?昆山市柏廬高級中學 王會平
教材上的例、習題大多是經(jīng)典的好題,凝聚了教材編寫專家的心血和智慧,有著豐富的內涵和可拓展的外延,它對教學的影響是深刻的.充分理解這部分的例、習題,研究其解法以及其在教材中所呈現(xiàn)的價值,對學生后續(xù)的學習和教師進一步的教學也是很有意義的.好題如歌,讓人樂不思蜀;好題如詩,令人回味無窮;好題如工藝品,叫人愛不釋手;好解又如畫筆,猶有畫龍點睛之功效.下面結合教材中一道拋物線習題,進行解法分析,與讀者共賞.
如圖1,M是拋物線y2=4x上一點,F(xiàn)是拋物線的焦點,以Fx為始邊,F(xiàn)M為終邊的∠xFM=60°,求|FM|.
圖1
方程兩邊平方,整理得3x2-10x+3=0.
故|FM|=2|FA|=2(x2-1)=2(3-1)=4.
以上兩種解法為解析法,只需求M,F(xiàn)兩點的坐標,再求出距離即可,目標明確,易于操作,有似曾相識之感.
解法三:拋物線y2=4x的焦點F(1,0),準線l:x=-1,l交x軸于點B,過點M作MQ⊥l,垂足為Q,過點F作FH⊥MQ于點H,如圖2.
圖2
由|MF|=|MQ|,∠QMF=∠xFM=60°,可知△MFQ為正三角形.
故|FM|=|MQ|=2|QH|=2|BF|=4.
該解法立意新穎,一反常規(guī)求兩點間距離的方法,而是根據(jù)圖形特征所呈現(xiàn)出題目的條件及其數(shù)量之間的關系,尋找解決問題的捷徑,把數(shù)學中的合情推理和邏輯推理有機結合在一起,用平面幾何的方法求解問題,思路簡潔,構思巧妙、超凡脫俗.
由M是拋物線y2=4x上一點,可得
故|FM|=4.
該解法并非直接通過求點M,F(xiàn)的坐標來求|FM|,而是成功地改造了點M.通過逆向思維,假設|FM|為a,利用直角三角形中邊角的數(shù)量關系,獲得點M的坐標,再利用點M在拋物線y2=4x上求解a,舊貌新顏、煥發(fā)青春,簡潔而又直觀.
解法五:由題意知點M在第一象限,設點M坐標為(m,n),其中n>0.
由拋物線的方程為y2=4x,得其焦點F的坐標為(1,0),準線方程為x=-1.
所以,由拋物線定義,可知|FM|=m+1.
過點M作MA垂直x軸于點A,則|FA|=m-1.
解得m=3.
故|FM|=m+1=4.
該解法對數(shù)學思維能力的要求比較高,具有一定的發(fā)散性,要求對拋物線的定義、幾何圖形的性質透徹理解,恰當運用,解題能力可謂深入淺出,力度頗深.
圖3
圖4
(Ⅰ)當k=0時,分別求C在點M和N處的切線方程;
(Ⅱ)y軸上是否存在點P,使得當k變動時,總有∠OPM=∠OPN?說明理由.
分析:該題雖然仍是直線與拋物線相交的問題,但是題目卻巧妙地與二次函數(shù)、一次函數(shù)接軌,既考查了函數(shù)與導數(shù)的問題,也考查了直線與拋物線的問題,是一次成功的變式.前面例2考查的是直線平移變換,而本題考查的卻是斜率的變化,的確是巧變多考、匠心獨創(chuàng).
對于第(Ⅱ)問,先作出判定,再利用設而不求的思想進行求解.將y=kx+a代入曲線C的方程整理成關于x的一元二次方程,設出點M,N的坐標和點P的坐標,利用設而不求思想,將直線PM,PN的斜率之和用參數(shù)a表示出來,再利用直線PM,PN的斜率之和為0,即可求出a,b的一個關系,從而找出適合條件的點P坐標(0,-a).本題有效考查了拋物線的切線、直線與拋物線的位置關系等知識,同時也對學生探索新問題以及運算求解能力進行了考查.
總之,通過一個對問題深入、多層次的研究,我們能從經(jīng)典題的解法和隨之而來的問題生成中感受到數(shù)學的奧妙,同時也從解法的生成性研究中找到教與學的樂趣.以上三個例題是對拋物線生成性問題的類比研究,通過知識的類比探究,由低向高,逐層提升.