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        ?

        “兩角差的余弦公式”教學設計

        2023-05-05 16:29:07張紫茵
        中國數(shù)學教育(高中版) 2023年4期

        張紫茵

        摘 ?要:在單元背景下,“兩角差的余弦公式”一課沿用誘導公式的研究思路,利用單位圓的幾何性質,探究兩角差的余弦公式.

        關鍵詞:兩角差的余弦;單位圓;單位圓的旋轉對稱性

        一、教學內容解析

        1. 教學內容

        本節(jié)課的主要內容是兩角差的余弦公式的推導及運用.

        2. 內容解析

        本節(jié)課選自人教A版《普通高中教科書·數(shù)學》必修第一冊(以下統(tǒng)稱“教材”)第五章“三角函數(shù)”的“5.5.1 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式”,用時1課時.

        從內容來看,“5.5 三角恒等變換”分為三部分:兩角和與差的正弦、余弦和正切公式;二倍角的正弦、余弦和正切公式;簡單的三角恒等變換. 這一內容展開的順序如下. 首先,在推導公式的過程中,先利用圓的旋轉對稱性推導兩角差的余弦公式,然后導出兩角和與差的正弦、余弦和正切公式,進而導出二倍角的正弦、余弦和正切公式;其次,在公式變換應用的過程中,通過解答例題,促使學生學會選擇公式,體會換元、逆向思維等數(shù)學方法,進一步理解變換思想,提高學生的推理能力和數(shù)學運算素養(yǎng). 這樣,以單位圓的幾何直觀為紐帶,將三角恒等變換與整個三角函數(shù)內容融為一體.

        “兩角差的余弦公式”是“三角恒等變換”這一單元學習的基礎和出發(fā)點. 觀察前面學習的誘導公式,可以發(fā)現(xiàn)它們都是特殊角與任意角[α]的和(或差)的三角函數(shù)與這個任意角[α]的三角函數(shù)的恒等關系. 由此推理,利用圓的相關性質也一定能推出任意角[α]與[β]之間的三角恒等變換關系. 從特殊到一般,建立誘導公式與兩角差的余弦公式的聯(lián)系.

        對于兩角差的余弦公式,教材利用單位圓的旋轉對稱性(任意一個圓繞著其圓心旋轉任意角后都與原來的圓重合)進行推導. 首先,設單位圓與x軸的正半軸相交于點A,以單位圓的圓心為頂點、[x]軸的非負半軸為始邊畫出角[α,β],[α-β];其次,根據三角函數(shù)的定義寫出角[α,β],[α-β]的始邊和終邊與單位圓的交點[P1,A1,P]的坐標;再次,利用圓的旋轉對稱性,得到等量關系[AP=][A1P1];最后,根據兩點間的距離公式得到兩角差的余弦公式. 三角恒等變換中的差角公式充分利用了圓的旋轉對稱性,這也是本章利用單位圓的性質研究三角函數(shù)性質的通法.

        本節(jié)課中蘊含著豐富的數(shù)學思想方法,突出體現(xiàn)了數(shù)形結合、轉化與化歸、特殊與一般的思想,以及利用單位圓的性質研究三角函數(shù)性質的方法.

        基于以上分析,確定本節(jié)課的教學重點是利用圓的旋轉對稱性推導兩角差的余弦公式.

        二、教學目標設置

        本節(jié)課的教學目標設置如下.

        (1)回顧誘導公式,觀察誘導公式的結構特征,將特殊角換為任意角,提出一般性問題,引出研究兩角差的余弦公式的必要性. 經歷推導兩角差的余弦公式的過程,知道兩角差的余弦公式的意義,提高發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力.

        (2)借助信息技術手段,利用單位圓的旋轉對稱性探究公式,感受數(shù)形結合、轉化與化歸、特殊與一般的數(shù)學思想,提升思維的有序性,發(fā)展邏輯推理、數(shù)學運算和直觀想象等素養(yǎng),培育科學精神.

        (3)通過公式應用,初步熟記公式,掌握公式的結構形式和功能,體會正向、逆向使用公式等數(shù)學思想方法,進一步理解變換思想,培養(yǎng)程序化思考問題的品質,提高推理能力,發(fā)展數(shù)學運算素養(yǎng).

        (4)通過單元作業(yè),強化用單位圓研究三角函數(shù)問題的意識和習慣,體會數(shù)形結合思想,學會用數(shù)形結合思想思考和解決問題.

        三、學生學情分析

        學生在知識結構上已經學習了三角函數(shù)的概念、誘導公式、三角函數(shù)的性質,知道單位圓是研究三角函數(shù)的重要工具,這為學生研究兩角差的余弦公式提供了理論基礎和探究方向.

