周良

［摘? 要］ “一題一課”，是通過一個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主題或一道習(xí)題的深入研究，組織學(xué)生開展相關(guān)的數(shù)學(xué)探究活動。深度學(xué)習(xí)旨在引發(fā)學(xué)生積極主動參與學(xué)習(xí)過程，深度探索學(xué)科中的關(guān)鍵問題。深度學(xué)習(xí)是在更高層次上的知識回歸與整合、技能訓(xùn)練與提高。學(xué)生圍繞著具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，積極參與，體驗成功，獲得發(fā)展，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

［關(guān)鍵詞］ 一題一課；深度學(xué)習(xí)；關(guān)鍵問題；數(shù)學(xué)素養(yǎng)

與傳統(tǒng)課堂教學(xué)相比，“一題一課”無疑是比較另類的課堂教學(xué)，尤其是在小學(xué)階段，這樣的課堂似乎不常見。但是作為對傳統(tǒng)課堂教學(xué)的有益補充，“一題一課”無疑有其獨特的、不可替代的作用。它不是學(xué)科知識和技能的簡單重復(fù)，而是在更高層次上的知識回歸與整合、技能訓(xùn)練與提高，其主要表現(xiàn)為知識結(jié)構(gòu)化、問題思維深刻化、學(xué)科能力個性化。鄭毓信教授將“深度學(xué)習(xí)”與“淺度學(xué)習(xí)”進(jìn)行對比時指出，淺度學(xué)習(xí)主要依靠死記硬背與機(jī)械模仿，只滿足于內(nèi)容的簡單積累，最終造成了“知識碎片化”的現(xiàn)象［１］，而深度學(xué)習(xí)則有效避免了學(xué)習(xí)的膚淺化。通過實踐探索，筆者把“一題一課”作為實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的一個重要實踐研究內(nèi)容，取得了很好的教學(xué)效果。

一、“一題”的素材選擇

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：“小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)任務(wù)之一是培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。”在日常教學(xué)中，教師要根據(jù)學(xué)生差異，設(shè)計由淺入深的作業(yè)題，特別是要調(diào)動學(xué)生思維，在一道題的認(rèn)知沖突中逐步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

例如，六年級下冊數(shù)學(xué)課堂作業(yè)本P10“圓錐（一）”中的一道作業(yè)題：

這樣的作業(yè)題可實踐，也可推理論證，它既是學(xué)生容易做錯的題，又能讓學(xué)生動手又動腦，無疑是“一題”的絕佳素材。

二、“一課”初長成

1. 錯有所值，何錯之有

暫且不論教師能不能給出一種除實物演示實驗的方法之外學(xué)生可接受的數(shù)學(xué)證明，僅部分學(xué)生認(rèn)為四棱錐的底邊是正方形，有4條邊，或許結(jié)論與數(shù)字“4”有關(guān)，進(jìn)而與圓錐體積公式類比聯(lián)想得到V=Sh，就讓人欣賞不已。這樣的想法盡管是錯誤的，但也是一種很了不起的發(fā)明創(chuàng)造。不過，欣賞歸欣賞，現(xiàn)在的問題是教師能不能用一種有效的手段“扳回”這些學(xué)生的“偉大”想法，進(jìn)而讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得到有效的訓(xùn)練呢？這里的“扳回”不是教師的“橫柴入灶”，而是要在順應(yīng)學(xué)生思維的基礎(chǔ)上，在教師的有效引導(dǎo)下，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己的錯誤，進(jìn)而否定自己的想法。教師能否在此問題上做一點點有效的“突圍”呢？

2. 將錯就錯，錯中悟理

至此，學(xué)生都表示認(rèn)可，同時露出既驚訝又欣喜的表情。

筆者順應(yīng)學(xué)生的原生態(tài)想法，進(jìn)而引申出荒謬的結(jié)論，使學(xué)生產(chǎn)生了強烈的認(rèn)知沖突，并進(jìn)行自我的否定。

