周良

［摘? 要］ “一題一課”，是通過一個數學學習主題或一道習題的深入研究，組織學生開展相關的數學探究活動。深度學習旨在引發(fā)學生積極主動參與學習過程，深度探索學科中的關鍵問題。深度學習是在更高層次上的知識回歸與整合、技能訓練與提高。學生圍繞著具有挑戰(zhàn)性的學習主題，積極參與，體驗成功，獲得發(fā)展，提高數學素養(yǎng)。

［關鍵詞］ 一題一課；深度學習；關鍵問題；數學素養(yǎng)

與傳統(tǒng)課堂教學相比，“一題一課”無疑是比較另類的課堂教學，尤其是在小學階段，這樣的課堂似乎不常見。但是作為對傳統(tǒng)課堂教學的有益補充，“一題一課”無疑有其獨特的、不可替代的作用。它不是學科知識和技能的簡單重復，而是在更高層次上的知識回歸與整合、技能訓練與提高，其主要表現(xiàn)為知識結構化、問題思維深刻化、學科能力個性化。鄭毓信教授將“深度學習”與“淺度學習”進行對比時指出，淺度學習主要依靠死記硬背與機械模仿，只滿足于內容的簡單積累，最終造成了“知識碎片化”的現(xiàn)象［１］，而深度學習則有效避免了學習的膚淺化。通過實踐探索，筆者把“一題一課”作為實現(xiàn)深度學習的一個重要實踐研究內容，取得了很好的教學效果。

一、“一題”的素材選擇

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出：“小學數學教學任務之一是培養(yǎng)學生的思維能力?！痹谌粘＝虒W中，教師要根據學生差異，設計由淺入深的作業(yè)題，特別是要調動學生思維，在一道題的認知沖突中逐步提升學生的數學思維品質。

例如，六年級下冊數學課堂作業(yè)本P10“圓錐（一）”中的一道作業(yè)題：

這樣的作業(yè)題可實踐，也可推理論證，它既是學生容易做錯的題，又能讓學生動手又動腦，無疑是“一題”的絕佳素材。

二、“一課”初長成

1. 錯有所值，何錯之有

暫且不論教師能不能給出一種除實物演示實驗的方法之外學生可接受的數學證明，僅部分學生認為四棱錐的底邊是正方形，有4條邊，或許結論與數字“4”有關，進而與圓錐體積公式類比聯(lián)想得到V=Sh，就讓人欣賞不已。這樣的想法盡管是錯誤的，但也是一種很了不起的發(fā)明創(chuàng)造。不過，欣賞歸欣賞，現(xiàn)在的問題是教師能不能用一種有效的手段“扳回”這些學生的“偉大”想法，進而讓學生的數學思維得到有效的訓練呢？這里的“扳回”不是教師的“橫柴入灶”，而是要在順應學生思維的基礎上，在教師的有效引導下，讓學生發(fā)現(xiàn)自己的錯誤，進而否定自己的想法。教師能否在此問題上做一點點有效的“突圍”呢？

2. 將錯就錯，錯中悟理

至此，學生都表示認可，同時露出既驚訝又欣喜的表情。

筆者順應學生的原生態(tài)想法，進而引申出荒謬的結論，使學生產生了強烈的認知沖突，并進行自我的否定。

師：這道題給你怎樣的啟發(fā)？

生3：我原以為四棱錐的體積可能與底邊的邊數有關，但是用“夸張再夸張”的方法，從四棱錐一直推到圓錐，便得出了錯誤的結論?？梢?，充分想象對我理解事物的本質很有幫助。

師：是的，想象力很重要，大家遇到問題時要學會多思考，有時從“夸張再夸張”的角度去思考問題，或許就會有特殊的、意想不到的結果產生。

把語文中的“夸張”的修辭方法運用到數學上，用“夸張再夸張”的方法創(chuàng)造出一個讓學生感到親切的、可接受的數學思想方法的名詞。出于有效聯(lián)系學生已有的基本學習經驗和尊重小學生的認知特點的考慮，筆者有意回避了對學生來說有些晦澀難懂的“極限”等數學名詞。

