李 寧，李偉平，姚向丹，王美玲

（河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南 鄭州 450046）

大學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)在培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維、抽象思維、創(chuàng)新思維等方面起著重要作用，為解決實(shí)際問題和其他后續(xù)課程的學(xué)習(xí)提供必要的知識(shí)基礎(chǔ)。隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，人工智能、大數(shù)學(xué)等科學(xué)成為當(dāng)前最受關(guān)注的前沿科學(xué)，這對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)的教育改革提出了前所未有的挑戰(zhàn)。如何根據(jù)學(xué)科特點(diǎn)，搭建改革創(chuàng)新的課程體系[1]，使得學(xué)生掌握有用的數(shù)學(xué)知識(shí)，是大學(xué)數(shù)學(xué)教育發(fā)展的重點(diǎn)。

統(tǒng)計(jì)數(shù)字表明，線性代數(shù)是對(duì)學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)影響最大的課程之一。很多實(shí)際問題都可轉(zhuǎn)化成線性代數(shù)問題，例如，交通網(wǎng)絡(luò)、電路網(wǎng)絡(luò)問題轉(zhuǎn)化為線性方程組的求解；數(shù)字圖像由像素值矩陣構(gòu)成；判斷線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性由系統(tǒng)矩陣的特征值來決定；矩陣的逆運(yùn)算可用于加密算法；甚至隱身飛機(jī)的設(shè)計(jì)、Google網(wǎng)址的網(wǎng)頁排序問題都離不開線性代數(shù)。因此，本文以線性代數(shù)為例，探討大學(xué)數(shù)學(xué)的教育改革方向和趨勢(shì)。近年來，不少研究學(xué)者對(duì)線性代數(shù)課程內(nèi)容的教與學(xué)提供了方法和思路。例如，孟國艷等[2]，提出“一中心兩目標(biāo)”的教學(xué)目標(biāo)新觀點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)人才培養(yǎng)和教學(xué)質(zhì)量的提升。車國鳳等[3]，為提升課堂的趣味性，將數(shù)學(xué)史引入課堂，教學(xué)過程中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合。張立國等[4]在教學(xué)過程中通過改進(jìn)教學(xué)內(nèi)容、采用雙向教學(xué)等方式提高教學(xué)效果。劉桂香等[5]探討了大學(xué)數(shù)學(xué)如何打造金課，給出了改革路徑和措施。與現(xiàn)存文獻(xiàn)不同的是，本文基于文獻(xiàn)分析的角度，運(yùn)用Citespace軟件[6-7]，通過對(duì)近20年文獻(xiàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行可視化分析，對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革研究的發(fā)展和研究熱點(diǎn)進(jìn)行有效的梳理，客觀地總結(jié)當(dāng)前的研究熱點(diǎn)、不足及未來的發(fā)展趨勢(shì)，為大學(xué)數(shù)學(xué)教育和科研工作者提供相關(guān)建議。

1 數(shù)據(jù)選取與方法

1.1 數(shù)據(jù)選取

對(duì)近年來“線性代數(shù)改革”為主題的學(xué)術(shù)文獻(xiàn)進(jìn)行分析，本文數(shù)據(jù)來源于中國知網(wǎng)（CNKI）數(shù)據(jù)庫，專業(yè)檢索格式為SU='線性代數(shù)'AND'教學(xué)改革'，時(shí)間跨度選取2002年1月到2022年11月，檢索時(shí)間截止為2022年11月15日，文獻(xiàn)類型選擇為期刊和教育期刊。檢索結(jié)果得到期刊論文651篇，通過對(duì)論文進(jìn)行篩查，預(yù)處理后得到468篇。

1.2 方法

使用Citespace6.1.R3軟件[7]對(duì)文獻(xiàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，就線性代數(shù)教學(xué)改革研究從年發(fā)文量、關(guān)鍵詞熱點(diǎn)分析、研究作者團(tuán)隊(duì)、研究機(jī)構(gòu)等方面進(jìn)行可視化分析[8]。

