?昆山市柏廬高級(jí)中學(xué) 王會(huì)平

教材上的例、習(xí)題大多是經(jīng)典的好題，凝聚了教材編寫專家的心血和智慧，有著豐富的內(nèi)涵和可拓展的外延，它對(duì)教學(xué)的影響是深刻的.充分理解這部分的例、習(xí)題，研究其解法以及其在教材中所呈現(xiàn)的價(jià)值，對(duì)學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)和教師進(jìn)一步的教學(xué)也是很有意義的.好題如歌，讓人樂不思蜀；好題如詩(shī)，令人回味無窮；好題如工藝品，叫人愛不釋手；好解又如畫筆，猶有畫龍點(diǎn)睛之功效.下面結(jié)合教材中一道拋物線習(xí)題，進(jìn)行解法分析，與讀者共賞.

1 題目呈現(xiàn)

如圖1，M是拋物線y2=4x上一點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，以Fx為始邊，F(xiàn)M為終邊的∠xFM=60°，求|FM|.

圖1

2 解法欣賞

2.1 雅俗共賞、似曾相識(shí)

方程兩邊平方，整理得3x2-10x+3=0.

故|FM|=2|FA|=2(x2-1)=2(3-1)=4.

以上兩種解法為解析法，只需求M，F(xiàn)兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出距離即可，目標(biāo)明確，易于操作，有似曾相識(shí)之感.

2.2 構(gòu)思巧妙、超凡脫俗

解法三：拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F(1,0)，準(zhǔn)線l：x=-1,l交x軸于點(diǎn)B,過點(diǎn)M作MQ⊥l，垂足為Q，過點(diǎn)F作FH⊥MQ于點(diǎn)H，如圖2.

圖2

由|MF|=|MQ|，∠QMF=∠xFM=60°，可知△MFQ為正三角形.

故|FM|=|MQ|=2|QH|=2|BF|=4.

該解法立意新穎，一反常規(guī)求兩點(diǎn)間距離的方法，而是根據(jù)圖形特征所呈現(xiàn)出題目的條件及其數(shù)量之間的關(guān)系，尋找解決問題的捷徑，把數(shù)學(xué)中的合情推理和邏輯推理有機(jī)結(jié)合在一起，用平面幾何的方法求解問題，思路簡(jiǎn)潔，構(gòu)思巧妙、超凡脫俗.

2.3 舊貌新顏、煥發(fā)青春

由M是拋物線y2=4x上一點(diǎn)，可得

故|FM|=4.

該解法并非直接通過求點(diǎn)M，F(xiàn)的坐標(biāo)來求|FM|，而是成功地改造了點(diǎn)M.通過逆向思維，假設(shè)|FM|為a，利用直角三角形中邊角的數(shù)量關(guān)系，獲得點(diǎn)M的坐標(biāo)，再利用點(diǎn)M在拋物線y2=4x上求解a，舊貌新顏、煥發(fā)青春，簡(jiǎn)潔而又直觀.

2.4 思維發(fā)散、力度頗深

解法五：由題意知點(diǎn)M在第一象限，設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為(m,n)，其中n>0.

由拋物線的方程為y2=4x，得其焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)，準(zhǔn)線方程為x=-1.

所以，由拋物線定義，可知|FM|=m+1.

過點(diǎn)M作MA垂直x軸于點(diǎn)A，則|FA|=m-1.

解得m=3.

故|FM|=m+1=4.

該解法對(duì)數(shù)學(xué)思維能力的要求比較高，具有一定的發(fā)散性，要求對(duì)拋物線的定義、幾何圖形的性質(zhì)透徹理解，恰當(dāng)運(yùn)用，解題能力可謂深入淺出，力度頗深.

3 類比探究

3.1 同題異構(gòu)、推陳出新

圖3

3.2 以靜制動(dòng)、量質(zhì)飛躍

圖4

3.3 巧變多考、匠心獨(dú)創(chuàng)

(Ⅰ)當(dāng)k=0時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程；

(Ⅱ)y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有∠OPM=∠OPN？說明理由.

分析：該題雖然仍是直線與拋物線相交的問題，但是題目卻巧妙地與二次函數(shù)、一次函數(shù)接軌，既考查了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的問題，也考查了直線與拋物線的問題，是一次成功的變式.前面例2考查的是直線平移變換，而本題考查的卻是斜率的變化，的確是巧變多考、匠心獨(dú)創(chuàng).

對(duì)于第(Ⅱ)問，先作出判定，再利用設(shè)而不求的思想進(jìn)行求解.將y=kx+a代入曲線C的方程整理成關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)出點(diǎn)M,N的坐標(biāo)和點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用設(shè)而不求思想，將直線PM，PN的斜率之和用參數(shù)a表示出來，再利用直線PM，PN的斜率之和為0，即可求出a,b的一個(gè)關(guān)系，從而找出適合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)(0，-a).本題有效考查了拋物線的切線、直線與拋物線的位置關(guān)系等知識(shí)，同時(shí)也對(duì)學(xué)生探索新問題以及運(yùn)算求解能力進(jìn)行了考查.

總之，通過一個(gè)對(duì)問題深入、多層次的研究，我們能從經(jīng)典題的解法和隨之而來的問題生成中感受到數(shù)學(xué)的奧妙，同時(shí)也從解法的生成性研究中找到教與學(xué)的樂趣.以上三個(gè)例題是對(duì)拋物線生成性問題的類比研究，通過知識(shí)的類比探究，由低向高，逐層提升.