□云南省昆明市尋甸縣第一中學 馬順秋

新課標強調培養(yǎng)學生的學科核心素養(yǎng)，這一目標的實現(xiàn)離不開引導學生從數(shù)學的視角獨立提出問題并解決問題的學習行為。然而，在教學實踐中，傳統(tǒng)課堂教學方式仍是主流教學方式，以教師講授與發(fā)問為主，學生缺少獨立提問并解決問題的機會。針對新課標要求與傳統(tǒng)課堂教學現(xiàn)狀的矛盾，本文從高中課堂有效提問的理論基礎和課堂實踐兩方面探討了改善傳統(tǒng)課堂教學方式的可能性，并以正態(tài)分布教學設計為依托，在傳統(tǒng)高中數(shù)學課堂教學形式下，探索如何促進學生有效提問并解決問題的教學策略。

一、問題提出

新課標的核心要求與傳統(tǒng)課堂教學有著較大不同。《普通高中數(shù)學課程標準（2017 年版2020 年修訂）》（下文簡稱新課標）指出：“數(shù)學學科核心素養(yǎng)是數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學學習和應用的過程中逐步形成和發(fā)展的。數(shù)學學科核心素養(yǎng)包括數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析。這些數(shù)學學科核心素養(yǎng)既相對獨立、又相互交融，是一個有機的整體?！备鶕?jù)新課標的精神，數(shù)學學科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)過程是在數(shù)學學習和應用過程中逐步形成和發(fā)展的，是一種漸進式、發(fā)展式的培養(yǎng)過程。在這個培養(yǎng)過程中，教師需要重視對學生思維品質、關鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的培養(yǎng)。

（一）核心素養(yǎng)培養(yǎng)過程與傳統(tǒng)教學目標有著較大差異

在傳統(tǒng)教學中，教師更為重視知識點的傳遞和應用知識的基本能力，重點在于知識的積累。相對于新課標的要求，這樣的教學過程難以突出思維品質、關鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀等基本特征。

（二）新課標對教育教學提出高要求

新課標對數(shù)學核心素養(yǎng)內涵的闡述也對傳統(tǒng)課堂教學提出了更高的要求，既反映了傳統(tǒng)數(shù)學教學中核心素養(yǎng)培養(yǎng)部分——數(shù)學抽象、邏輯推理、直觀形象及數(shù)學運算，又突出了大數(shù)據(jù)時代對數(shù)學學習的新要求，即強調了數(shù)學建模和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的核心地位。傳統(tǒng)課堂教學的內容和組織形式更適合于培養(yǎng)學生在數(shù)學抽象、邏輯推理、直觀形象及數(shù)學運算方面的數(shù)學素養(yǎng)。但是，此類教學內容和組織形式往往難以滿足對學生數(shù)學建模和數(shù)據(jù)分析方面的數(shù)學核心素養(yǎng)培養(yǎng)要求。鑒于此，教師有必要從教學內容和教學形式等方面思考如何創(chuàng)新、優(yōu)化傳統(tǒng)課堂教學，以滿足新課標的要求。

（三）高要求和高挑戰(zhàn)下的有效提問教學

面對數(shù)學核心素養(yǎng)培養(yǎng)對傳統(tǒng)課堂教學的提出的要求，教師需要思考高中數(shù)學課堂教學中的有效提問這個關鍵教學環(huán)節(jié)。新課標提出將“培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題”作為重要的課程目標，數(shù)學學科核心素養(yǎng)正是數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn)。由此可見，在課堂教學中進一步突出高中數(shù)學課堂教學中的有效提問的重要地位，是優(yōu)化傳統(tǒng)課堂教學的重要抓手。