2 結(jié)果與分析

2.1 線性代數(shù)教學(xué)改革文獻(xiàn)發(fā)表的時(shí)間分布

為更直觀地觀察文獻(xiàn)的發(fā)文量隨時(shí)間的變化，對(duì)預(yù)處理后的2002～2022年的文獻(xiàn)數(shù)量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，依據(jù)每年文獻(xiàn)數(shù)量繪制了發(fā)文變化趨勢(shì)點(diǎn)線圖，如圖1（P256）所示。

圖1 年度發(fā)文量變化曲線

根據(jù)圖1可知，2013年發(fā)文數(shù)量比較多，達(dá)到最高值。關(guān)于線性代數(shù)的教學(xué)改革文章的變化可分為3個(gè)階段。2002～2006年為初步探索階段，年發(fā)文量不超過10篇；2007～2010年為穩(wěn)步發(fā)展階段，改革得到了越來越多高校教師的重視；自2011年以來處于高速發(fā)展階段，隨著現(xiàn)代教育手段的發(fā)展，大學(xué)數(shù)學(xué)教育面臨著前所未有的挑戰(zhàn)。值得說明的是發(fā)文量并不是一個(gè)直線上升的過程，這是由于部分熱點(diǎn)已被提出，需要提出更新、更完善的改革理念。

2.2 線性代數(shù)教育改革研究的作者及研究團(tuán)隊(duì)分析

教育改革論文的撰寫需要教學(xué)團(tuán)隊(duì)的相互合作、交流，充分的打磨細(xì)節(jié)，包括教學(xué)改革的思路、教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì)、思政元素的設(shè)計(jì)等。本文對(duì)近期在線性代數(shù)教學(xué)改革研究領(lǐng)域的作者和研究團(tuán)隊(duì)進(jìn)行分析。前5發(fā)文量作者分別為何朗（4篇）、楊文霞（4篇）、王圣祥（4篇）、曹殿立（3篇）、曹潔（3篇）。其中，何朗和楊文霞為同一團(tuán)隊(duì)，曹殿立和曹潔是一個(gè)團(tuán)隊(duì)。而作者之間合作的聚類密度僅為0.0026。團(tuán)隊(duì)成員以及團(tuán)隊(duì)之間的合作較少，有待進(jìn)一步加強(qiáng)，只有在交流中碰撞新思想，教育改革之路才能快速發(fā)展。

2.3 作者機(jī)構(gòu)分布特征分析

在統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中，近幾年，廣西大學(xué)行健文理學(xué)院，河南農(nóng)業(yè)大學(xué)信息與管理科學(xué)學(xué)院、河南理工大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院、南京郵電大學(xué)理學(xué)院在線性代數(shù)教學(xué)改革論文工作中貢獻(xiàn)較多，并且跟其他高校之間也有著一定的合作關(guān)系，但關(guān)系較為稀疏。相比于高?？蒲袌F(tuán)隊(duì)，教學(xué)團(tuán)隊(duì)的建設(shè)和合作還很欠缺。

2.4 線性代數(shù)教學(xué)改革研究關(guān)鍵詞聚類及共現(xiàn)分析

關(guān)鍵詞能夠反映出論文的核心內(nèi)容。本文從2002～2022年我國高校線性代數(shù)教學(xué)領(lǐng)域的關(guān)鍵詞進(jìn)行共現(xiàn)分析，課程建設(shè)、課程思政、教學(xué)模式等頻率較高。課程建設(shè)是教學(xué)改革的重點(diǎn)和目標(biāo)，課程思政[9]是一種立德樹人的教育理念，將課程思政與專業(yè)思政結(jié)合，已在高等教育界形成共識(shí)。教學(xué)過程中增加思政元素，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)文化自信、增強(qiáng)民族自豪感。關(guān)鍵詞突現(xiàn)（圖2）表明，自2017年以來，課程思政、翻轉(zhuǎn)課堂、新工科、大數(shù)據(jù)等是改革熱點(diǎn)，見圖2。

