺旋槳氣動外形優(yōu)化設計方法，并完成高空螺旋槳氣動優(yōu)化設計。研究結果表明：

1）基于貝葉斯優(yōu)化框架的高空螺旋槳氣動外形優(yōu)化設計方法具有更好的全局收斂性，能在可接受時長內(nèi)獲得更高效的氣動外形設計方案。

2）該方法中，加點準則和遺傳算法構成的子優(yōu)化產(chǎn)生新樣本點是其優(yōu)化機制，而并行加點策略則可以有效提高優(yōu)化的全局收斂性和收斂速度。

3）該方法可以對螺旋槳的氣動設計及應用提供工程指導，同時也可以為機翼的設計提供一定的參考和技術支持。

4）該方法中子優(yōu)化均為單目標優(yōu)化，每次優(yōu)化中新樣本點的個數(shù)取決于加點準則的個數(shù)，這在提高優(yōu)化效率方面仍然比較有限。若考慮將子優(yōu)化轉換為多目標優(yōu)化，有望大幅降低優(yōu)化迭代次數(shù)、提高優(yōu)化效率、增強應用便捷性。這將作為后續(xù)研究的重要內(nèi)容。