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        一道高考題引出圓錐曲線的三個(gè)美妙結(jié)論

        2016-12-02 21:39:40武增明
        理科考試研究·高中 2016年11期
        關(guān)鍵詞:對稱點(diǎn)化簡重合

        武增明

        2014年高考遼寧卷文15理15:已知橢圓C:x29+y24=1,點(diǎn)M與C的焦點(diǎn)不重合.若M關(guān)于C的焦點(diǎn)的對稱點(diǎn)分別為A,B,線段MN的中點(diǎn)在C上,則|AN|+|BN|=.

        最近,筆者在研究此題時(shí),由此題發(fā)現(xiàn)如下圓錐曲線的三個(gè)美妙結(jié)論.

        結(jié)論1已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),點(diǎn)M與C的焦點(diǎn)不重合.若M關(guān)于C的焦點(diǎn)的對稱點(diǎn)分別為A,B,線段MN的中點(diǎn)在C上,則|AN|+|BN|=4a.

        證明設(shè)橢圓C的焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,如圖1.因?yàn)镕1,F(xiàn)2分別為MA,MB的中點(diǎn),設(shè)MN的中點(diǎn)為P,連接PF1,PF2,則由橢圓的定義,有|PF1|+|PF2|=2a.

        又PF1,PF2分別是△MAN與△MBN的中位線,故|AN|+|BN|=2|PF1|+2|PF2|=4a.

        結(jié)論2已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),點(diǎn)M與C的焦點(diǎn)不重合.若M關(guān)于C的焦點(diǎn)的對稱點(diǎn)分別為A,B,線段MN的中點(diǎn)在C上,則|AN|-|BN|=4a.

        證明設(shè)雙曲線C的焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,如圖2.因?yàn)镕1,F(xiàn)2分別為MA,MB的中點(diǎn),設(shè)MN的中點(diǎn)為P,連接PF1,PF2,則由雙曲線的定義.有|PF1|-|PF2|=2a.又PF1,PF2分別是△MAN與△MBN的中位線,故|AN|-|BN|=2|PF1|-2|PF2|=4a.

        結(jié)論3已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,其準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為D.點(diǎn)M與點(diǎn)F不重合,若M關(guān)于點(diǎn)D,F(xiàn)的對稱點(diǎn)分別為A,B,線段MN的中點(diǎn)在C上,則|AN|+|BN|的最小值是2p.

        證明設(shè)MN的中點(diǎn)為E,連接ED,EF,如圖3.

        因?yàn)閨AN|+|BN|=2|ED|+2|EF|=2(|ED|+|EF|)

        ≥2|DF|(當(dāng)且僅當(dāng)M點(diǎn)與原點(diǎn)O重合時(shí)等號成立)

        =2p,

        所以|AN|+|BN|的最小值是2p.

        分線性質(zhì)以及正弦定理,對能力要求較強(qiáng).

        (Ⅱ)解法一sinB=sin(60°+C)(性質(zhì)2),

        又sinBsinC=12,化簡可得cosC=0.

        評注此處用到∠B和(∠A +∠C)互補(bǔ)這一隱含條件,還必須用到(性質(zhì)2)的結(jié)論,這是解題的關(guān)鍵,否則無法往下進(jìn)行.

        又∠C是三角形的內(nèi)角,所以∠C=90°,故∠B=30°.

        解法二sinC=sin(60°+B) (性質(zhì)2),

        化簡可得sinC=32cosB+12sinB.

        又sinBsinC=12,所以 2sinB=32cosB+12sinB.

        化簡得tanB=33,所以∠B=30°.

        評注此法思路同“法一”,區(qū)別是直接得出∠B,所以∠C=90°.此處還可選擇多種方法,但仔細(xì)思考觀察可發(fā)現(xiàn)三邊恰好構(gòu)成直角三角形,從而使問題簡化,故∠B=30°.

        上述解法對知識的綜合能力以及知識的積累要求較強(qiáng),要靈活應(yīng)用相關(guān)性質(zhì)和結(jié)論使問題更簡單.

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