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        基于思維導(dǎo)圖的高考試題解法研究
        ——2022全國甲卷文科數(shù)學(xué)第20題的探究

        2023-04-15 06:21:05代錦春
        中學(xué)數(shù)學(xué) 2023年3期
        關(guān)鍵詞:切點切線圖象

        代錦春

        ?云南師范大學(xué)附屬世紀(jì)金源學(xué)校

        代紅軍

        ?昆明市官渡區(qū)第六中學(xué)

        朱俊霖

        ?西南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院

        1 題目呈現(xiàn)

        (2022全國甲卷文科數(shù)學(xué)第20題)已知函數(shù)f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲線y=f(x)在點(x1,f(x1))處的切線也是曲線y=g(x)的切線.

        (1)若x1=-1,求a;

        (2)求a的取值范圍.

        2 解析

        本題第(1)(2)問分析及解答過程如下.

        對于第(1)問,已知函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)的公切線與f(x)切點的橫坐標(biāo)為x1=-1,可以從以下三個角度求參數(shù)a的值. 角度一,寫出f(x)在x1=-1處的切線,可以選擇聯(lián)立切線方程與y=g(x),借助Δ=0求a;也可以借助兩函數(shù)在兩切點處的導(dǎo)函數(shù)值相等,建立x1=-1與x2的關(guān)系式,再由切點(x2,y2)同在切線與函數(shù)g(x)上,建立a的方程求a.角度二,設(shè)出g(x)在點(x2,y2)處的切線,先探究x1=-1與x2的關(guān)系,再由切點(-1,0)在切線上,建立關(guān)于a的方程求a.角度三,分別用f(x)與g(x)的切點表示公切線,根據(jù)兩切線斜率相等、截距相等構(gòu)建關(guān)于x2與a的二元方程組,從而解出a的值.相應(yīng)的思維導(dǎo)圖如圖1所示.

        圖1

        角度一:寫出f(x)在x1=-1處的切線.

        解法2-1:由f′(-1)=2,可知f(x)在x1=-1處切線l的方程為y=2(x+1).

        因為切線l與曲線y=g(x)相切于點(x2,y2),所以g′(x2)=f′(-1),即2x2=2,得x2=1.

        由于點(x2,y2)同在切線l與曲線y=g(x)上,故將點(x2,y2)代入l的方程,得y2=2(x2+1)=4.

        因此g(x)與l相切于點(1,4),代入y=g(x),得4=12+a,解得a=3.

        角度二:設(shè)出g(x)在切點(x2,y2)處的切線.

        由切線l與曲線y=f(x)相切于點(-1,0),得f′(-1)=g′(x2),即2=2x2,則x2=1,從而l:y-(1+a)=2(x-1).再由點(-1,0)在切線l上,將點(-1,0)代入直線l,解得a=3.

        角度三:分別用f(x)和g(x)的切點表示公切線.

        解法4:f(x)在x1=-1處的切線l方程為

        y=2(x+1). ①

        點評:解法1中利用Δ=0來構(gòu)建關(guān)于a的方程求a,僅適用于g(x)為二次函數(shù),具有一定的特殊性.在處理公切線問題時,常常借助兩函數(shù)在各自切點處的導(dǎo)函數(shù)值即為公切線的斜率,從而得到兩切點橫坐標(biāo)的關(guān)系;再由切點同在切線與函數(shù)圖象上,建立方程組進(jìn)行求解.

        對于第(2)問,在此問中,f(x)的切點由定點變?yōu)榱藙狱c,類比第(1)問的探究方法,可以從以下三個角度去求參數(shù)a的范圍.角度一,用f(x)的切點表示公切線,將切線與y=g(x)聯(lián)立,借助Δ=0得出a與x1的關(guān)系,進(jìn)而去求a的范圍;還可以先探究兩切點橫坐標(biāo)之間的關(guān)系,由g(x)的切點同在切線與y=g(x)上,構(gòu)建關(guān)于a與x1的等式,進(jìn)而求a的范圍.角度二,用g(x)的切點表示公切線方程,先探究兩切點橫坐標(biāo)之間的關(guān)系,由f(x)的切點同在切線與y=f(x)上,構(gòu)建關(guān)于a與x1的等式,進(jìn)而求a的范圍.角度三,用f(x)與g(x)各自的切點坐標(biāo)表示公切線,借助公切線的兩種表達(dá)形式的斜率、截距相等得出關(guān)于a與x1的等式,進(jìn)而求a的范圍.相應(yīng)的思維導(dǎo)圖如圖2所示.

        圖2

        角度一:用f(x)的切點表示切線.

        當(dāng)x變化時,h′(x),h(x)的變化情況如表1所示.

        表1

        所以a∈[-1,+∞).