師：這道題給你怎樣的啟發(fā)？

生3：我原以為四棱錐的體積可能與底邊的邊數(shù)有關(guān)，但是用“夸張再夸張”的方法，從四棱錐一直推到圓錐，便得出了錯誤的結(jié)論?？梢?，充分想象對我理解事物的本質(zhì)很有幫助。

師：是的，想象力很重要，大家遇到問題時要學(xué)會多思考，有時從“夸張再夸張”的角度去思考問題，或許就會有特殊的、意想不到的結(jié)果產(chǎn)生。

把語文中的“夸張”的修辭方法運用到數(shù)學(xué)上，用“夸張再夸張”的方法創(chuàng)造出一個讓學(xué)生感到親切的、可接受的數(shù)學(xué)思想方法的名詞。出于有效聯(lián)系學(xué)生已有的基本學(xué)習(xí)經(jīng)驗和尊重小學(xué)生的認(rèn)知特點的考慮，筆者有意回避了對學(xué)生來說有些晦澀難懂的“極限”等數(shù)學(xué)名詞。

三、“一課”再教學(xué)

1. 看似完美，實有隱憂

上述看似完美的課堂教學(xué)，實存隱憂。上面的教學(xué)中否定了四棱錐的體積V=Sh，進(jìn)而自動認(rèn)為V=Sh是正確的。但是去“偽”未必存“真”，這種非此即彼的思考方式本身就存在一個邏輯錯誤。解決這個問題的關(guān)鍵在于如何從數(shù)學(xué)的角度來證明V=Sh是四棱錐的體積公式。這樣最具說服力，但問題也隨之而來。其一，有沒有必要從數(shù)學(xué)的角度來證明？其二，即便能證明，怎么證明？學(xué)生能聽懂嗎？這是因為如何將思維含量很高的數(shù)學(xué)素材變成有效的教學(xué)素材是個大問題。換句話說，如何用小學(xué)六年級學(xué)生能接受的方式，比較數(shù)學(xué)化地證明四棱錐的體積，是解決這個問題的一個重要思考途徑。

回到課本中，關(guān)于圓錐體積公式的推導(dǎo)，現(xiàn)行的所有教材都是采用實物演示實驗的方法，得出等底等高的圓錐的體積是圓柱體積的。但是用實物演示實驗的方法本身就缺乏說服力，先不說演示實驗本身就存在誤差，即便實驗確實得出了等底等高的圓錐的體積是圓柱體積的，那也只能說明做實驗的那組圓錐和圓柱的實驗器材是符合這個結(jié)論的，而這并不能證明所有的等底等高的圓錐和圓柱之間都存在這樣的關(guān)系。當(dāng)然，教材這樣安排肯定充分考慮到了小學(xué)生的認(rèn)知特點，是在深刻性與生動性之間尋找了一個中間地帶，是一種不得已而為之的折中的辦法。如果沿用教材的思路，那么對于這道作業(yè)題而言，最好的解決方法也就是用實物演示實驗的方法。

可是，當(dāng)教師面向全體學(xué)生進(jìn)行教學(xué)時，怎能忽略那些具有獨立鉆研精神，對數(shù)學(xué)學(xué)有余力且好問為什么的學(xué)生的能力培養(yǎng)呢？更何況這也是因材施教的需要和教師的職責(zé)所在。事實上，早在學(xué)習(xí)圓錐體積時，就有“好事”學(xué)生問筆者如何用剪拼的方法來推導(dǎo)圓錐的體積公式。筆者當(dāng)時只隨口回了一句“以后會學(xué)”，便打發(fā)了學(xué)生。現(xiàn)在回想起來，學(xué)生有此想法必有其背后的原因：從平行四邊形面積的推導(dǎo)到圓面積的推導(dǎo)再到圓柱體積的推導(dǎo)，都是通過剪拼的方法將原圖形轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形進(jìn)行思考的。那么，對于圓錐的體積，學(xué)生自然而然就會想到是否也能通過剪拼的方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化。這樣的想法是學(xué)生內(nèi)心深處對知識探究的渴望與追求，只怪筆者當(dāng)時處理得過于草率了。如今，筆者不得不理性地思考該如何正確對待這些學(xué)生內(nèi)心深處對知識探索的渴望與追求。