圖2 關(guān)鍵詞突現(xiàn)

通過Citespace的聚類分析列表找到改革相關(guān)典型文獻(xiàn)，并閱讀改革相關(guān)典型文獻(xiàn)可以了解，線性代數(shù)教學(xué)改革思考的方向是采用翻轉(zhuǎn)課堂，堅(jiān)持“以學(xué)生為主，教師引導(dǎo)”的原則；開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)，注重培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和實(shí)踐能力；因材施教，開設(shè)難易不同的課程共不同專業(yè)的學(xué)生選擇；熟練掌握數(shù)學(xué)專業(yè)軟件：Matlab，Maple，SAS等；充分利用各種教學(xué)云平臺(tái)，了解學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，有針對(duì)性地對(duì)問題進(jìn)行補(bǔ)充；深入挖掘思政元素，做好頂層設(shè)計(jì)。

3 改革措施

（1）思政元素融入課堂，實(shí)現(xiàn)專業(yè)思政。例如，矩陣的思想起源于東漢前期的《九章算術(shù)》，古人用算籌將線性方程組中的系數(shù)排列，而這種橫縱表格就是矩陣的雛形。這些令人矚目的數(shù)學(xué)成就，能夠激發(fā)學(xué)生們的愛國情懷。代數(shù)的核心思路就是變形，通過把一個(gè)式子變成另外一種形式，那么新的概念或者理論就產(chǎn)生了。借此鼓勵(lì)學(xué)生不斷充電、變形，成為更好的自己。通過線性變換把任意矩陣的秩的求解轉(zhuǎn)成階梯型矩陣的非零行的個(gè)數(shù)，學(xué)習(xí)化簡(jiǎn)為易的思想。在生活中遇到困難時(shí)，我們可以將復(fù)雜的任務(wù)分解，變成一個(gè)個(gè)簡(jiǎn)單的事情去完成。向量組的極大無關(guān)組中與向量組本身是等價(jià)的，他們之間可以相互線性表出，說明極大無關(guān)組中的向量是重要的，是選出來的代表，這與國家的人民代表大會(huì)制度一致。鼓勵(lì)大家爭(zhēng)做代表中的一員，為祖國貢獻(xiàn)自己的力量。

（2）采用數(shù)形結(jié)合思想，實(shí)現(xiàn)代數(shù)與幾何融合。目前多數(shù)線性代數(shù)教材中沒有空間解析幾何的部分，而代數(shù)內(nèi)容比較抽象，幾何圖像相對(duì)直觀，在教學(xué)過程中通過幾何圖形[10]幫助學(xué)生理解。例如，一個(gè)二階行列式的幾何意義是以行向量為鄰邊的四邊形的面積；二元一次線性方程組是否有解的問題可以轉(zhuǎn)化成來兩條直線是否有交點(diǎn)；判斷一個(gè)向量是否為矩陣A的特征向量，即看A作用到向量后，得到的新向量是否保持原來的方向。二次型的正定性即看二次曲面上的所有點(diǎn)是否在xoy軸的上面。

（3）使用混合式教學(xué)模式，打造金課，實(shí)現(xiàn)高階性。近年來，線性代數(shù)課程內(nèi)容多，課時(shí)少，如果采取傳統(tǒng)的課上“滿堂灌”的教學(xué)模式，導(dǎo)致教師與學(xué)生的互動(dòng)時(shí)間不足，講授內(nèi)容也不夠深入。因此，將基本的概念：如行列式及簡(jiǎn)單運(yùn)算、矩陣的概念及基本運(yùn)算、軟件的使用等，通過短視頻的方式錄制并上傳到學(xué)習(xí)通，讓學(xué)生提前預(yù)習(xí)。對(duì)于一些比較抽象的性質(zhì)及定理，在課堂上詳細(xì)講解。在教學(xué)過程中，通過設(shè)計(jì)一些較難的自主探索題目，甚至一些猜想，引導(dǎo)學(xué)生展開思考與討論，從而理解、掌握并應(yīng)用新知識(shí)和新思想。