（四）正態(tài)分布教學下的有效提問

正態(tài)分布課堂教學能夠更為全面地覆蓋高中數(shù)學學科核心素養(yǎng)培養(yǎng)。正態(tài)分布模型是從大量觀測數(shù)據(jù)中總結而成的一種經(jīng)典分布模型，容易和實際問題相結合，便于設置問題，引發(fā)學生思考。從實際數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律，這正是數(shù)學抽象、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學建模等核心素養(yǎng)的基本要求。針對正態(tài)分布模型性質的研究則可以促進學生從形象思維向邏輯思維轉變，即以直觀想象為基礎，自覺地利用邏輯思維和數(shù)學運算能力去加工、組織研究對象的抽象數(shù)學性質。在這一過程中，教師適時引導學生發(fā)問，能夠進一步提升學生在邏輯推理、直觀想象和數(shù)學運算方面等核心素養(yǎng)。在此基礎上，教師可以嘗試引導學生將正態(tài)分布模型應用于不同實際場景，以數(shù)學模型的經(jīng)典性質來分析或預測實際問題的發(fā)生或發(fā)展情況。這樣既可以加深學生對正態(tài)分布概念及其性質的記憶和理解，又可以在激發(fā)學習興趣的同時，提升學生利用數(shù)學原理解決實際問題的基本能力。因此，針對傳統(tǒng)課堂教學在培養(yǎng)形式性核心素養(yǎng)方面的不足，教師可以嘗試以正態(tài)分布教學為例，討論在傳統(tǒng)課堂教學中如何通過課堂教學中的有效提問來完善高中數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)過程。

二、有效提問的理論基礎

（一）認知理論

提出問題是一項復雜而重要的認知活動，是培養(yǎng)學生探索精神、創(chuàng)新能力的重要途徑。在課堂教學實踐中，學生往往可以跟隨教師的問題進行思考和學習，但是部分學生難以自主發(fā)問或質疑。

從認知活動的角度分析，這反映了傳統(tǒng)課堂教學實質上是以教師的思考替代學生的思考。教師在備課階段，通過對教學內容的巧妙編排，適時設置問題等技術手段，引導學生在預定的思路下進行思考和學習活動。這樣的教學準備既可以使整個教學進程平順精當，也可以使學生在課堂學習階段易于接受教師的思路，進而易于接受新知識。然而，越精巧的內容安排和問題設置，就越限制學生主動思考的自由，忽視了對學生探索精神和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。因此，在教學設計中，教師應當在精心設計的基礎上，適當留出學生主動思考和質疑的空間，從而為培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)做好準備。

同時，有效的課堂提問是對教師基于教材內容組織課堂教學的新挑戰(zhàn)。在構建有效課堂提問的過程中，教師既要提升自己進行有效提問的能力，還要具備預測學生可能提問的能力。這不僅要求教師對教學內容有十分深刻的理解，還要求教師具備與之相關的拓展知識，如對相關的數(shù)學史、相關的應用領域等具有較為全面的了解。基于對專業(yè)知識的深刻理解和相關應用的全面了解，教師才能結合自身的知識體系結構提出有效而精彩的問題。同時，結合班級學情，以學生的視角和知識結構去預測可能的學生提問。這樣的課程準備和教學設計，實質上已經(jīng)超越了傳統(tǒng)課堂教學的基本要求，無疑是對新時代教師教學能力的巨大挑戰(zhàn)。

（二）建構主義學習理論

開展有效的課堂提問需要教師改變教學觀念，突出學生的主體地位。傳統(tǒng)課堂教學的典型特征是以教師為中心，教師主導著學生的學習過程。然而，建構主義學習理論認為，有意義的學習是基于學習者自身特定的生活經(jīng)歷和特有的知識結構的。由此不難發(fā)現(xiàn)，傳統(tǒng)教學過程中，教師不自覺地以自己的生活經(jīng)歷和知識結構替代學生的生活經(jīng)歷和知識結構的現(xiàn)象比較普遍。因為學生的生活經(jīng)歷和知識結構往往不如教師的全面，這種替換成為學生發(fā)問的障礙。

為避免這一問題，教師可以適時適度地從課堂主導者的身份轉變?yōu)閱栴}制造者的身份。在課堂教學過程中，為學生準備足夠的素材，讓學生從自身的生活經(jīng)歷和知識結構出發(fā)去發(fā)現(xiàn)問題、提出問題。在這樣的教學過程中，教師應專注于如何引導學生提出問題，而不是代替學生發(fā)問或解決問題。

