常磊

摘 ?要：“函數(shù)[y=xa-logbx]的圖象與性質(zhì)”一課選題新穎、導(dǎo)入自然，通過類比探究冪對差值函數(shù). 課堂上，執(zhí)教教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“描繪具體函數(shù)圖象—?dú)w納猜想函數(shù)共性—代數(shù)推理嚴(yán)格論證”的過程，帶領(lǐng)學(xué)生使用信息技術(shù)探究函數(shù)的圖象與性質(zhì)，讓學(xué)生體會信息技術(shù)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：信息技術(shù)；核心素養(yǎng)；探究函數(shù)；冪對差值函數(shù)

在“互聯(lián)網(wǎng) +”時代，信息技術(shù)的廣泛應(yīng)用對數(shù)學(xué)教育產(chǎn)生了深刻影響. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，信息技術(shù)是學(xué)生學(xué)習(xí)和教師教學(xué)的重要輔助手段，為師生交流、生生交流搭建了平臺，為學(xué)習(xí)和教學(xué)提供了豐富的資源. 在數(shù)學(xué)課堂上，信息技術(shù)的有效使用可以優(yōu)化教學(xué)，為學(xué)生理解概念創(chuàng)設(shè)背景，為學(xué)生探索規(guī)律啟發(fā)思路，為學(xué)生解決問題提供直觀，引導(dǎo)學(xué)生自主獲取資源.

信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合，可以實(shí)現(xiàn)傳統(tǒng)教學(xué)手段難以達(dá)到的效果. 例如，利用信息技術(shù)可以展示函數(shù)的圖象、探究函數(shù)的性質(zhì)，將幾何圖形直觀化、動態(tài)化，探究算法、研究編程，將數(shù)據(jù)繪制成合適的統(tǒng)計(jì)圖表，等等. 同時，還可以利用計(jì)算機(jī)的隨機(jī)模擬結(jié)果進(jìn)行較大規(guī)模的計(jì)算.

“函數(shù)[y=xa-logbx]的圖象與性質(zhì)”一課給人耳目一新、眼前一亮的感覺. 執(zhí)教教師教學(xué)立意明確，總體設(shè)計(jì)清晰，關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng). 下面就這節(jié)課進(jìn)行分析.

一、選題新穎，構(gòu)造基本差值函數(shù)

“信息技術(shù)在探究函數(shù)的圖象與性質(zhì)中的運(yùn)用”是第十一屆高中青年數(shù)學(xué)教師課例展示活動的指定課題，該課題要求教師自主選擇一個新函數(shù)，借助代數(shù)推理和幾何直觀探究函數(shù)的圖象與性質(zhì)，并通過函數(shù)的圖象和代數(shù)運(yùn)算理解和解決問題. 本節(jié)課的探究對象是由冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)這兩個基本初等函數(shù)通過作差運(yùn)算得到的新函數(shù)[y=xa-logbx]，新定義為“冪對差值函數(shù)”，來源于滬教版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》必修第一冊“4.3 對數(shù)函數(shù)”中的“探究與實(shí)踐”，基于對冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的增長速度比較的思考與對教材拓展內(nèi)容的質(zhì)疑. 該函數(shù)非常新穎，充分體現(xiàn)了執(zhí)教教師對教材的鉆研，以及勇于探索、敢于挑戰(zhàn)的精神. 本節(jié)課是在已學(xué)知識的基礎(chǔ)上尋求新的突破，培養(yǎng)學(xué)生結(jié)合后續(xù)知識的學(xué)習(xí)解決前面問題的意識，實(shí)現(xiàn)了學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)知識的系統(tǒng)性和連貫性，也為之后探究新的函數(shù)提供了方法指導(dǎo)，是高中數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)的點(diǎn)睛之筆.

二、導(dǎo)入自然，使用數(shù)學(xué)方法研究

本節(jié)課執(zhí)教教師從搭載問天實(shí)驗(yàn)艙的長征五號B遙三運(yùn)載火箭引入，然后結(jié)合教材“課后閱讀：火箭速度的計(jì)算公式”和“探究與實(shí)踐：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)增長速度的比較”引導(dǎo)學(xué)生通過比較，體會對數(shù)函數(shù)的增長速度.

執(zhí)教教師利用“通過課前練習(xí)，我們發(fā)現(xiàn)對數(shù)函數(shù)的增長速度并非一直很慢，當(dāng)x充分大時，冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的差值構(gòu)成的函數(shù)可能是嚴(yán)格增函數(shù)，今天我們就研究這一函數(shù)”導(dǎo)入新課，并板書課題“函數(shù)[y=xa-logbx]的圖象與性質(zhì)”.