2. 峰回路轉(zhuǎn)，極限滲透

因此，筆者的想法是：對于該題，可以進(jìn)行個性化處理，無須對每個學(xué)生都做要求。由此，筆者有了對此題可行性操作的新思考。

筆者在六年級的數(shù)學(xué)拓展課上采用小步驟具象化操作，效果較好。步驟如下：

（1）借助類比，轉(zhuǎn)化成長方體。

回憶：推導(dǎo)圓面積時，我們把圓面積等分成16份，并轉(zhuǎn)化成了一個近似的長方形；推導(dǎo)圓柱體積時，我們將其轉(zhuǎn)化成近似的長方體?，F(xiàn)在能不能把四棱錐也轉(zhuǎn)化成我們熟悉的立體圖形呢？借助多媒體演示，用平行于四棱錐底面的平面去“切”這個四棱錐，把這個四棱錐平均“切”成很多份，只要“切”的次數(shù)足夠多，每個“薄片”就可以近似地看成是一個長方體。把這么多長方體的體積相加，就是這個四棱錐的體積了。

（2）用輔助線畫圖，明確各個近似長方體底面的邊長。

學(xué)生用平行于四棱錐底面的平面去“切”這個四棱錐，從簡單的二等分、三等分、四等分開始，配合畫輔助線的方式找到規(guī)律，進(jìn)而很順利地得到當(dāng)把這個四棱錐等分成16份時，它的底邊長分別是a，a，a，…，a。具體見圖3。

（3）極限滲透，求出近似值。

四棱錐等分成16份后，每一份可以近似地看成一個小長方體。小長方體的底面是一個正方形，邊長依次為a，a，a，…，a，高都是h。每一個小長方體的體積相加，就是近似的四棱錐的體積了。

學(xué)生利用計算器進(jìn)行分工合作，得出以上計算結(jié)果。雖然等分的份數(shù)不夠多，但從計算的結(jié)果來看，已經(jīng)很接近正確答案了。學(xué)生在學(xué)習(xí)圓面積時把圓等分成若干份，可轉(zhuǎn)化成一個近似的長方形，當(dāng)?shù)确值姆輸?shù)越多，也就越接近長方形?；谶@樣的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，學(xué)生借助類比想象：如果四棱錐等分的份數(shù)越多，計算出的體積是不是就越接近正確答案呢？借助多媒體演示，教師可以切分得更細(xì)，讓學(xué)生直觀感受到隨著等分的份數(shù)逐漸增加，其體積越來越接近a2h。

事實上，教學(xué)進(jìn)行到這里，并沒有嚴(yán)格證明四棱錐的體積公式，最多是越來越接近a2h。這就如同學(xué)生在研究圓面積時教師也只能把圓轉(zhuǎn)化成一個近似的長方形一樣。這是小學(xué)生特定的認(rèn)知限制所致，教師不必苛求。不可否定的是，上面的研究充分調(diào)動了學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，同時還滲透了一些基本的數(shù)學(xué)思想。

四、“一題一課”的研究方向

大腦不是一個需要被填滿的容器，而是一個需要被點燃的火把。教育心理學(xué)界普遍認(rèn)為，元認(rèn)知在整個智力活動中處于支配地位，對整個活動起控制調(diào)節(jié)作用，元認(rèn)知在數(shù)學(xué)認(rèn)知過程中具有重要作用［２］。激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提升學(xué)生核心素養(yǎng)，成為“一題一課”研究的最終落腳點。