        學生在能力水平上已經具備一定的抽象概括能力、邏輯推理能力及轉化和分析問題的能力,但是如何使學生將已有的知識成功遷移到新知識的學習中,如何利用圓的旋轉對稱性得到兩角差的余弦公式,從而提高學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力,實現(xiàn)學習方式的轉變,這是本節(jié)課需要突破的.

        基于以上分析,確定本節(jié)課的教學難點為發(fā)現(xiàn)兩角差的三角函數(shù)與圓的旋轉對稱性之間的聯(lián)系.

        突破難點的關鍵:問題串引導與應用信息技術教學.

        四、教學策略分析

        1. 教法分析

        (1)啟發(fā)式方法、探究式方法和基于問題串的教學方法. 本節(jié)課以提升學生的邏輯推理、數(shù)學運算和直觀想象素養(yǎng)為目標.

        (2)啟發(fā)學生從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)和提出問題. 提出問題的前提往往是要“數(shù)學地”發(fā)現(xiàn)問題,就是要用數(shù)學的眼光觀察. 本節(jié)課以“觀察誘導公式,可以發(fā)現(xiàn)它們都是特殊角與任意角[α]的和(或差)的三角函數(shù)與這個任意角[α]的三角函數(shù)的恒等關系. 如果把特殊角換為任意角[β],那么任意角[α]與[β]的和(或差)的三角函數(shù)與角[α]和[β]的三角函數(shù)會有什么關系呢?”為引導語,引出本節(jié)課的主題,激發(fā)學生解決問題的興趣,體現(xiàn)問題解決的自然規(guī)律.

        (3)啟發(fā)學生主動思考探究. 從觀察誘導公式入手,給出了一條觀察情境、提出問題、分析問題和解決問題的線索,讓學生充分感受公式的初步探索過程,讓學生自主探索兩角差的余弦公式. 整體設計體現(xiàn)了“問題引導學習”的理念,把學生的思維活動逐步引向深入,幫助學生在獲得“四基”的過程中,逐步提高“四能”,發(fā)展數(shù)學實踐能力和創(chuàng)新意識,培育科學精神,促進學生學會學習.

        2. 學法分析

        (1)學生采取小組合作探究的學習模式.

        (2)在課堂教學中鼓勵學生獨立思考、發(fā)現(xiàn)問題,通過小組合作、交流分享突破難點,提升學生的合作探究意識,提高學生分析問題和解決問題的能力.

        (3)在課堂教學中始終以學生為核心,教師組織,適時引導,有效提升學生的課堂參與度,使學生經歷完整的知識生成過程.

        3. 教學手段

        本節(jié)課主要應用程序資源,包括PPT、微課視頻、GeoGebra軟件等.

        在課前和課堂上,學生通過觀看教師推送的“兩點間的距離公式”的微課視頻自主學習兩點間的距離公式. 微課能夠將教學中抽象的知識點形象化,讓學生更好地理解知識點,激發(fā)學生的學習興趣. 學生可以反復觀看微課,有效提高學習效率.

        用GeoGebra軟件探究兩角差的余弦公式,感受圓的對稱性與三角函數(shù)之間存在的內在聯(lián)系,在激發(fā)學生的求知欲和學習興趣的同時,提高探究效率,增強學生的動手實踐能力,積累數(shù)學活動經驗,幫助學生直觀感受知識的生成過程.

        五、教學過程設計

        本節(jié)課設計了五個教學環(huán)節(jié),逐步達成教學目標,完成教學任務,如圖1所示.

        教師引言:前期我們學習了誘導公式,利用它們對三角函數(shù)式進行恒等變形,可以達到化簡、求值或證明的目的. 這種利用公式對三角函數(shù)式進行的恒等變形就是三角恒等變換. 接下來,我們繼續(xù)深入學習三角恒等變換.

        1. 知識回顧,引入新知

        復習回顧: [sinπ+α=-sinα]; [cosπ2+α=-sinα];

        [sinπ2-α=cosα];[cosπ-α=-cosα].

        師生活動:復習回顧誘導公式,教師提問,學生回答.