三、“一課”再教學

1. 看似完美，實有隱憂

上述看似完美的課堂教學，實存隱憂。上面的教學中否定了四棱錐的體積V=Sh，進而自動認為V=Sh是正確的。但是去“偽”未必存“真”，這種非此即彼的思考方式本身就存在一個邏輯錯誤。解決這個問題的關鍵在于如何從數學的角度來證明V=Sh是四棱錐的體積公式。這樣最具說服力，但問題也隨之而來。其一，有沒有必要從數學的角度來證明？其二，即便能證明，怎么證明？學生能聽懂嗎？這是因為如何將思維含量很高的數學素材變成有效的教學素材是個大問題。換句話說，如何用小學六年級學生能接受的方式，比較數學化地證明四棱錐的體積，是解決這個問題的一個重要思考途徑。

回到課本中，關于圓錐體積公式的推導，現(xiàn)行的所有教材都是采用實物演示實驗的方法，得出等底等高的圓錐的體積是圓柱體積的。但是用實物演示實驗的方法本身就缺乏說服力，先不說演示實驗本身就存在誤差，即便實驗確實得出了等底等高的圓錐的體積是圓柱體積的，那也只能說明做實驗的那組圓錐和圓柱的實驗器材是符合這個結論的，而這并不能證明所有的等底等高的圓錐和圓柱之間都存在這樣的關系。當然，教材這樣安排肯定充分考慮到了小學生的認知特點，是在深刻性與生動性之間尋找了一個中間地帶，是一種不得已而為之的折中的辦法。如果沿用教材的思路，那么對于這道作業(yè)題而言，最好的解決方法也就是用實物演示實驗的方法。

可是，當教師面向全體學生進行教學時，怎能忽略那些具有獨立鉆研精神，對數學學有余力且好問為什么的學生的能力培養(yǎng)呢？更何況這也是因材施教的需要和教師的職責所在。事實上，早在學習圓錐體積時，就有“好事”學生問筆者如何用剪拼的方法來推導圓錐的體積公式。筆者當時只隨口回了一句“以后會學”，便打發(fā)了學生?，F(xiàn)在回想起來，學生有此想法必有其背后的原因：從平行四邊形面積的推導到圓面積的推導再到圓柱體積的推導，都是通過剪拼的方法將原圖形轉化成規(guī)則圖形進行思考的。那么，對于圓錐的體積，學生自然而然就會想到是否也能通過剪拼的方法進行轉化。這樣的想法是學生內心深處對知識探究的渴望與追求，只怪筆者當時處理得過于草率了。如今，筆者不得不理性地思考該如何正確對待這些學生內心深處對知識探索的渴望與追求。

2. 峰回路轉，極限滲透

因此，筆者的想法是：對于該題，可以進行個性化處理，無須對每個學生都做要求。由此，筆者有了對此題可行性操作的新思考。

筆者在六年級的數學拓展課上采用小步驟具象化操作，效果較好。步驟如下：

（1）借助類比，轉化成長方體。

回憶：推導圓面積時，我們把圓面積等分成16份，并轉化成了一個近似的長方形；推導圓柱體積時，我們將其轉化成近似的長方體?，F(xiàn)在能不能把四棱錐也轉化成我們熟悉的立體圖形呢？借助多媒體演示，用平行于四棱錐底面的平面去“切”這個四棱錐，把這個四棱錐平均“切”成很多份，只要“切”的次數足夠多，每個“薄片”就可以近似地看成是一個長方體。把這么多長方體的體積相加，就是這個四棱錐的體積了。

（2）用輔助線畫圖，明確各個近似長方體底面的邊長。

學生用平行于四棱錐底面的平面去“切”這個四棱錐，從簡單的二等分、三等分、四等分開始，配合畫輔助線的方式找到規(guī)律，進而很順利地得到當把這個四棱錐等分成16份時，它的底邊長分別是a，a，a，…，a。具體見圖3。

（3）極限滲透，求出近似值。

四棱錐等分成16份后，每一份可以近似地看成一個小長方體。小長方體的底面是一個正方形，邊長依次為a，a，a，…，a，高都是h。每一個小長方體的體積相加，就是近似的四棱錐的體積了。

