張紫茵

摘 ?要：在單元背景下，“兩角差的余弦公式”一課沿用誘導公式的研究思路，利用單位圓的幾何性質，探究兩角差的余弦公式.

關鍵詞：兩角差的余弦；單位圓；單位圓的旋轉對稱性

一、教學內容解析

1. 教學內容

本節(jié)課的主要內容是兩角差的余弦公式的推導及運用.

2. 內容解析

本節(jié)課選自人教A版《普通高中教科書·數(shù)學》必修第一冊（以下統(tǒng)稱“教材”）第五章“三角函數(shù)”的“5.5.1 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式”，用時1課時.

從內容來看，“5.5 三角恒等變換”分為三部分：兩角和與差的正弦、余弦和正切公式；二倍角的正弦、余弦和正切公式；簡單的三角恒等變換. 這一內容展開的順序如下. 首先，在推導公式的過程中，先利用圓的旋轉對稱性推導兩角差的余弦公式，然后導出兩角和與差的正弦、余弦和正切公式，進而導出二倍角的正弦、余弦和正切公式；其次，在公式變換應用的過程中，通過解答例題，促使學生學會選擇公式，體會換元、逆向思維等數(shù)學方法，進一步理解變換思想，提高學生的推理能力和數(shù)學運算素養(yǎng). 這樣，以單位圓的幾何直觀為紐帶，將三角恒等變換與整個三角函數(shù)內容融為一體.

“兩角差的余弦公式”是“三角恒等變換”這一單元學習的基礎和出發(fā)點. 觀察前面學習的誘導公式，可以發(fā)現(xiàn)它們都是特殊角與任意角[α]的和（或差）的三角函數(shù)與這個任意角[α]的三角函數(shù)的恒等關系. 由此推理，利用圓的相關性質也一定能推出任意角[α]與[β]之間的三角恒等變換關系. 從特殊到一般，建立誘導公式與兩角差的余弦公式的聯(lián)系.

對于兩角差的余弦公式，教材利用單位圓的旋轉對稱性（任意一個圓繞著其圓心旋轉任意角后都與原來的圓重合）進行推導. 首先，設單位圓與x軸的正半軸相交于點A，以單位圓的圓心為頂點、[x]軸的非負半軸為始邊畫出角[α，β]，[α-β]；其次，根據三角函數(shù)的定義寫出角[α，β]，[α-β]的始邊和終邊與單位圓的交點[P1，A1，P]的坐標；再次，利用圓的旋轉對稱性，得到等量關系[AP=][A1P1]；最后，根據兩點間的距離公式得到兩角差的余弦公式. 三角恒等變換中的差角公式充分利用了圓的旋轉對稱性，這也是本章利用單位圓的性質研究三角函數(shù)性質的通法.

本節(jié)課中蘊含著豐富的數(shù)學思想方法，突出體現(xiàn)了數(shù)形結合、轉化與化歸、特殊與一般的思想，以及利用單位圓的性質研究三角函數(shù)性質的方法.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學重點是利用圓的旋轉對稱性推導兩角差的余弦公式.

二、教學目標設置

本節(jié)課的教學目標設置如下.

（1）回顧誘導公式，觀察誘導公式的結構特征，將特殊角換為任意角，提出一般性問題，引出研究兩角差的余弦公式的必要性. 經歷推導兩角差的余弦公式的過程，知道兩角差的余弦公式的意義，提高發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力.

（2）借助信息技術手段，利用單位圓的旋轉對稱性探究公式，感受數(shù)形結合、轉化與化歸、特殊與一般的數(shù)學思想，提升思維的有序性，發(fā)展邏輯推理、數(shù)學運算和直觀想象等素養(yǎng)，培育科學精神.

（3）通過公式應用，初步熟記公式，掌握公式的結構形式和功能，體會正向、逆向使用公式等數(shù)學思想方法，進一步理解變換思想，培養(yǎng)程序化思考問題的品質，提高推理能力，發(fā)展數(shù)學運算素養(yǎng).

（4）通過單元作業(yè)，強化用單位圓研究三角函數(shù)問題的意識和習慣，體會數(shù)形結合思想，學會用數(shù)形結合思想思考和解決問題.

三、學生學情分析

學生在知識結構上已經學習了三角函數(shù)的概念、誘導公式、三角函數(shù)的性質，知道單位圓是研究三角函數(shù)的重要工具，這為學生研究兩角差的余弦公式提供了理論基礎和探究方向.