（4）培養(yǎng)學(xué)生的科研素養(yǎng)，開展研究性教學(xué)。科研素養(yǎng)是新時(shí)代本科生的一項(xiàng)重要的培養(yǎng)環(huán)節(jié)，通過科研能力的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生搜集資料、數(shù)學(xué)分析、團(tuán)隊(duì)協(xié)作等能力。作為一名高校教師，要始終把科研意識(shí)貫穿于教學(xué)過程，讓學(xué)生們了解專業(yè)前沿知識(shí)，面向國家的重要戰(zhàn)略需求，攻克本領(lǐng)域的卡脖子問題。在研究性教學(xué)的實(shí)踐中，首先教師把握住知識(shí)的本質(zhì)和精髓并引導(dǎo)學(xué)生掌握，并構(gòu)建成自己知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的一部分，使得學(xué)生的學(xué)習(xí)能力得到提高，并使得知識(shí)、能力、素質(zhì)得到全面協(xié)調(diào)的發(fā)展。其次在研究性教學(xué)實(shí)踐中，喚起學(xué)生的好奇心和求知欲，培養(yǎng)學(xué)生的質(zhì)疑、反思、批判等良好的思維品質(zhì)，使得學(xué)生在提出問題、分析問題和解決問題的能力上得到提高。

（5）培養(yǎng)學(xué)生的科研素養(yǎng)，開展研究性教學(xué)?？蒲兴仞B(yǎng)是新時(shí)代本科生的一項(xiàng)重要的培養(yǎng)環(huán)節(jié)，通過科研能力的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生搜集資料、數(shù)學(xué)分析、團(tuán)隊(duì)協(xié)作等能力。作為一名高校教師，要始終把科研意識(shí)貫穿于教學(xué)過程，讓學(xué)生們了解專業(yè)前沿知識(shí)，面向國家的重要戰(zhàn)略需求，攻克本領(lǐng)域的卡脖子問題。在研究性教學(xué)的實(shí)踐中，首先教師把握住知識(shí)的本質(zhì)和精髓并引導(dǎo)學(xué)生掌握，并構(gòu)建成自己知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的一部分，使得學(xué)生的學(xué)習(xí)能力得到提高，并使得知識(shí)、能力、素質(zhì)得到全面協(xié)調(diào)的發(fā)展。其次在研究性教學(xué)實(shí)踐中，喚起學(xué)生的好奇心和求知欲，培養(yǎng)學(xué)生的質(zhì)疑、反思、批判等良好的思維品質(zhì)，使得學(xué)生在提出問題、分析問題和解決問題的能力上得到提高。

（6）通過學(xué)習(xí)通系統(tǒng)做評(píng)價(jià)，及時(shí)反饋教與學(xué)的成果。教師課前將自己錄制好的視頻發(fā)布到學(xué)習(xí)通，學(xué)生可以隨時(shí)隨地學(xué)習(xí)。通過學(xué)習(xí)通的統(tǒng)計(jì)量可以監(jiān)督和督促學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。另外，學(xué)習(xí)通中還可以有位置簽到功能，很方便的統(tǒng)計(jì)學(xué)生的出勤。教學(xué)過程中也可設(shè)置題目互動(dòng)，快速了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況。在考核評(píng)價(jià)方面，增加對(duì)軟件運(yùn)用能力、解決實(shí)際問題能力的考核，合理分配各部分權(quán)重，對(duì)學(xué)生的最終成績(jī)做綜合評(píng)價(jià)。