（三）師生互動理論

有效的課堂提問是師生互動的結果，是激發(fā)學生學習興趣、培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的有效手段。師生互動理論即在教學活動中，師生在能互相理解的基礎上，一方做出具體行為，另一方能給出相應的反饋，進而經(jīng)歷相互交流的教學過程，如《論語》中所記載的孔子及其弟子的問答過程。在日常教學過程中，教師以講授和提問等手段將新知識快速地傳遞給學生，在學生對新知識有一定理解的基礎上，以教師提問的方式激發(fā)學生的提問和質疑，在引導學生提問的過程中，逐漸將課堂從教師中心轉換為學生中心，從講授式的課堂轉換為討論式的課堂。在這樣的教學設計中，師生關系轉變?yōu)橛懻撜哧P系，給予了學生與教師平等交流的機會。在平等討論的環(huán)境中，學生不僅能提升數(shù)學思維能力，還能形成追求真理的精神。這樣的課堂有效提問形式，滿足了新課標對思維品質、關鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀培養(yǎng)的要求。

三、有效提問的課堂實踐

（一）知識梳理及問題設計

1.知識梳理。

正態(tài)分布屬于隨機變量及其分布之下的教學內容。其先導教學內容包括條件概率及全概率公式、離散型隨機變量及其分布、離散型隨機變量的數(shù)字特征、二項分布和超幾何分布等內容。從上述學習內容可以發(fā)現(xiàn)，高中教材基本沿用了概率論中的知識結構體系。由于條件概率、全概率公式及與離散型隨機變量相關的教學內容僅與初等運算相關，因此在正態(tài)分布的先導知識教學中可采用較為嚴格的數(shù)學定義。然而，當進入正態(tài)分布教學時，由于連續(xù)型隨機變量的引入及其性質都不可避免地與積分運算相關，在教學時，教師不可能只以概率論的知識體系開展教學。因此，針對正態(tài)分布的教學可定位為對概率論知識體系的完善和基本應用。

屬于正態(tài)分布的知識點：正態(tài)分布、分布密度函數(shù)概念及正態(tài)分布曲線性質。根據(jù)最近發(fā)展區(qū)理論，新概念的引入最好從熟悉的概念開始。作為正態(tài)分布的先導知識，二項分布無疑是引出正態(tài)分布的首選。然而，受學生的運算能力影響，他們很難以極限工具為基礎，從二項分布導出正態(tài)分布。那么，是否需要放棄從二項分布過渡到正態(tài)分布的方案呢？實際上，在教學實踐中，為了解決計算方面的困難，教師往往選擇以統(tǒng)計學為基礎的方案，即從誤差分析問題入手，以頻率逼近概率為基礎，較為直觀地引入正態(tài)分布概念。該方案的好處是不依賴于高等運算，可以兼顧頻率與概率的關系。該方案的不足之處則是，無法體現(xiàn)離散型隨機變量向連續(xù)型隨機變量的轉化過程，難以按照概率論體系構建離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量之間的聯(lián)系與區(qū)別。

2.問題設計。

因高中數(shù)學知識體系中已經(jīng)建立了較為直觀的極限概念，教師可以考慮從直觀的實驗現(xiàn)象入手，結合極限的直觀概念，通過直觀想象和邏輯推理相結合的途徑，從二項分布概念引入正態(tài)分布概念。一個可以嘗試的方案是以高爾頓（Francis Galton）釘板實驗為基礎，通過對實驗現(xiàn)象的觀察及相關概率知識（如二項分布和乘法原則）感受離散型隨機變量向連續(xù)型隨機變量轉化的極限過程。

