［摘? 要］ 高中數(shù)學教學以發(fā)展學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)為目標. 數(shù)學抽象素養(yǎng)作為數(shù)學學科核心素養(yǎng)的六大要素之一，對學生的個人發(fā)展具有重要意義. 如何立足教學實踐，發(fā)展學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)呢？文章從概念教學、模型建構(gòu)、數(shù)學思想方法的提煉與數(shù)學結(jié)構(gòu)體系的建構(gòu)四方面展開分析.

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學抽象；教學實踐；思維

數(shù)學是一門綜合性學科，對學生的思維要求較高. 學生不僅要理解生澀的概念、抽象的定理和公式等，還要將概念、定理和公式等靈活地應用在實際問題的解決中. 尤其是高考試題，綜合程度高，一道題往往涉及多個知識點，這對學生的思維與抽象能力提出了更高的要求. 為了讓學生形成以“不變應萬變”的解題能力，教師應將培養(yǎng)學生數(shù)學思維能力與數(shù)學抽象素養(yǎng)的方法滲透在教學的各個環(huán)節(jié)中，讓學生在潛移默化中得以發(fā)展.

在概念教學中發(fā)展數(shù)學思維

概念是數(shù)學的核心，是發(fā)展數(shù)學思維的關(guān)鍵. 弄清概念的本質(zhì)是數(shù)學教學的根本，對發(fā)展學生的抽象能力具有重要價值與意義. 學生學習概念的過程實則為掌握一類事物關(guān)鍵屬性的過程，這種關(guān)鍵屬性一般從大量的同類事物的不同例證中逐個發(fā)現(xiàn)，羅列到一起則抽象出相應的概念（概念形成）. 學生結(jié)合自身原有的認知結(jié)構(gòu)來理解新的概念，稱為概念同化. 概念同化與形成是獲得概念的兩種基本形式.

如何在概念教學中發(fā)展學生的抽象素養(yǎng)呢？從概念的意義來看，概念是在對數(shù)學對象模式識別與圖形感知的基礎上抽象而來的.

案例1 “弧度制”的教學.

弧度制是指建立在扇形圓心角的基礎上，分別從弧長、圓心角與半徑三者中抽象出圓心角大小的概念. 因此，執(zhí)教弧度制概念時，可設計一個既符合學生實際認知，又包含弧長、圓心角與半徑的情境，啟發(fā)學生的思維，讓學生順利進入新知探索狀態(tài)，為抽象弧度制的概念做準備.

情境：如圖1所示，國際標準要求鉛球的投擲區(qū)為圓，落地區(qū)為一個以圓心為頂點的角，根據(jù)比賽規(guī)定，要在角內(nèi)確定的位置畫出多條弧線.

問題1：只憑借皮尺，該如何測算出該角的大??？

教師以學生熟悉的鉛球比賽場地作為情境，結(jié)合學生的認知水平提出相應的問題，讓學生很快聯(lián)想到之前接觸的扇形與弧長問題，顯然這個情境起到了良好的誘導思維的效果.

問題2：觀察到每一個小組成員所測得的半徑r與弧長l的值雖然不一樣，但計算后所獲得的n的值又是一樣的，這是為什么呢？

鑒于學生有了生動、形象且有效的活動作為思維的支撐點，學生很快就自主感悟并抽象出圓心角公式所具備的結(jié)構(gòu)特征.

問題3：基于上述探索，大家還有其他想法嗎？

當學生抽象出弧度制的概念后，教師可帶領(lǐng)學生化簡扇形的弧長與面積公式，這彰顯著數(shù)學學科的簡潔美. 接下來，借助弧度制與角度制的換算，建立角度和實數(shù)一一對應的關(guān)系，這也是三角函數(shù)的知識基礎.

以上概念教學片段，教師從學生的生活經(jīng)驗出發(fā)，創(chuàng)設了豐富的教學情境，成功地吸引了學生的注意力. 問題串的應用與數(shù)學文化的滲透，有效啟發(fā)了學生的數(shù)學思維，讓學生主動抽象出弧度制的概念并深刻理解弧度制的來龍去脈，為后續(xù)三角函數(shù)的研究奠定了基礎.