“一題一課”的內(nèi)容要基于教材但又不限于教材，要注重學(xué)生實際與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)生長點的契合。其內(nèi)容的選擇可以是教材中富有內(nèi)涵的習(xí)題、學(xué)生學(xué)習(xí)中的疑難問題以及其他有探究價值的學(xué)習(xí)材料等。選材要具有一定的探索性，要能讓學(xué)生深度參與到學(xué)習(xí)中去。

“一題一課”要體現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的過程。深度學(xué)習(xí)是一個有意義地運用知識的過程，包含六個方面的策略：問題解決、創(chuàng)見、決策、實驗、調(diào)研和系統(tǒng)分析。學(xué)生能否靈活運用這些策略是教師判斷學(xué)生是否進(jìn)行了深度學(xué)習(xí)的依據(jù)。

五、“一題一課”的實施要點

如何提高“一題一課”教學(xué)的針對性和實效性？

1. 切忌就題論題

“一題一課”教學(xué)關(guān)鍵是要突出學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。數(shù)學(xué)思維能力的提升應(yīng)當(dāng)是“一題一課”的精髓。數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練，是數(shù)學(xué)教育的本原目標(biāo)，數(shù)學(xué)思維能力是高效數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的根本特征［３］。

教師要有目的地創(chuàng)設(shè)讓學(xué)生勇于質(zhì)疑問難的空間與時間，幫助學(xué)生分析問題、解決問題，讓學(xué)生真正享受“做數(shù)學(xué)”的過程，讓學(xué)生有時間、有機(jī)會對自己的思維活動進(jìn)行對比與反思，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

2. 提高數(shù)學(xué)教師的專業(yè)素養(yǎng)

真如張景中院士所說，小學(xué)數(shù)學(xué)具有“小兒科，大學(xué)問”的特質(zhì)。小學(xué)數(shù)學(xué)教師的專業(yè)素養(yǎng)，尤其是小學(xué)數(shù)學(xué)教師本體性知識的缺失，在一定程度上制約了小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的提高。像上面的這道數(shù)學(xué)作業(yè)題，教師引導(dǎo)學(xué)生科學(xué)探究的過程一定會植根于學(xué)生的內(nèi)心深處，其在培養(yǎng)學(xué)生自我反思、科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，有機(jī)滲透數(shù)學(xué)思想等方面的價值要遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于解答出這道題目本身。

3. 科學(xué)合理地看待學(xué)生差異

教師要清楚地認(rèn)識到每個學(xué)生的數(shù)學(xué)理解能力和接受能力是不一樣的，不必也不可能用同一標(biāo)準(zhǔn)去要求每一個學(xué)生。分層教學(xué)、因材施教，是基本的教學(xué)常識?？茖W(xué)合理地運用學(xué)生的差異，促進(jìn)師生之間、生生之間的互相學(xué)習(xí)是課堂教學(xué)有效生成的手段之一。

這樣的“一題一課”教學(xué)猶如做小課題一般，讓學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)之美。只有學(xué)科本身的魅力才會讓學(xué)生產(chǎn)生持久的學(xué)習(xí)興趣，而這恰恰也是當(dāng)前有些浮躁的教學(xué)中所缺少的學(xué)科特性?！耙活}一課”是深度學(xué)習(xí)的實踐路徑，能讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生。

參考文獻(xiàn)：

［１］ 鄭毓信. “數(shù)學(xué)深度教學(xué)”的理論與實踐［Ｊ］. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報，２０１９，２８（０５）：２４－３２.

［２］ 歐慧謀，唐劍嵐. 國內(nèi)數(shù)學(xué)元認(rèn)知的研究與思考［Ｊ］. 課程·教材·教法，２０１２，３２（０５）：５８－６１.

［３］ 史可富，孫志慧，李冬勝. 高效數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的學(xué)生心理特征模型［Ｊ］. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報，２００６（０４）：７９－８２.