        要使r(x)存在零點,即曲線y=γ(x)與x軸有交點,則r(x)min≤0,即-1-a≤0,所以a∈[-1,+∞).

        下同解法1-1或解法1-2.

        角度二:用g(x)的切點表示公切線方程.

        下同解法1-1或解法1-2.

        角度三:用f(x)與g(x)的切點表示公切線.

        解法4:曲線y=f(x)在點(x1,f(x1))處的切線l的方程為

        設(shè)直線l與曲線y=g(x)相切于(x2,g(x2)),切線l的方程為

        以下同解法1-1或解法1-2.

        點評:從第(1)問中函數(shù)f(x)切點確定求參數(shù)a的值,到第(2)問中函數(shù)f(x)切點變化求參數(shù)a的范圍,是從特殊到一般的過程,滲透了邏輯推理的核心素養(yǎng),由參數(shù)求值問題過渡到參數(shù)求范圍問題滲透了函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想.本題第(1)問中處理兩曲線公切線問題的思考角度在第(2)問中仍然適用.此外,在處理求參數(shù)范圍的問題時,需先構(gòu)建含有參數(shù)的等式,再轉(zhuǎn)化為兩曲線存在交點或函數(shù)存在零點的問題去求參數(shù)范圍.

        3 變型題

        已知函數(shù)f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲線y=f(x)在點(x1,f(x1))處的切線也是曲線y=g(x)的切線,則a的取值范圍為.

        秒殺法:圖象法.

        函數(shù)f(x)=x3-x的圖象固定,函數(shù)g(x)=x2+a的圖象隨a的變化而沿著y軸方向變化,曲線y=g(x)與曲線y=f(x)的幾類位置關(guān)系如圖3~7.

        圖3

        圖4

        圖5

        圖6

        圖7

        直觀觀察兩函數(shù)圖象公切線的存在情況,可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)f(x)與g(x)的相對位置屬于前四種情況(圖3~6)時,兩函數(shù)圖象均能找到公切線.當(dāng)f(x)與g(x)的相對位置屬于圖7所表示的情況時,在兩函數(shù)圖象交點左側(cè),f(x)的導(dǎo)函數(shù)值恒為正值,而g(x)的導(dǎo)函數(shù)值恒為負(fù)值,不可能存在公切線;在兩函數(shù)交點的右側(cè),由于g(x)圖象恒在f(x)圖象下方,所以也不可能存在公切線.綜上,當(dāng)f(x)與g(x)的位置關(guān)系屬于圖7所表示的情況時,兩函數(shù)不存在公切線.

        當(dāng)函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)的圖象在y軸右側(cè)有共同切點的公切線時,設(shè)參數(shù)a的值為a0,當(dāng)a≥a0時,f(x)與g(x)均存在公切線;當(dāng)a

        由點(1,y0)同在y=f(x)與y=g(x)上,得f(1)=g(1),即0=1+a0,解得a0=-1.

        由圖象可知,當(dāng)a≥a0=-1時,f(x)與g(x)存在公切線;當(dāng)a<-1時,f(x)與g(x)不存在公切線.

        綜上,a∈[-1,+∞).

        點評:在求解參數(shù)范圍問題時,通常可以使用圖象法尋找臨界值進(jìn)行求解,雖然在解答題中不夠嚴(yán)謹(jǐn)而存在瑕疵,但在客觀題求解中是常見方法.

        鏈接1若直線y=kx+b是曲線y=lnx的切線,也是曲線y=ex-2的切線,則k=.

        分析:分別設(shè)出直線與兩曲線的切點坐標(biāo),求出導(dǎo)數(shù)值,得到兩切線方程,再由兩切線重合得斜率和截距相等,從而求得切線方程.

        鏈接2(2018年天津卷理科第20題)已知函數(shù)f(x)=ax,g(x)=logax.

        分析:兩個函數(shù)的公切線問題可轉(zhuǎn)化為二元方程組解的問題,通過消元,將方程組化為方程.而方程是否有解的問題可歸結(jié)為連續(xù)函數(shù)的零點存在問題,即只要在區(qū)間上存在兩個自變量,其函數(shù)值異號即可.

        證明:曲線y=f(x)在點(x1,ax1)處的切線l1的方程為y-ax1=(x-x1)ax1lna.

        有解.

        1-x1lna=x2lna(lnx2-1).

        再由⑤得x1lna+lnx2=-2ln(lna),故有

        1+2ln(lna)+lnx2=x2lna(lnx2-1).

        下證方程⑦有正實數(shù)解.

        令r(x)=xlna(lnx-1)-lnx-2ln(lna)-1,則r(e)=-2ln(lna)-2≤0.那么由零點存在定理可知,只要找到一個x0>0,使r(x0)≥0即可.

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