        教師提出:觀察這組誘導公式,我們發(fā)現(xiàn)它們都是特殊角與任意角[α]的和(或差)的三角函數(shù)與角[α]的三角函數(shù)的恒等關系. 現(xiàn)在,我們把公式中的特殊角換為任意角[β],我們發(fā)現(xiàn)它們的共同形式就是兩角和與差的三角函數(shù). 在誘導公式的基礎上,任意角[α]與[β]的和(或差)的三角函數(shù)與角[α 和 β]的三角函數(shù)會有什么關系?和角、差角的三角函數(shù)之間存在著緊密的內在聯(lián)系,因此不必孤立地一一推導這些公式,只要推導出一個公式作為基礎,再利用這種聯(lián)系性,用邏輯推理的方法就可以得到其他公式. 今天,我們選擇兩角差的余弦公式作為基礎開始研究.

        【設計意圖】本環(huán)節(jié)以單元教學為理念,著眼于學生思維的最近發(fā)展區(qū),喚醒學生已學的與所要研究內容相關的認知,將前面學習的誘導公式與兩角和與差的三角函數(shù)建立聯(lián)系,再提出選擇兩角差的余弦公式作為基礎推導其他公式,引入課題. 學生能夠明確學習目的,帶著目標開展學習活動.

        2. 深入分析,探究公式

        活動:如果已知任意角[α,β]的正弦和余弦,探究是否能由此推出角[α-β]的余弦.

        教師引言:根據誘導公式的研究經驗,我們嘗試提出問題. 如果已知任意角[α,β]的正弦和余弦,能由此推出角[α-β]的余弦嗎?要用到哪些研究方法呢?下面回顧我們以往的研究經驗.

        問題1:以誘導公式[cosπ2-α=sinα]為例,你能簡要說明證明過程嗎?

        師生活動:教師提問,讓一名學生上講臺陳述證明過程,教師用PPT展示關鍵證明步驟.

        預設答案:如圖2,作點[P1]關于直線[y=x]的對稱點[P2]. 以[OP2]為終邊的角是與角[π2-α]終邊相同的角. 根據單位圓的對稱性,點[P1x1,y1與]點[P2x2,y2]的坐標之間有等量關系[x1=y2],[y1=x2]. 根據三角函數(shù)的定義,有[cosπ2-α=sinα.]

        問題2:回顧誘導公式的探究思路,我們利用了哪些研究方法?

        預設答案:三角函數(shù)的定義;單位圓;單位圓的特殊對稱性.

        師生活動:教師指出利用單位圓上的點關于原點、坐標軸、直線[y=x]等的對稱性,探究得到了誘導公式.

        追問:大家還記得誘導公式的研究思路嗎?

        師生活動:學生回答. 教師板書總結誘導公式的研究思路(單位圓的特殊對稱性—角與角之間的關系—坐標之間的關系—等量代換—三角函數(shù)的關系).

        【設計意圖】引導學生回顧誘導公式的研究思路,強化用單位圓研究三角函數(shù)問題的意識和習慣,為接下來探究角[α-β]的余弦指明思考方向.

        探究:[cosα-β]與角[α,β]的正弦和余弦之間的關系.

        教師引導:我們借助單位圓定義三角函數(shù),那么角[α,β]的正弦、余弦及[cosα-β]如何表示呢?

        師生活動:教師引導學生根據三角函數(shù)的定義確定在單位圓中需要作出角[α]、角[β]和角[α-β]. 學生利用直尺、圓規(guī)和量角器,通過動手操作,用不同的方法作出角[α-β]. 小組合作探究,教師巡視,深入小組活動,傾聽小組交流,用實物投影將學生的探究結果投影在大屏幕上,讓小組代表陳述本組的探究結果.

        【設計意圖】通過畫圖、辨圖,讓學生發(fā)現(xiàn)問題. 學生上臺展示不同象限的角[α,β]及相應角[α-β]的不同作法. 有助于不斷積累數(shù)學活動經驗,培養(yǎng)學生的直觀想象和邏輯推理等素養(yǎng).

        師生活動:教師用GeoGebra軟件在單位圓中作出更一般的角[α-β],體現(xiàn)角[α-β]的任意性,與學生共同探究公式. 教師指出先研究角[α]和角[β]的終邊不重合,即[α≠2kπ+β],[k∈Z]的情況. 設單位圓與[x]軸的正半軸相交于點[A1,0],以[x]軸的非負半軸為始邊作角[α]、角[β]和角[α-β],它們的終邊分別與單位圓交于點[P1、點A1和點P]. 教師引導學生根據誘導公式的研究思路探究:第一步,利用三角函數(shù)的定義,寫出各點的坐標;第二步,利用圓的旋轉對稱性,得到等量關系[AP=A1P1]. 教師用GeoGebra軟件動態(tài)演示,引導學生觀察,從而發(fā)現(xiàn)在旋轉的過程中對應的弦和弧的長度都沒有發(fā)生變化.