由實(shí)際問題引入新課自然流暢，接下來執(zhí)教教師通過問題“回顧函數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，探究一個新的函數(shù)主要探究哪些內(nèi)容？”引導(dǎo)學(xué)生思考. 學(xué)生回答：定義域、值域、對稱性（奇偶性）、周期性、單調(diào)性、最值、極值點(diǎn)、零點(diǎn)、特殊點(diǎn)……

本節(jié)課是一節(jié)探究課，盡管冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)都是基本的、應(yīng)用廣泛的函數(shù)，但是新函數(shù)[y=xa-][logbx]是冪對差值函數(shù)，同時又有兩個參數(shù)，如果研究方法不合適，也會帶來很多麻煩. 課堂教學(xué)中，學(xué)生在執(zhí)教教師的引導(dǎo)下采用研究數(shù)學(xué)的一般路徑進(jìn)行探究，很快對參數(shù)進(jìn)行了合理分類，從特殊到一般進(jìn)行探究，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和直觀想象素養(yǎng).

三、動手操作，親歷研究函數(shù)的方法

執(zhí)教教師引導(dǎo)學(xué)生使用Excle軟件進(jìn)行列表、描點(diǎn)、連線，觀察函數(shù)圖象的形狀，學(xué)生通過調(diào)整數(shù)據(jù)，觀察圖象、總結(jié)規(guī)律，得到函數(shù)的性質(zhì). 教師舍得花時間給學(xué)生，讓學(xué)生不斷嘗試、觀察、討論、思考和總結(jié). 學(xué)生在動手實(shí)踐的基礎(chǔ)上，經(jīng)過深入思考積極討論，大膽質(zhì)疑，并在課堂上分享了自己的得失，課堂氛圍積極，學(xué)生展示充分，并有學(xué)生能夠提出自己的困惑.

執(zhí)教教師以恰時、恰點(diǎn)的提問加以引導(dǎo)，層層遞進(jìn)，提高了學(xué)生的思維能力. 課堂上讓學(xué)生在實(shí)踐中體驗(yàn)，在探究中進(jìn)步，親歷探究一個新函數(shù)的圖象與性質(zhì)的過程，讓學(xué)生感受信息技術(shù)在研究函數(shù)圖象與性質(zhì)中的作用，也讓學(xué)生體會到了數(shù)學(xué)軟件的強(qiáng)大作用.

四、技術(shù)助力，體現(xiàn)信息技術(shù)的力量

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中指出：“教師應(yīng)注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合，實(shí)現(xiàn)傳統(tǒng)教學(xué)手段難以達(dá)到的效果.”本節(jié)課通過精心設(shè)計(jì)，充分利用了多種途徑的信息技術(shù)輔助教學(xué). 在課前的學(xué)習(xí)活動中，讓學(xué)生在解決問題的過程中感受計(jì)算器的計(jì)算功能，在比較計(jì)算結(jié)果中增強(qiáng)數(shù)感. 在回顧冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)時，通過課件演示動圖，清晰、快捷地鞏固已學(xué)知識. 課中設(shè)計(jì)了學(xué)生的動手操作活動，學(xué)生用Excel軟件描點(diǎn)、繪圖，通過觀察、分析和交流自主調(diào)整取點(diǎn)，在感知、體驗(yàn)的基礎(chǔ)上內(nèi)化形成新知，切實(shí)感受信息技術(shù)強(qiáng)大的數(shù)據(jù)處理與圖象繪制功能. 但也發(fā)現(xiàn)有一部分函數(shù)的性質(zhì)不突出，存在一定的局限性，執(zhí)教教師進(jìn)而采用GeoGebra軟件演示冪對差值函數(shù)的圖象，分別改變a，b的值讓學(xué)生觀察函數(shù)圖象：a不變，改變b的值，發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖象的單調(diào)性很明顯；b不變，改變a的值，如果a變大，函數(shù)圖象的單調(diào)性很明顯，當(dāng)a變小時，感覺函數(shù)圖象有漸近線，但是不確定. 于是執(zhí)教教師不改變縱坐標(biāo)的值，只改變圖象橫坐標(biāo)的值，將圖象縮小，開始時圖象好像有漸近線，但是隨著橫坐標(biāo)的縮小，函數(shù)圖象的性質(zhì)顯現(xiàn)出來了，這時學(xué)生驚奇地發(fā)現(xiàn)原來圖象是先減后增，沒有漸近線，函數(shù)有最小值. GeoGebra軟件的演示幫助學(xué)生更好地歸納了函數(shù)的共性，發(fā)展了學(xué)生的直觀想象和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

執(zhí)教教師的信息技術(shù)運(yùn)用能力較強(qiáng)，對信息技術(shù)的使用恰到好處，提高了課堂教學(xué)的效能，更易于調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和積極探索的精神，啟發(fā)學(xué)生在將來自主創(chuàng)造工具，合理運(yùn)用技術(shù).