學生在能力水平上已經具備一定的抽象概括能力、邏輯推理能力及轉化和分析問題的能力，但是如何使學生將已有的知識成功遷移到新知識的學習中，如何利用圓的旋轉對稱性得到兩角差的余弦公式，從而提高學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力，實現(xiàn)學習方式的轉變，這是本節(jié)課需要突破的.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學難點為發(fā)現(xiàn)兩角差的三角函數(shù)與圓的旋轉對稱性之間的聯(lián)系.

突破難點的關鍵：問題串引導與應用信息技術教學.

四、教學策略分析

1. 教法分析

（1）啟發(fā)式方法、探究式方法和基于問題串的教學方法. 本節(jié)課以提升學生的邏輯推理、數(shù)學運算和直觀想象素養(yǎng)為目標.

（2）啟發(fā)學生從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)和提出問題. 提出問題的前提往往是要“數(shù)學地”發(fā)現(xiàn)問題，就是要用數(shù)學的眼光觀察. 本節(jié)課以“觀察誘導公式，可以發(fā)現(xiàn)它們都是特殊角與任意角[α]的和（或差）的三角函數(shù)與這個任意角[α]的三角函數(shù)的恒等關系. 如果把特殊角換為任意角[β]，那么任意角[α]與[β]的和（或差）的三角函數(shù)與角[α]和[β]的三角函數(shù)會有什么關系呢？”為引導語，引出本節(jié)課的主題，激發(fā)學生解決問題的興趣，體現(xiàn)問題解決的自然規(guī)律.

（3）啟發(fā)學生主動思考探究. 從觀察誘導公式入手，給出了一條觀察情境、提出問題、分析問題和解決問題的線索，讓學生充分感受公式的初步探索過程，讓學生自主探索兩角差的余弦公式. 整體設計體現(xiàn)了“問題引導學習”的理念，把學生的思維活動逐步引向深入，幫助學生在獲得“四基”的過程中，逐步提高“四能”，發(fā)展數(shù)學實踐能力和創(chuàng)新意識，培育科學精神，促進學生學會學習.

2. 學法分析

（1）學生采取小組合作探究的學習模式.

（2）在課堂教學中鼓勵學生獨立思考、發(fā)現(xiàn)問題，通過小組合作、交流分享突破難點，提升學生的合作探究意識，提高學生分析問題和解決問題的能力.

（3）在課堂教學中始終以學生為核心，教師組織，適時引導，有效提升學生的課堂參與度，使學生經歷完整的知識生成過程.

3. 教學手段

本節(jié)課主要應用程序資源，包括PPT、微課視頻、GeoGebra軟件等.

在課前和課堂上，學生通過觀看教師推送的“兩點間的距離公式”的微課視頻自主學習兩點間的距離公式. 微課能夠將教學中抽象的知識點形象化，讓學生更好地理解知識點，激發(fā)學生的學習興趣. 學生可以反復觀看微課，有效提高學習效率.

用GeoGebra軟件探究兩角差的余弦公式，感受圓的對稱性與三角函數(shù)之間存在的內在聯(lián)系，在激發(fā)學生的求知欲和學習興趣的同時，提高探究效率，增強學生的動手實踐能力，積累數(shù)學活動經驗，幫助學生直觀感受知識的生成過程.

五、教學過程設計

本節(jié)課設計了五個教學環(huán)節(jié)，逐步達成教學目標，完成教學任務，如圖1所示.

教師引言：前期我們學習了誘導公式，利用它們對三角函數(shù)式進行恒等變形，可以達到化簡、求值或證明的目的. 這種利用公式對三角函數(shù)式進行的恒等變形就是三角恒等變換. 接下來，我們繼續(xù)深入學習三角恒等變換.

1. 知識回顧，引入新知

復習回顧： [sinπ+α=-sinα]； [cosπ2+α=-sinα]；

[sinπ2-α=cosα]；[cosπ-α=-cosα].

師生活動：復習回顧誘導公式，教師提問，學生回答.

教師提出：觀察這組誘導公式，我們發(fā)現(xiàn)它們都是特殊角與任意角[α]的和（或差）的三角函數(shù)與角[α]的三角函數(shù)的恒等關系. 現(xiàn)在，我們把公式中的特殊角換為任意角[β]，我們發(fā)現(xiàn)它們的共同形式就是兩角和與差的三角函數(shù). 在誘導公式的基礎上，任意角[α]與[β]的和（或差）的三角函數(shù)與角[α 和 β]的三角函數(shù)會有什么關系？和角、差角的三角函數(shù)之間存在著緊密的內在聯(lián)系，因此不必孤立地一一推導這些公式，只要推導出一個公式作為基礎，再利用這種聯(lián)系性，用邏輯推理的方法就可以得到其他公式. 今天，我們選擇兩角差的余弦公式作為基礎開始研究.