在命題教學中發(fā)展數(shù)學思維

數(shù)學知識有三個模塊：概念、命題與論證. 高中數(shù)學命題教學要求讓學生深刻理解命題的意義，明晰推理過程以及命題的應用范圍，能利用命題解決實際問題. 在命題教學中發(fā)展學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)，關(guān)鍵在于帶領(lǐng)學生探索命題的推理過程. 如教師提供一些探索素材，輔以適當引導，可讓學生在良好的氛圍下通過自主觀察、分析、類比獲得命題.

現(xiàn)代教育心理學研究表明：數(shù)學學習過程并不僅僅是帶領(lǐng)學生理解并掌握知識的過程，還是引發(fā)學生主動發(fā)現(xiàn)并解決問題的過程. 這就需要教師從一些典型的知識出發(fā)，利用各種教學手段引導學生開動腦筋，探尋數(shù)學事物中所蘊含的規(guī)律，讓學生經(jīng)歷完整的研究過程，為建構(gòu)新知、形成長時記憶、發(fā)展抽象素養(yǎng)奠定基礎.

案例2 “平面向量基本定理”的教學.

在作向量的過程中，學生的第一次抽象為：應用向量a，b能表示多個以O為起點的向量c，也就是c=λa+μb（λ，μ∈R）.

接下來，教師借助幾何畫板變換λ與μ的值，學生在動態(tài)演示中發(fā)現(xiàn)用向量a，b能表示無數(shù)個以O為起點的向量c，此為學生的第二次抽象.

此時，學生的思維切換到建模的節(jié)點：①以O為起點的向量c能不能用向量a，b表達出來？②觀察自己作的5個向量，抽象出平行四邊形法則，即向量c=λa+μb（λ，μ∈R）的具體作法. 此為完成上述問題的基礎，亦是引發(fā)學生進行逆向思考的過程，由此學生自主獲得與向量c相對應的實數(shù)λ與μ.

至于起點不位于點O處的任何向量，都可以把起點平移到點O的位置. 到這個時候，抽象平面向量基本定理的過程基本完成.

學生的思維因經(jīng)歷了由淺入深、循序漸進的逐層抽象過程，不僅對平面向量基本定理的來龍去脈有了充分認識，還對平面向量基本定理有了深刻理解.

命題教學的關(guān)鍵在于引導學生掌握邏輯推理能力，尤其要關(guān)注一些具有典型意義的數(shù)學思想、研究技巧的提煉與總結(jié)等. 同時，命題還是培養(yǎng)學生逆向思維與反思能力的契機，尤其是命題的變用、逆用等能有效促進學生解題能力的提升.

在數(shù)學思想方法提煉中發(fā)展數(shù)學抽象素養(yǎng)

數(shù)學思想是指人們對數(shù)學研究對象的規(guī)律與本質(zhì)的深刻認識，是數(shù)學學習與數(shù)學問題解決的重要方式、策略與指導原則. 數(shù)學方法是指人們解決實際問題的程序、步驟，是實施數(shù)學思想的手段.

將數(shù)學思想與方法聯(lián)合在一起進行表述，其實兩者間有著一定的聯(lián)系：數(shù)學思想是數(shù)學方法的靈魂，具有指導方法應用的功能，以及內(nèi)隱性特征；數(shù)學方法是數(shù)學思想的表現(xiàn)形式與實現(xiàn)手段，具有外顯性特征.

數(shù)學思想方法是數(shù)學抽象的產(chǎn)物，抽象過程對學生數(shù)學思維的發(fā)展有重要的促進作用.

案例3 “兩角差的余弦公式”的教學.

當學生抽象出兩角差的余弦公式并對其特征與本質(zhì)有所了解后，進入公式的證明環(huán)節(jié)，讓學生將這一公式的研究類比到其他類似公式的研究中，形成一定的研究“套路”.