五、注重探究，引導(dǎo)學(xué)生深入思考

《標(biāo)準(zhǔn)》中指出：“通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)以及未來發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn).”注重數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)的體驗(yàn)和積累是提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效途徑之一. 本節(jié)課從教材內(nèi)容出發(fā)，在回顧已學(xué)的冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的基礎(chǔ)上，類比探究冪對差值函數(shù)的圖象與性質(zhì). 對于無法通過分析性質(zhì)直接得到結(jié)論的情況，類比冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的探究過程，明確需要經(jīng)歷“描繪具體函數(shù)圖象—?dú)w納猜想函數(shù)共性—代數(shù)推理嚴(yán)格論證”的過程，并在探究過程中根據(jù)問題解決的需要不斷調(diào)整，實(shí)現(xiàn)知識的同化與順應(yīng).

例如，在課堂上學(xué)生大致了解了冪對差值函數(shù)[y=xa-logbx]在[a>0，b>1]時的圖象，那么它的性質(zhì)是不是就確定了呢？執(zhí)教教師通過信息技術(shù)讓學(xué)生大致了解了函數(shù)的圖象，但是要想真正理解函數(shù)的性質(zhì)還需要用數(shù)學(xué)方法推理才能得到. 在執(zhí)教教師的引導(dǎo)下，學(xué)生使用導(dǎo)數(shù)確定了函數(shù)的單調(diào)性，找到了函數(shù)的最小值，進(jìn)而得到了冪對差值函數(shù)[y=xa-logbx]在[a>0，b>1]時的性質(zhì). 整堂課中，在執(zhí)教教師的啟發(fā)和引導(dǎo)下，學(xué)生借助信息技術(shù)探究函數(shù)的性質(zhì)，使用數(shù)學(xué)方法驗(yàn)證函數(shù)的性質(zhì). 執(zhí)教教師引導(dǎo)學(xué)生從知識內(nèi)容和學(xué)習(xí)過程兩個方面總結(jié)自己的收獲，強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合的思想方法和從特殊到一般的研究問題的方法，以及信息技術(shù)在探究過程中的作用. 理解數(shù)學(xué)方法的嚴(yán)謹(jǐn)性，通過探究冪對差值函數(shù)[y=xa-][logbx]的圖象與性質(zhì)讓學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)思想方法.

六、作業(yè)布置，由課內(nèi)延伸到課外

本節(jié)課的作業(yè)包含“基礎(chǔ)練習(xí)”和“能力拓展”兩部分，分層作業(yè)使得不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上能夠得到不同的發(fā)展，學(xué)生在分層作業(yè)的彈性空間中充分展示自己的學(xué)習(xí)能力. 同時，執(zhí)教教師還給學(xué)生布置了思考作業(yè)：你能從冪對差值函數(shù)[y=xa-logbx]在[a>0，b>1]時的性質(zhì)類比得到其在[a<0，0

信息技術(shù)作為一種認(rèn)知工具，對于促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，以及發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)能力等都有積極作用. 在數(shù)學(xué)學(xué)科上發(fā)揮著六個方面的作用：建構(gòu)數(shù)學(xué)概念，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論，突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)，改進(jìn)課堂生態(tài)，增強(qiáng)數(shù)學(xué)表達(dá)，傳播數(shù)學(xué)技術(shù). 教師要適應(yīng)時代的發(fā)展，按照《標(biāo)準(zhǔn)》的要求，發(fā)揮信息技術(shù)直觀便捷、資源豐富的優(yōu)勢，幫助學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

本節(jié)課中，執(zhí)教教師教態(tài)親切，過渡自然，課堂教學(xué)效果好，注重學(xué)法指導(dǎo)，信息技術(shù)的運(yùn)用恰到好處，核心素養(yǎng)導(dǎo)向的問題化學(xué)習(xí)活動有序、有效，達(dá)成了預(yù)設(shè)的教學(xué)目標(biāo)，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 這是一堂精彩的數(shù)學(xué)探究課.

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］史寧中，王尚志.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》解讀［M］. 北京：高等教育出版社，2020.