【設計意圖】本環(huán)節(jié)以單元教學為理念，著眼于學生思維的最近發(fā)展區(qū)，喚醒學生已學的與所要研究內容相關的認知，將前面學習的誘導公式與兩角和與差的三角函數(shù)建立聯(lián)系，再提出選擇兩角差的余弦公式作為基礎推導其他公式，引入課題. 學生能夠明確學習目的，帶著目標開展學習活動.

2. 深入分析，探究公式

活動：如果已知任意角[α，β]的正弦和余弦，探究是否能由此推出角[α-β]的余弦.

教師引言：根據誘導公式的研究經驗，我們嘗試提出問題. 如果已知任意角[α，β]的正弦和余弦，能由此推出角[α-β]的余弦嗎？要用到哪些研究方法呢？下面回顧我們以往的研究經驗.

問題1：以誘導公式[cosπ2-α=sinα]為例，你能簡要說明證明過程嗎？

師生活動：教師提問，讓一名學生上講臺陳述證明過程，教師用PPT展示關鍵證明步驟.

預設答案：如圖2，作點[P1]關于直線[y=x]的對稱點[P2]. 以[OP2]為終邊的角是與角[π2-α]終邊相同的角. 根據單位圓的對稱性，點[P1x1，y1與]點[P2x2，y2]的坐標之間有等量關系[x1=y2]，[y1=x2]. 根據三角函數(shù)的定義，有[cosπ2-α=sinα.]

問題2：回顧誘導公式的探究思路，我們利用了哪些研究方法？

預設答案：三角函數(shù)的定義；單位圓；單位圓的特殊對稱性.

師生活動：教師指出利用單位圓上的點關于原點、坐標軸、直線[y=x]等的對稱性，探究得到了誘導公式.

追問：大家還記得誘導公式的研究思路嗎？

師生活動：學生回答. 教師板書總結誘導公式的研究思路（單位圓的特殊對稱性—角與角之間的關系—坐標之間的關系—等量代換—三角函數(shù)的關系）.

【設計意圖】引導學生回顧誘導公式的研究思路，強化用單位圓研究三角函數(shù)問題的意識和習慣，為接下來探究角[α-β]的余弦指明思考方向.

探究：[cosα-β]與角[α，β]的正弦和余弦之間的關系.

教師引導：我們借助單位圓定義三角函數(shù)，那么角[α，β]的正弦、余弦及[cosα-β]如何表示呢？

師生活動：教師引導學生根據三角函數(shù)的定義確定在單位圓中需要作出角[α]、角[β]和角[α-β]. 學生利用直尺、圓規(guī)和量角器，通過動手操作，用不同的方法作出角[α-β]. 小組合作探究，教師巡視，深入小組活動，傾聽小組交流，用實物投影將學生的探究結果投影在大屏幕上，讓小組代表陳述本組的探究結果.

【設計意圖】通過畫圖、辨圖，讓學生發(fā)現(xiàn)問題. 學生上臺展示不同象限的角[α，β]及相應角[α-β]的不同作法. 有助于不斷積累數(shù)學活動經驗，培養(yǎng)學生的直觀想象和邏輯推理等素養(yǎng).

師生活動：教師用GeoGebra軟件在單位圓中作出更一般的角[α-β]，體現(xiàn)角[α-β]的任意性，與學生共同探究公式. 教師指出先研究角[α]和角[β]的終邊不重合，即[α≠2kπ+β]，[k∈Z]的情況. 設單位圓與[x]軸的正半軸相交于點[A1，0]，以[x]軸的非負半軸為始邊作角[α]、角[β]和角[α-β]，它們的終邊分別與單位圓交于點[P1、點A1和點P]. 教師引導學生根據誘導公式的研究思路探究：第一步，利用三角函數(shù)的定義，寫出各點的坐標；第二步，利用圓的旋轉對稱性，得到等量關系[AP=A1P1]. 教師用GeoGebra軟件動態(tài)演示，引導學生觀察，從而發(fā)現(xiàn)在旋轉的過程中對應的弦和弧的長度都沒有發(fā)生變化.