引入正態(tài)分布及其密度函數(shù)概念后，正態(tài)分布曲線性質的教學可考慮加強對學生數(shù)學建模和模型應用的能力培養(yǎng)。正態(tài)曲線性質的教學重點在于理解和掌握正態(tài)分布的兩個關鍵參數(shù)，即均值和標準差。由于眾多日常現(xiàn)象與正態(tài)分布相關，所以此部分教學可在教師引入部分典型例子后，由學生討論及相互質疑而形成更多為學生所熟悉的新例子。隨后，視學生所得例子情況，考慮進一步引入與前沿學科（如人工智能及大數(shù)據(jù)處理等）相關的例子。利用這些學生不太熟悉的素材，引導其展開以理論知識為基礎進行問題發(fā)現(xiàn)和問題提出的探索性學習。

（二）課堂問答實踐片段

1.測量誤差實驗。

教師構想：取一個體重秤，稱量全班同學體重，記錄數(shù)據(jù)并觀察該數(shù)據(jù)是否符合正態(tài)分布的特點，進而分析平均體重和體重的標準差。該項活動的目的是通過數(shù)據(jù)分析，得到正態(tài)分布的關鍵參數(shù)，培養(yǎng)學生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。具體活動開展如下所示：

首先，設問：“體重數(shù)據(jù)是否是隨機的？”這既是對隨機性概念的復習，也是培養(yǎng)學生的數(shù)學思維習慣，即在探討數(shù)學問題之前，必須明確討論的前提條件。

其次，再問：“數(shù)據(jù)是否符合正態(tài)分布？怎么驗證？”這個問題可以由教師提出，也可視情況由學生提出。這個問題既是正態(tài)分布模型的基本應用問題，也是數(shù)學建模和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)培養(yǎng)的重要環(huán)節(jié)。

再次，實踐：體重測量。分批次測量，逐漸增大測量人數(shù)。通過不同批次的數(shù)據(jù)，得到不同的均值和標準差。

最后，引思：在該實驗的基礎上，引導學生思考“為什么均值和標準差不同？隨著人數(shù)增加，均值和標準差的變化是否存在某種規(guī)律？”該項活動重在激發(fā)全體學生的參與精神和學習熱情，讓盡可能多的學生參與到實驗環(huán)節(jié)，增強其班級歸屬感和集體意識。這部分教學活動側重于情感、態(tài)度與價值觀的培養(yǎng)。

2.平均人臉問題。

教師構想：平均人臉問題是人臉處理問題中的一個基礎問題，涉及人臉大數(shù)據(jù)的處理能力及人臉的概率模型問題。在探討體重問題之后，教師可以提示學生“人臉是不是隨機變量？如果人臉是隨機變量，符不符合正態(tài)分布？如果符合正態(tài)分布，那么平均人臉是什么樣子？”該系列問題的設置目的重點在于拓寬學生應用正態(tài)分布模型分析實際問題的視野。通常的教材或教輔材料很少涉及如此前沿的大數(shù)據(jù)分析問題，而且由于學生所見的例子過于標準化，導致學生很難認識到正態(tài)分布模型的廣泛應用價值和強大的分析能力。以平均人臉問題為抓手，則可將高中課本中的基本知識點和大數(shù)據(jù)、人工智能時代的前沿問題聯(lián)系起來。這既能提升學生對正態(tài)分布模型的認識水平，還能激發(fā)學生的學習興趣和積極性。

四、結語

新課標對高中數(shù)學教學提出了新的、更高的要求，然而在現(xiàn)實教學中，傳統(tǒng)課堂教學仍然是高中數(shù)學教學的主要形式。因此，在傳統(tǒng)課堂教學的基礎上，如何引進新的方法、思路，以滿足新課標對學生數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要求至關重要。通過理論分析和教學實踐，本文提出了以課堂有效提問為抓手的傳統(tǒng)課堂教學改革思路，根據(jù)正態(tài)分布及其性質的教學實踐，摘取了教學過程中的三個關鍵教學片段。據(jù)此，從概念引入、模型應用和知識拓展三個方面探討了課堂有效問題的設置問題，根據(jù)學情預判學生發(fā)問情況及提問過程中的情感體驗問題，希望可以構建高效的有效提問課堂，促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展。