在研究過程中，最重要的就是數(shù)學思想方法的提煉與應用. 立足學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的公式教學，可在數(shù)學思想方法的提煉與滲透中幫助學生形成良好的抽象能力.

通過以上幾項教學活動的開展，不難看出數(shù)學思想方法的提煉與滲透不僅能有效促進學生思維能力的提升，還能有效發(fā)展學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)，提高學生的邏輯推理能力，讓學生感知數(shù)學學習帶來的成就感.

在結(jié)構(gòu)體系建構(gòu)中發(fā)展數(shù)學抽象素養(yǎng)

在學習過程中建構(gòu)良好的數(shù)學結(jié)構(gòu)體系是數(shù)學抽象的重要體現(xiàn). 普朗克是量子論的創(chuàng)始人，他提出：科學是內(nèi)在的統(tǒng)一體，雖然將它分解到各個單位的部門中，但這并不是由事物的本質(zhì)所決定的，而是源于人類認知的局限性，事實上不論是物理、化學，還是人類學、社會學等都存在一定的內(nèi)在關(guān)系.

如圖2所示，我們所熟悉的數(shù)系內(nèi)的六則運算之間就存在著縱橫交錯的聯(lián)系.

將教學內(nèi)容結(jié)構(gòu)化與體系化，可讓知識變得更簡約，利于學生記憶、存儲與檢索，促使學生形成新的想法，為創(chuàng)新意識的形成與抽象意識的發(fā)展奠定基礎. 有些教學內(nèi)容從縱向的邏輯來看，并不存在什么關(guān)系，但它們所蘊含的數(shù)學思想方法卻有高度的相似性，從橫向來打通這種關(guān)系，能有效突破知識的封閉性，幫助學生建構(gòu)結(jié)構(gòu)開放、內(nèi)容豐富的知識網(wǎng)絡.

如我們熟悉的對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等，就可以通過列表的方式，類比其定義域、圖象、值域與性質(zhì)等.

案例4 “圓錐曲線”的教學.

橢圓與雙曲線的橫向類比，要求學生思考：假設兩個定點間的距離是2c（2c＞0），到這兩個定點的距離之和為定長2a（2a＞2c）的點所形成的軌跡是一個橢圓；到這兩個定點的距離之差為定長2a（2a＜2c）的點的軌跡為雙曲線. 若橢圓和雙曲線分別對應加和減的運算，則是否存在相應的曲線對應乘和除的運算呢？

這個問題有點難度，主要是針對學有余力的學生而設計的，意在引導這部分學生進入探究狀態(tài)，發(fā)展他們的數(shù)學抽象素養(yǎng). 對應乘和除的運算的曲線確實存在，即到兩個定點的距離之比為定值（不等于1）的點的軌跡是阿波羅尼斯圓，到兩個定點的距離之積為定值的點的軌跡為卡西尼卵形線，雙紐線為特殊的卡西尼卵形線.

兩種圓錐曲線的橫向類比，不僅能讓學生發(fā)現(xiàn)它們間的異同點，還能讓學生感知知識的統(tǒng)一性，體驗數(shù)學之美. 學生在自主探索中不斷完善知識結(jié)構(gòu)，建構(gòu)良好的知識體系，一方面促進了抽象素養(yǎng)的形成與發(fā)展，另一方面增強了對客觀現(xiàn)實世界的洞察力.

總之，數(shù)學抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)必須立足教學實踐，讓學生從數(shù)學的角度來分析與看待問題，形成用數(shù)學眼光觀察世界、用數(shù)學思維思考世界、用數(shù)學語言表達世界的能力. 知識與技能的教學是最基礎的教學活動，是發(fā)展學生直觀想象、數(shù)學抽象的重要過程，是培養(yǎng)學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵.

作者簡介：崔亮（1984—），本科學歷，中小學一級教師，從事高中數(shù)學教學與研究工作.