許 超

（南通職業(yè)大學 數學教研室， 江蘇 南通 226007）

0 引 言

設閉區(qū)域D 由分段光滑的曲線L 圍成，若函數P（x，y）與Q（x，y）在D 上具有一階連續(xù)偏導數，則有等式

成立，其中C 是D 的正向邊界曲線[1]，這就是高等數學中著名的格林公式。

格林公式刻畫了平面閉區(qū)域上二重積分與邊界上曲線積分之間的內在關聯，是繼牛頓—萊布尼茨公式之后，向高維情形下的高斯公式及斯托克斯公式推廣的一個臺階，在數學、物理等多個領域有著廣泛應用[2]。

要求P（x，y）與Q（x，y）在包含了邊界曲線C的整個閉區(qū)域D 上偏導數連續(xù)，這是一個很強的條件，限制了格林公式的適用范圍。事實上，該條件又是非必要的，所以存在一定的改進空間。本文通過從D 的邊界到內部逐步減弱條件，嘗試拓寬格林公式（1）成立的范圍，以期在理論上得到一定改進，同時也為格林公式的教學提供更多具有拓展性和啟發(fā)性的范例。

1 基本思路

格林公式（1）成立的前提是等號的兩端都可積。左端曲線積分的存在只需要“P 與Q 在C 上連續(xù)”即可，甚至還可減弱到“在C 上有界且除有限個點外處處連續(xù)”。這樣去除D 在邊界C 上的可導性，右端為廣義重積分[3]，即通過內含區(qū)域逐步逼近區(qū)域D 來實現的重積分[4]。如果式（1）右端的廣義重積分收斂，格林公式仍成立，進一步在D 的內部，利用零面積集上任何二重積分均為零的性質[5]，還可將條件降低為“在D 內除有限個點及有限條是零面積集的曲線外偏導數連續(xù)”。這里，零面積集指一個平面點集K，對任意ε ＞0，存在有限個閉矩形I（i1≤i≤m），使得并有，這里σ（I）i是閉矩形Ii的面積。顯然，由有限個點及有限條零面積曲線組成的點集是零面積集。

如果在閉區(qū)域D 上P（x，y）與Q（x，y）不滿足偏導數連續(xù)條件的點集是零面積集K，由于，則有dxdy。

2 基本事實

首先將（1）式左端曲線積分的可積條件降低為被積函數連續(xù)，右端則變成收斂的廣義重積分，這時有：

引理1 設開區(qū)域D 由分段光滑的閉曲線C圍成，若

Ⅰ.區(qū)域D 內存在一點M（a，b），使M 點出發(fā)的任一射線與邊界C 的交點有且僅有一個；

成立。其中曲線積分取閉曲線C 的正向。

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證明設閉曲線C 的方程為x=φ（t），y=ψ（t），α≤t≤β，函數φ（t）和ψ（t）有連續(xù)導數。作閉曲線c（λ），其方程為

顯然，λ=0 時，x（t，0）= φ（t），y（t，0）= ψ（t）；0 ＜λ≤1 時，對每一個t∈[α，β]，曲線c（λ）上的點恰處于M 點和曲線C 相應點的連線段上，因而由條件Ⅰ，曲線c（λ）完全落在區(qū)域D 內，設其所圍區(qū)域為D（λ）。當λ→0 時，區(qū)域D（λ）擴展而趨于區(qū)域D 內，由條件Ⅲ

在區(qū)域為D（λ）上可以應用格林公式（1），同時利用曲線c（λ）的方程，有

式（3）右端是含參變量λ 的定積分，由函數φ（t）、ψ（t）的連續(xù)可導性及P、Q 的連續(xù)性知，被積函數在α≤t≤β，0 ≤λ≤1 時連續(xù)，因此該積分關于λ 連續(xù)。在式（3）中令λ→0，可得

上式右端的定積分恰等于式（2）左端的曲線積分。

當曲線C 分段光滑，即函數φ（t）、ψ（t）分段有連續(xù)導數時，式（3）可化為分段積分，取極限后仍得格林公式。證畢。

如果區(qū)域D 不是滿足條件Ⅰ的簡單區(qū)域，則可引進幾條輔助線將D 分成有限個簡單的部分區(qū)域，在每個區(qū)域上應用公式（2），然后相加，仍能證得結論?？梢姼窳止剑?）對復雜區(qū)域也成立。

引理2 設開區(qū)域D 由分段光滑的閉曲線C圍成，函數P（x，y）、Q（x，y）在=DUC 上連續(xù)。在D 內除有限個點及有限條零面積曲線外，具有一階連續(xù)偏導數，則當式（2）右端的廣義重積分收斂時，格林公式（2）成立。

證明在D 內作一條或數條曲線，使這些曲線經過所有的不可導點，這些曲線將D 分成有限個部分區(qū)域。由于不具有一階連續(xù)偏導數的點集均為零面積集，所以在各部分區(qū)域上均可分別應用格林公式（2），然后相加即可得證。證畢。

3 主要結論

在上述兩個引理的基礎上，進一步放寬要求P（x，y）、Q（x，y）在邊界曲線連續(xù)的條件，得到了本文的主要結論。

定理3 設開區(qū)域D 由分段光滑的閉曲線C圍成，函數P（x，y）、Q（x，y）在= DUC 上有界并且除有限個點外連續(xù)，在D 內除有限個點及有限條零面積曲線外具有連續(xù)的一階偏導數，則當式（2）右端的廣義重積分收斂時，格林公式（2）成立。

證明只考慮在一個點M（a，b）處不連續(xù)。對于多個點不連續(xù)，可以類似證明。當M 在區(qū)域D內時，以M 為圓心作圓C（ε）：x = a + εcos t，y = b +εsint，0 ≤t≤2π，半徑ε 充分小使該圓完全包含在D 內，設區(qū)域D 挖去圓域后得區(qū)域D（ε）。對D（ε）應用格林公式得

即可得到式（2）。現在證明式（4）。

ε→0 時，上式右端趨于零，式（4）成立。

當不連續(xù)點M 在邊界C 上時，同樣在D 內挖去圓域，這時曲線C（ε）表示圓在D 內的部分。顯然，估計式中的積分區(qū)間變小，因而估計式仍成立。當然這時公式（2）左端是廣義的曲線積分，可以通過曲線上點的逼近來實現。證畢。

從定理3 的證明中看出，函數P、Q 的有界性條件，可以用式（4）來代替，而且式中的曲線C（ε）不必是圓，只要向M 點無限收縮即可。

4 結 語

格林公式在數學和力學等多個領域有著廣泛的應用，盡量減少對使得公式成立的條件限制，顯然有助于擴大其應用范圍。本文對函數P、Q 的條件作了一定的改進。需要注意的是，本文的引理和定理都要求式（2）右端的廣義重積分收斂或者被積函數有界，這個條件是不能去除的。此外，對曲線C 的形狀與光滑性都不必有所限制，只要C 是可求長的閉曲線，格林公式便成立，這說明使得格林公式成立的條件還有一定的改進空間。

格林公式是大多本科理工專業(yè)高等數學教學的重要內容。引導學生嘗試改進一些類似于格林公式等定理成立的條件，尋找不滿足條件的反例，對培養(yǎng)他們拓展性思維和探索精神都是有益的。