        教師總結:這體現(xiàn)了圓的一個重要的幾何性質,即任意一個圓繞著其圓心旋轉任意角后都與原來的圓重合,這一性質叫做圓的旋轉對稱性.

        【設計意圖】引導學生沿用誘導公式的研究思路,確定利用等量關系[AP=A1P1]推導[cosα-β]的展開式.

        師生活動:教師用GeoGebra軟件演示,改變角[α]和角[β]的終邊的位置,研究其他情形下等量關系[AP=A1P1]是否成立. 學生通過觀察發(fā)現(xiàn)在變化的過程中弦[AP]和弦[A1P1]始終是相等的. 教師引導學生理解其根本原因是圓的旋轉對稱性.

        【設計意圖】利用GeoGebra軟件進行動態(tài)演示,讓學生直觀感受根據圓的旋轉對稱性,無論角[α]和角[β]終邊的位置如何,總有[AP=A1P1]成立,使學生感悟變化過程中的不變性,理解探究過程的一般性. 借助信息技術,可以讓學生直觀感受圓的對稱性與三角函數(shù)的內在聯(lián)系,有助于學生利用圓的旋轉對稱性觀察得到等量關系,突破難點.

        師生活動:利用等量關系[AP=A1P1],推導[cosα-β]的展開式. 知道對應點的坐標,解決[AP]和[A1P1]的距離要用到兩點間的距離公式. 課堂上,師生共同觀看微課視頻“兩點間的距離公式”.

        【設計意圖】微課能夠將教學中抽象的知識點形象化,讓學生更好地理解知識,激發(fā)學生的學習興趣. 學生可以反復觀看微課,有效提高學習效率.

        問題3:利用等量關系[AP=A1P1],結合兩點間的距離公式,能否推導出[cosα-β]的展開式?

        師生活動:學生獨立思考,在筆記本上自行推導. 教師巡視,投影一名學生的推導過程,由學生陳述探究過程和結論.

        問題4:當角[α]和角[β]的終邊重合時,即[α=2kπ+β,][k∈Z],兩角差的余弦的表達式是否仍然成立?

        師生活動:教師提出問題,學生先獨立思考,然后在筆記本上作答. 教師巡視,讓一名學生回答問題.

        【設計意圖】完善探究細節(jié),培養(yǎng)學生敢于質疑、嚴謹求實的科學精神,發(fā)展學生的邏輯推理素養(yǎng).

        師生活動:師生共同總結,得到兩角差的余弦公式. 對于任意角[α,β]有[cosα-β=cosαcosβ+sinαsinβ],

        這個式子稱為差角的余弦公式,簡記作[Cα-β.]

        教師對公式[Cα-β]進行說明:公式中的角[α,β]都是任意角;公式左邊的角是[α-β],右邊的角是[α]和[β];公式左邊的符號是“[-]”,右邊的符號是“[+]”;公式的結構特征.

        【設計意圖】公式的推導是發(fā)展學生邏輯推理素養(yǎng)的載體. 邏輯推理是得到數(shù)學結論、構建數(shù)學體系的重要方式,是數(shù)學嚴謹性的基本保證.

        3. 學以致用,解決問題

        教師引言:下面,讓我們學以致用,解決一道數(shù)學問題.

        例1 ?利用公式[Cα-β]證明:

        (1)[cosπ2-α=sinα];

        (2)[cosπ-α=-cosα].

        師生活動:學生獨立思考,在筆記本上作答,教師將學生的答案投影到大屏幕上,學生陳述證明過程.

        師生共同小結:前面,我們利用單位圓的特殊對稱性證明了誘導公式. 現(xiàn)在我們學習了更一般化的公式——兩角差的余弦公式,也能通過證明得到誘導公式.

        活動:探究利用兩角差的余弦公式還能得到哪些公式或者非特殊角(除30°,45°,60°等特殊角以外的角)的余弦值.

        師生活動:學生小組探究,小組代表展示探究結果,如圖3和圖4所示.

        【設計意圖】例1是兩角差的余弦公式的應用,說明了誘導公式與兩角差的余弦公式之間的特殊與一般的關系. 設置的探究活動具有一定的開放性,引導學生自主探究,進一步體會兩角差的余弦公式是誘導公式的一般化表達,提升學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和解決問題的能力.

        例2 ?已知[sinα=45,α∈π2,π,cosβ=-513],[β]是第三象限角,求[cosα-β]的值.

        師生活動:教師讓一名學生在黑板上作答,其他學生在筆記本上作答. 教師規(guī)范學生的解題格式,然后與學生共同總結這類題目的解題步驟.

