歐修祝

三角函數(shù)問題的難度雖然不大，但是命題的形式很多，常見的有化簡三角函數(shù)式、求三角函數(shù)的解析式、求三角函數(shù)的值、判斷三角函數(shù)的單調(diào)性、求三角函數(shù)的最值等.解答三角函數(shù)問題，不僅需熟練運(yùn)用三角函數(shù)知識，還需要把握一些解題的要點(diǎn).筆者認(rèn)為主要抓以下兩個(gè)要點(diǎn).

一、靈活運(yùn)用三角恒等變換的技巧

在解答三角函數(shù)問題時(shí)，通常要對已知關(guān)系式或目標(biāo)式進(jìn)行化簡、變形，這就需要用到一些三角恒等變換的技巧.在進(jìn)行三角恒等變換時(shí)，往往要選用合適的公式進(jìn)行“變角”“變名”“變式”，以使問題中的角、函數(shù)名稱、次數(shù)統(tǒng)一.常用的三角恒等變換的技巧有：弦切互化、“1”的代換、升冪與降冪、換元.

1. 弦切互化

而[sin2θ+cos2θ=sin2θ+4sin2θ=5sin2θ=1]，

解得[sinθ=55]或[sinθ=-55]（舍去），

2. “1”的代換

我們知道，[sin2θ+cos2θ=1]、[sin90o=1]、[cos0o=1]、[tan45o=1].因此在進(jìn)行三角恒等變換時(shí)，可將這些等于“1”的式子代入三角函數(shù)式中，即可改變?nèi)呛瘮?shù)式的形式，配湊出能使用公式化簡的式子.

我們將目標(biāo)式除以“1”，并用[sin2θ+cos2θ=1]進(jìn)行代換，即可將目標(biāo)式中的函數(shù)名稱統(tǒng)一，從而快速求得函數(shù)式的值.

3. 升冪與降冪

4. 換元

當(dāng)題目中的三角函數(shù)式較為復(fù)雜時(shí)，通?？刹捎脫Q元法，將較為復(fù)雜的式子用一個(gè)新元代替，即可改變?nèi)呛瘮?shù)式的結(jié)構(gòu)形式，這樣便可選用合適的公式將其快速化簡.

[12（sinθ+cosθ）=35sinθcosθ]，

仔細(xì)觀察，可發(fā)現(xiàn)[12（sinθ+cosθ）=35sinθcosθ]中含有[sinθ、cosθ]的和與積，由此可聯(lián)想到同角的三角函數(shù)平方和關(guān)系式[sin2θ+cos2θ=1]，于是令[sinθ+cosθ=t]，即可通過換元，將函數(shù)式化為只含有t的式子，通過解方程便可求得t以及[tan2θ]的值

總之，進(jìn)行三角恒等變換時(shí)，需仔細(xì)觀察各個(gè)角、函數(shù)名稱、冪之間的差別，利用兩角和差公式、輔助角公式等把角進(jìn)行合理的變換，利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式等把不同的函數(shù)名稱統(tǒng)一.

二、利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)輔助解題

在解答三角函數(shù)問題時(shí)，要學(xué)會利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)來輔助解題.三角函數(shù)問題中的三角函數(shù)式都可化為[f（x）=Asin（ωx+?）+B]、[f（x）=Acos（ωx+?）+B]、[f（x）=Atan（ωx+?）+B（A，ω>0）]的形式，那么在解題時(shí)，就可以將題目中的三角函數(shù)的圖象視為y=sinx、y=cosx、y=tanx的一部分或在其基礎(chǔ)上進(jìn)行伸縮、平移、翻折得到的，即可根據(jù)y=sinx、y=cosx、y=tanx的單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性來快速求得問題的答案.

例5.（2023年高考新課標(biāo)Ⅰ卷）已知函數(shù)[f（x）=cosωx-1（ω>0）]在區(qū)間[0，2π]上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則[ω]的取值范圍是______.

解：因?yàn)閇x∈0，2π]，所以[ωx∈0，2ωπ]，

令[f（x）=0]，則[cosωx=1]有3個(gè)根，

令[t=ωx]，則[cost=1]有3個(gè)根，其中[t∈0，2ωπ]，

畫出余弦函數(shù)[y=cost]的圖象，如圖所示，

由圖可知[4π≤2ωπ<6π]，故[2≤ω<3].

在解答本題時(shí)，我們直接根據(jù)[y=cost]的圖象就可以判斷出函數(shù)[f（x）=cosωx-1（ω>0）]的周期和零點(diǎn)，從而快速求得[ω]的取值范圍.將y=sinx、y=cosx、y=tanx的圖象進(jìn)行變換，即可得到[f（x）=Asin（ωx+?）+B]、[f（x）=Acos（ωx+?）+B]、[f（x）=Atan（ωx+?）+B（A，ω>0）]的圖象，這樣就能獲得問題的答案.

同學(xué)們只有抓住解題的要點(diǎn)，靈活運(yùn)用三角恒等變換的技巧，利用三角函數(shù)的性質(zhì)和圖象，才能快捷、準(zhǔn)確地解答三角函數(shù)問題.