教師總結：這體現(xiàn)了圓的一個重要的幾何性質，即任意一個圓繞著其圓心旋轉任意角后都與原來的圓重合，這一性質叫做圓的旋轉對稱性.

【設計意圖】引導學生沿用誘導公式的研究思路，確定利用等量關系[AP=A1P1]推導[cosα-β]的展開式.

師生活動：教師用GeoGebra軟件演示，改變角[α]和角[β]的終邊的位置，研究其他情形下等量關系[AP=A1P1]是否成立. 學生通過觀察發(fā)現(xiàn)在變化的過程中弦[AP]和弦[A1P1]始終是相等的. 教師引導學生理解其根本原因是圓的旋轉對稱性.

【設計意圖】利用GeoGebra軟件進行動態(tài)演示，讓學生直觀感受根據圓的旋轉對稱性，無論角[α]和角[β]終邊的位置如何，總有[AP=A1P1]成立，使學生感悟變化過程中的不變性，理解探究過程的一般性. 借助信息技術，可以讓學生直觀感受圓的對稱性與三角函數(shù)的內在聯(lián)系，有助于學生利用圓的旋轉對稱性觀察得到等量關系，突破難點.

師生活動：利用等量關系[AP=A1P1]，推導[cosα-β]的展開式. 知道對應點的坐標，解決[AP]和[A1P1]的距離要用到兩點間的距離公式. 課堂上，師生共同觀看微課視頻“兩點間的距離公式”.

【設計意圖】微課能夠將教學中抽象的知識點形象化，讓學生更好地理解知識，激發(fā)學生的學習興趣. 學生可以反復觀看微課，有效提高學習效率.

問題3：利用等量關系[AP=A1P1]，結合兩點間的距離公式，能否推導出[cosα-β]的展開式？

師生活動：學生獨立思考，在筆記本上自行推導. 教師巡視，投影一名學生的推導過程，由學生陳述探究過程和結論.

問題4：當角[α]和角[β]的終邊重合時，即[α=2kπ+β，][k∈Z]，兩角差的余弦的表達式是否仍然成立？

師生活動：教師提出問題，學生先獨立思考，然后在筆記本上作答. 教師巡視，讓一名學生回答問題.

【設計意圖】完善探究細節(jié)，培養(yǎng)學生敢于質疑、嚴謹求實的科學精神，發(fā)展學生的邏輯推理素養(yǎng).

師生活動：師生共同總結，得到兩角差的余弦公式. 對于任意角[α，β]有[cosα-β=cosαcosβ+sinαsinβ]，

這個式子稱為差角的余弦公式，簡記作[Cα-β.]

教師對公式[Cα-β]進行說明：公式中的角[α，β]都是任意角；公式左邊的角是[α-β]，右邊的角是[α]和[β]；公式左邊的符號是“[-]”，右邊的符號是“[+]”；公式的結構特征.

【設計意圖】公式的推導是發(fā)展學生邏輯推理素養(yǎng)的載體. 邏輯推理是得到數(shù)學結論、構建數(shù)學體系的重要方式，是數(shù)學嚴謹性的基本保證.

3. 學以致用，解決問題

教師引言：下面，讓我們學以致用，解決一道數(shù)學問題.

例1 ?利用公式[Cα-β]證明：

（1）[cosπ2-α=sinα]；

（2）[cosπ-α=-cosα].

師生活動：學生獨立思考，在筆記本上作答，教師將學生的答案投影到大屏幕上，學生陳述證明過程.

師生共同小結：前面，我們利用單位圓的特殊對稱性證明了誘導公式. 現(xiàn)在我們學習了更一般化的公式——兩角差的余弦公式，也能通過證明得到誘導公式.

活動：探究利用兩角差的余弦公式還能得到哪些公式或者非特殊角（除30°，45°，60°等特殊角以外的角）的余弦值.

師生活動：學生小組探究，小組代表展示探究結果，如圖3和圖4所示.

【設計意圖】例1是兩角差的余弦公式的應用，說明了誘導公式與兩角差的余弦公式之間的特殊與一般的關系. 設置的探究活動具有一定的開放性，引導學生自主探究，進一步體會兩角差的余弦公式是誘導公式的一般化表達，提升學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和解決問題的能力.

例2 ?已知[sinα=45，α∈π2，π，cosβ=-513]，[β]是第三象限角，求[cosα-β]的值.

師生活動：教師讓一名學生在黑板上作答，其他學生在筆記本上作答. 教師規(guī)范學生的解題格式，然后與學生共同總結這類題目的解題步驟.