        解題步驟:第一步,確定需要用哪個公式解題;第二步,與公式相比較,觀察題目的形式特點,確定需要求出哪些值;第三步,根據第二步得到的方案先求值,再代入,解決問題.

        【設計意圖】通過簡單的應用,使學生初步熟記公式,掌握公式的結構形式和功能. 訓練學生有序的思維習慣,發(fā)展學生的數(shù)學運算素養(yǎng),培養(yǎng)學生程序化的思維習慣. 教師規(guī)范解題格式,展示數(shù)學的嚴謹性.

        4. 反饋練習,知識檢測

        練習1:利用兩角差的余弦公式求值:[cos72°cos12°+][sin72°sin12°].

        師生活動:學生獨立完成求解,在筆記本上作答. 教師巡視,讓一名學生回答問題.

        【設計意圖】練習1是簡單的公式反用. 要求學生能夠從正反兩個方向使用公式,對公式要有更全面、深刻的理解,目的在于培養(yǎng)學生的逆向思維及思維的靈活性.

        練習2:已知[cosα=-35,α∈π2,π,] 求[cosπ4-α]的值.

        練習3:已知[sinθ=1517,θ]是第二象限角,求[cosθ-π3]的值.

        師生活動:學生獨立完成,教師巡視.

        【設計意圖】通過知識檢測,了解學生對知識的理解和掌握情況,為教學評價提供依據.

        5. 小結提升,布置作業(yè)

        師生共同回顧、梳理、總結本節(jié)課所學的數(shù)學知識和思想方法.

        師生活動:教師提問,學生小組討論、回答,相互補充. 讓學生梳理本節(jié)課的知識收獲(兩角差的余弦公式)和原理(利用圓的旋轉對稱性探究公式);讓學生體會應用的數(shù)學思想方法(數(shù)形結合、轉化與化歸、特殊與一般).

        【設計意圖】讓學生回味本節(jié)課生成的知識和應用的方法,積累數(shù)學知識和活動經驗,培養(yǎng)學生歸納總結的能力,強化學生的思維發(fā)展.

        (1)課時作業(yè).

        作業(yè)1:已知[sinα=-23,α∈π, 3π2,] [cosβ=34,][β∈3π2,2π],求[cosβ-α]的值.(教材第217頁練習5.)

        作業(yè)2:已知[sinα=23,cosβ=-34,α∈π2,π,] [β∈π, 3π2],求[cosα-β]的值.(教材第228頁習題5.5的第1題.)

        作業(yè)3:繼續(xù)借助公式[Cα-β]推導其他公式或結論.

        作業(yè)4:查閱資料探究兩角差的余弦公式的其他證明方法.

        (2)單元作業(yè).

        作業(yè)5:以小組為單位,完成一份研究性學習作業(yè). 對比前面學習的誘導公式,體會本節(jié)課推導兩角差的余弦公式. 我們不難發(fā)現(xiàn):以單位圓的幾何性質為載體,研究三角函數(shù)的性質(即公式)的方法是個大概念. 據此,試利用所給圖形(如圖5),證明下列兩個等式.

        (1)[12sinα+sinβ=sinα+β2cosα-β2];

        (2)[12cosα+cosβ=cosα+β2cosα-β2].

        【設計意圖】作業(yè)分為課時作業(yè)和單元作業(yè). 課時作業(yè)1和課時作業(yè)2落實公式的應用,強化基礎知識和基本技能;課時作業(yè)3繼續(xù)探究活動,引導學生深入體會兩角差的余弦公式是誘導公式的一般化表達,加深學生對公式的理解,培養(yǎng)學生的邏輯推理素養(yǎng);課時作業(yè)4培養(yǎng)學生從多維角度思考問題,增強創(chuàng)新意識. 單元作業(yè)幫助學生體會本節(jié)課內容所體現(xiàn)的大概念——以單位圓的幾何性質為載體研究三角函數(shù)的性質(即公式). 強化學生用單位圓研究三角函數(shù)問題的意識和習慣,幫助學生體會數(shù)形結合思想,使他們學會用數(shù)形結合思想思考和解決問題. 優(yōu)化作業(yè)設計,實現(xiàn)“減負提質”“減負增效”,發(fā)揮作業(yè)的育人功能.

        六、板書設計

        本節(jié)課的板書設計,如圖6所示.

        參考文獻:

        [1]中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學課程標準(2017年版2020年修訂)[M]. 北京:人民教育出版社,2020.

        [2]史寧中,王尚志.《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版2020年修訂)》解讀[M]. 北京:高等教育出版社,2020.

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