學生利用計算器進行分工合作，得出以上計算結果。雖然等分的份數不夠多，但從計算的結果來看，已經很接近正確答案了。學生在學習圓面積時把圓等分成若干份，可轉化成一個近似的長方形，當等分的份數越多，也就越接近長方形?；谶@樣的學習經驗，學生借助類比想象：如果四棱錐等分的份數越多，計算出的體積是不是就越接近正確答案呢？借助多媒體演示，教師可以切分得更細，讓學生直觀感受到隨著等分的份數逐漸增加，其體積越來越接近a2h。

事實上，教學進行到這里，并沒有嚴格證明四棱錐的體積公式，最多是越來越接近a2h。這就如同學生在研究圓面積時教師也只能把圓轉化成一個近似的長方形一樣。這是小學生特定的認知限制所致，教師不必苛求。不可否定的是，上面的研究充分調動了學生已有的學習經驗，同時還滲透了一些基本的數學思想。

四、“一題一課”的研究方向

大腦不是一個需要被填滿的容器，而是一個需要被點燃的火把。教育心理學界普遍認為，元認知在整個智力活動中處于支配地位，對整個活動起控制調節(jié)作用，元認知在數學認知過程中具有重要作用［２］。激發(fā)學生學習興趣，提升學生核心素養(yǎng)，成為“一題一課”研究的最終落腳點。

“一題一課”的內容要基于教材但又不限于教材，要注重學生實際與數學核心素養(yǎng)生長點的契合。其內容的選擇可以是教材中富有內涵的習題、學生學習中的疑難問題以及其他有探究價值的學習材料等。選材要具有一定的探索性，要能讓學生深度參與到學習中去。

“一題一課”要體現(xiàn)深度學習的過程。深度學習是一個有意義地運用知識的過程，包含六個方面的策略：問題解決、創(chuàng)見、決策、實驗、調研和系統(tǒng)分析。學生能否靈活運用這些策略是教師判斷學生是否進行了深度學習的依據。

五、“一題一課”的實施要點

如何提高“一題一課”教學的針對性和實效性？

1. 切忌就題論題

“一題一課”教學關鍵是要突出學生的數學思維能力。數學思維能力的提升應當是“一題一課”的精髓。數學思維的訓練，是數學教育的本原目標，數學思維能力是高效數學學習的根本特征［３］。

教師要有目的地創(chuàng)設讓學生勇于質疑問難的空間與時間，幫助學生分析問題、解決問題，讓學生真正享受“做數學”的過程，讓學生有時間、有機會對自己的思維活動進行對比與反思，提高數學素養(yǎng)。

2. 提高數學教師的專業(yè)素養(yǎng)

真如張景中院士所說，小學數學具有“小兒科，大學問”的特質。小學數學教師的專業(yè)素養(yǎng)，尤其是小學數學教師本體性知識的缺失，在一定程度上制約了小學數學教學質量的提高。像上面的這道數學作業(yè)題，教師引導學生科學探究的過程一定會植根于學生的內心深處，其在培養(yǎng)學生自我反思、科學嚴謹的學習態(tài)度，有機滲透數學思想等方面的價值要遠遠高于解答出這道題目本身。

3. 科學合理地看待學生差異

教師要清楚地認識到每個學生的數學理解能力和接受能力是不一樣的，不必也不可能用同一標準去要求每一個學生。分層教學、因材施教，是基本的教學常識?？茖W合理地運用學生的差異，促進師生之間、生生之間的互相學習是課堂教學有效生成的手段之一。

這樣的“一題一課”教學猶如做小課題一般，讓學生感受到了數學之美。只有學科本身的魅力才會讓學生產生持久的學習興趣，而這恰恰也是當前有些浮躁的教學中所缺少的學科特性?！耙活}一課”是深度學習的實踐路徑，能讓學習真正發(fā)生。

參考文獻：

［１］ 鄭毓信. “數學深度教學”的理論與實踐［Ｊ］. 數學教育學報，２０１９，２８（０５）：２４－３２.

［２］ 歐慧謀，唐劍嵐. 國內數學元認知的研究與思考［Ｊ］. 課程·教材·教法，２０１２，３２（０５）：５８－６１.

［３］ 史可富，孫志慧，李冬勝. 高效數學學習的學生心理特征模型［Ｊ］. 數學教育學報，２００６（０４）：７９－８２.