解題步驟：第一步，確定需要用哪個公式解題；第二步，與公式相比較，觀察題目的形式特點，確定需要求出哪些值；第三步，根據第二步得到的方案先求值，再代入，解決問題.

【設計意圖】通過簡單的應用，使學生初步熟記公式，掌握公式的結構形式和功能. 訓練學生有序的思維習慣，發(fā)展學生的數(shù)學運算素養(yǎng)，培養(yǎng)學生程序化的思維習慣. 教師規(guī)范解題格式，展示數(shù)學的嚴謹性.

4. 反饋練習，知識檢測

練習1：利用兩角差的余弦公式求值：[cos72°cos12°+][sin72°sin12°].

師生活動：學生獨立完成求解，在筆記本上作答. 教師巡視，讓一名學生回答問題.

【設計意圖】練習1是簡單的公式反用. 要求學生能夠從正反兩個方向使用公式，對公式要有更全面、深刻的理解，目的在于培養(yǎng)學生的逆向思維及思維的靈活性.

練習2：已知[cosα=-35，α∈π2，π，] 求[cosπ4-α]的值.

練習3：已知[sinθ=1517，θ]是第二象限角，求[cosθ-π3]的值.

師生活動：學生獨立完成，教師巡視.

【設計意圖】通過知識檢測，了解學生對知識的理解和掌握情況，為教學評價提供依據.

5. 小結提升，布置作業(yè)

師生共同回顧、梳理、總結本節(jié)課所學的數(shù)學知識和思想方法.

師生活動：教師提問，學生小組討論、回答，相互補充. 讓學生梳理本節(jié)課的知識收獲（兩角差的余弦公式）和原理（利用圓的旋轉對稱性探究公式）；讓學生體會應用的數(shù)學思想方法（數(shù)形結合、轉化與化歸、特殊與一般）.

【設計意圖】讓學生回味本節(jié)課生成的知識和應用的方法，積累數(shù)學知識和活動經驗，培養(yǎng)學生歸納總結的能力，強化學生的思維發(fā)展.

（1）課時作業(yè).

作業(yè)1：已知[sinα=-23，α∈π， 3π2，] [cosβ=34，][β∈3π2，2π]，求[cosβ-α]的值.（教材第217頁練習5.）

作業(yè)2：已知[sinα=23，cosβ=-34，α∈π2，π，] [β∈π， 3π2]，求[cosα-β]的值.（教材第228頁習題5.5的第1題.）

作業(yè)3：繼續(xù)借助公式[Cα-β]推導其他公式或結論.

作業(yè)4：查閱資料探究兩角差的余弦公式的其他證明方法.

（2）單元作業(yè).

作業(yè)5：以小組為單位，完成一份研究性學習作業(yè). 對比前面學習的誘導公式，體會本節(jié)課推導兩角差的余弦公式. 我們不難發(fā)現(xiàn)：以單位圓的幾何性質為載體，研究三角函數(shù)的性質（即公式）的方法是個大概念. 據此，試利用所給圖形（如圖5），證明下列兩個等式.

（1）[12sinα+sinβ=sinα+β2cosα-β2]；

（2）[12cosα+cosβ=cosα+β2cosα-β2].

【設計意圖】作業(yè)分為課時作業(yè)和單元作業(yè). 課時作業(yè)1和課時作業(yè)2落實公式的應用，強化基礎知識和基本技能；課時作業(yè)3繼續(xù)探究活動，引導學生深入體會兩角差的余弦公式是誘導公式的一般化表達，加深學生對公式的理解，培養(yǎng)學生的邏輯推理素養(yǎng)；課時作業(yè)4培養(yǎng)學生從多維角度思考問題，增強創(chuàng)新意識. 單元作業(yè)幫助學生體會本節(jié)課內容所體現(xiàn)的大概念——以單位圓的幾何性質為載體研究三角函數(shù)的性質（即公式）. 強化學生用單位圓研究三角函數(shù)問題的意識和習慣，幫助學生體會數(shù)形結合思想，使他們學會用數(shù)形結合思想思考和解決問題. 優(yōu)化作業(yè)設計，實現(xiàn)“減負提質”“減負增效”，發(fā)揮作業(yè)的育人功能.

六、板書設計

本節(jié)課的板書設計，如圖6所示.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］史寧中，王尚志.《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》解讀［M］. 北京：高等教育出版社，2020.