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        三點共線賽題的多種解法與探究

        2023-03-20 09:40:16鄧清睿韓彥昌
        中學數(shù)學月刊 2023年3期
        關(guān)鍵詞:數(shù)學

        鄧清睿 韓彥昌

        (華南師范大學數(shù)學科學學院 510631)

        1 問題背景

        三點共線問題是初高中數(shù)學競賽中的一種常見題型,有直接求證三點共線的,如2020年地中海地區(qū)數(shù)學奧林匹克賽題第4題[1];也有在過程中需要說明三點共線的,如用梅涅勞斯定理解答1996年的全國高聯(lián)題[2];還有三點共線作為條件帶來新結(jié)論的,如2022年全國中學生數(shù)學奧林匹克競賽廣西預賽的第11題.此類問題的解法常涉及邊邊關(guān)系、邊角關(guān)系及角角關(guān)系的定理和性質(zhì).近年來,不少學者提出并探討相關(guān)問題[3],總結(jié)常見的解題方法[4],但每一道賽題都有其特色,不同的證明方式極大地影響同一道題證明的難易程度.下文將給出2022年“大夢杯”福建省青少年數(shù)學水平測試中三點共線問題的三種解法及相關(guān)的結(jié)論推廣.

        2 原題呈現(xiàn)與解法

        試題(2022年“大夢杯”福建省青少年數(shù)學水平測試第12題)如圖1,ABCD是平行四邊形,∠DAC=45°,以線段AC為直徑的圓與AB和AD的延長線分別交于點E和F,過點B作AC的垂線,垂足為H.求證:E,H,F三點共線.

        圖1

        分析 如圖1,任意給定一個圓,在旋轉(zhuǎn)不變的意義下取直徑AC是唯一的,以AC為一條邊作角∠CAF=45°,在翻轉(zhuǎn)不變的意義下也是唯一的.在AF上任取一點D,以AD,CD為鄰邊的平行四邊形ABCD是唯一的,過點B作AC的垂線,垂足H和AB的延長線與圓的交點E也是唯一的.也就是說,點H和點E由動點D唯一確定,隨著點D相應地改變.有趣的是,點D的移動導致點H和點E也變動,但E,H,F三點共線的結(jié)論不變.特別地,點D與點F重合時,ABCD為圓內(nèi)接正方形,點H即為圓心,EF為另一條對角線.

        證法1如圖2,延長BH,AF交于點P,連結(jié)FC,PC,FH,HE,CE.要證E,H,F三點共線,只需證∠AHF=∠EHC即可.由AC為直徑,BH⊥AC,知∠AEC=∠BHC=90°,那么B,E,C,H四點共圓,所以∠EHC=∠EBC①.由于AD∥BC,則有∠BCA=∠DAC=45°.在△APH中,由于BP⊥AC,則∠APB=45°,所以∠BCA=∠APB,故A,B,C,P四點共圓,因此∠EBC=∠APC②.由AC為直徑,得∠PFC=90°,又由于∠PHC=90°,故F,H,C,P四點共圓,則∠APC=∠AHF③.由①②③得∠AHF=∠EHC.

        圖2

        圖3

        圖4

        說明本題主要是通過圖形中邊與邊、角與角之間的關(guān)系進行轉(zhuǎn)換.證法1直接搭建起角相等的橋梁,步驟較為簡潔.證法2主要運用四點共圓與相似三角形的性質(zhì),把未知的角關(guān)系替換為已知的角關(guān)系.證法3運用梅涅勞斯定理的逆定理,雖然能求解,但過程繁瑣.

        3 結(jié)論推廣

        推論1如圖1,ABCD為平行四邊形,以長線段AC為直徑的圓,與AB和AD的延長線分別交于點E和F,H為線段AC上一點,連結(jié)BH,則已知以下任意兩個條件可推出余下的一個:① ∠DAC=45°;②BH⊥AC;③E,F,H三點共線.

        推論2如圖5,ABCD為平行四邊形,以長線段AC為直徑的圓,與AB和AD的延長線分別交于點E和F,H為線段AC上一點,滿足BH⊥AC,連結(jié)并延長BH,與DC交于點G,點P在BC上,則已知以下任意兩個條件可推出余下的一個:① ∠DAC=45°;②P為BC中點;③F,G,P三點共線.

        圖5

        推論3如圖6,ABCD為平行四邊形,以短線段AC為直徑的圓,與AB和AD分別交于點E和F,L為線段AC上一點,連結(jié)并延長DL,與AB交于點P,則已知以下任意兩個條件可推出余下一個:① ∠BAC=45°; ②DL⊥AC;③E,L,F三點共線.

        圖6

        4 推論證明

        (1)推論1的證明

        已知以下任意兩個條件可推出余下的一個: ① ∠DAC=45°;②BH⊥AC;③E,F,H三點共線.前面已證①②?③.

        ①③?②:如圖3,分別連結(jié)FC,CE,FE.要證BH⊥AC,即證∠BHC=90°.由AC為直徑,知∠AEC=∠AFC=90°.由①可得∠ACF=45°.顯然,A,E,C,F四點共圓,則∠ACF=∠AEF=45°.由于AD∥BC,∠BCA=∠DAC=45°,則有∠BCA=∠AEF,于是B,E,C,H四點共圓,故∠BHC=∠AEC=90°.

        ②③?①:如圖3,分別連結(jié)FC,CE,FE.顯然A,E,C,F四點共圓,則∠DAC=∠CEF④.由AC為直徑和②,∠AEC=∠BHC=90°,得B,E,C,H四點共圓,故∠HBC=∠CEF⑤.由AD∥BC,得∠DAC=∠HCB,由④⑤,得∠HBC=∠HCB,由②知△HBC為等腰直角三角形,所以∠DAC=∠HCB=45°.

        (2)推論2的證明

        已知以下任意兩個條件可推出余下的一個: ① ∠DAC=45°;②P為BC中點;③F,G,P三點共線.

        圖7

        (3)推論3的證明

        已知以下任意兩個條件可推出余下的一個: ① ∠BAC=45°;②DL⊥AC;③E,L,F三點共線.

        ①②?③:如圖8,分別連結(jié)FL,EL,FC.要證③,只需證∠CFE=∠CFL.顯然A,E,C,F四點共圓,則∠CFE=∠BAC=45° ④.由AC為直徑,知∠AFC=90°,故∠DFC=90°.由②知∠DFC=90°=∠DLC,所以D,C,L,F四點共圓,則∠CFL=∠CDL.由AB∥DC,則∠LCD=∠BAC=45°.又∠DLC=90°,則∠CFL=∠CDL=45° ⑤.由④⑤得∠CFE=∠CFL.

        圖8 圖9

        ①③?②:如圖9,連結(jié)CE,FC.由AC為直徑,知∠AEC=90°,由①知∠ACE=45°.由A,E,C,F四點共圓,知∠AFE=∠ACE=45°.由AB∥DC,得∠ACD=∠BAC=45°,則∠AFE=∠ACD,故D,C,L,F四點共圓,則∠DLC=∠DFC=180°-∠AFC=90°.故②成立.

        ②③?①:如圖9,連結(jié)CE,FC.由A,E,C,F四點共圓,得∠BAC=∠CFE④.由AC為直徑,知∠DFC=180°-∠AFC=90°.由②知∠DLC=∠DFC=90°,所以D,C,L,F四點共圓,則∠CDL=∠CFE⑤.由AB∥DC,知∠APL=∠CDL⑥.由④⑤⑥得∠BAC=∠APL,由②可知,△ALP為等腰直角三角形,所以①成立.

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