■陜西省禮泉縣教研室 陳銀會

立體幾何是高考解答題的必考內(nèi)容,試題主要考查立體幾何的基礎(chǔ)知識、基本方法和基本思想。通過空間直線、平面位置關(guān)系的論證,考查空間想象能力和推理論證能力。通過度量問題的計算,考查邏輯推理能力和運算求解能力。近年來,立體幾何在命題設(shè)計上不斷創(chuàng)新,本文結(jié)合最新的模考試題介紹立體幾何命題趨勢,供同學(xué)們復(fù)習(xí)備考。

考向一、空間幾何體中的位置關(guān)系及度量問題

空間點、線、面的位置關(guān)系通常以空間幾何體為載體考查平行、垂直關(guān)系的證明,一般出現(xiàn)在解答題的第(1)問,解答題的第(2)問常考查求空間角、體積、距離問題。求解時可以用“綜合法”“向量法”,在具體解題時不一定只運用一種方法,可以靈活選用,視情況而定。一般地,對于線面位置關(guān)系的“平行”與“垂直”的證明,可以選用“綜合法”直接處理,而對于空間角的有關(guān)計算,一般采用“向量法”更為方便與快捷。

例1(2022年咸陽市高三月考)如圖1,平面ABCD⊥平 面DBNM,且菱形ABCD與菱形DBNM全 等,∠MDB=∠DAB,G為MC的中點。

圖1

(1)求證:平面GBD∥平面AMN。

(2)求直線AD與平面AMN所成角的正弦值。

解析:(1)如圖2,連接AC交DB于E,連接GE,在△AMC中,G,E分別是CM,CA的中點,所以GE∥AM。因為GE?平面AMN,AM?平 面AMN,所 以GE∥平 面AMN。在菱形DBNM中,MN∥BE,同理可證BE∥平面AMN。又因為BE∩GE=E,所以平面GBD∥平面AMN。

圖2

(2)連接ME,因為菱形ABCD與菱形DBNM全等且∠MDB=∠DAB,所以AD=AB=BD,DM=BD=MB,所 以ME⊥BD。又平面ABCD⊥平面MNBD且相交于BD,所以ME⊥平面ABCD。

圖3

提醒:平行、垂直關(guān)系的證明,需要以空間直線、平面的位置關(guān)系為基礎(chǔ),建立和形成以公理、定義、判定、性質(zhì)為主線的立體幾何基礎(chǔ)知識體系?！翱臻g向量”的引入,給我們處理立體幾何問題提供了一種新的視角與更加有效的工具。用向量法解題的思路主要是:(1)分析問題中的關(guān)鍵要素;(2)用向量表示相關(guān)要素;(3)進行向量運算求得向量的結(jié)果;(4)將向量結(jié)果翻譯成幾何結(jié)論。在平常練習(xí)中,應(yīng)多嘗試從不同角度解決立體幾何問題,積累解題經(jīng)驗,這樣在考試中結(jié)合自身優(yōu)勢靈活選擇解題路徑,提升解題效率。

考向二、平面圖形折疊成空間幾何體的問題

先將平面圖形折疊成空間幾何體,再以其為載體研究其中的線面之間的位置關(guān)系,以及與計算有關(guān)的幾何量是近幾年高考考查立體幾何的一類重要考向,它很好地將平面圖形拓展成空間圖形,同時也為空間立體圖形向平面圖形轉(zhuǎn)化提供了具體形象的途徑,是高考考查空間想象能力的主要方向。

例2(2022年南京市高三月考)圖4是由正方形ABCD,Rt△ABE,Rt△CDF組成的一個等腰梯形,其中AB=2。將△ABE,△CDF分別沿AB,CD折起,使得E與F重合,如圖5。

圖4

圖5

(1)設(shè)平面ABE∩平面CDE=l,證明:l∥CD;

(2)若二面角A-BE-D的余弦值為,求AE的長。

解析:(1)因為CD∥AB,AB在平面ABE內(nèi),CD?平面ABE,所以CD∥平面ABE。又CD?平面ECD,平面ABE∩ 平面ECD=l,所以l∥CD。

(2)因為AB∥CD,CD⊥DE,所以AB⊥DE。又AB⊥AE,DE∩AE=E,AE?平面ADE,DE?平面ADE,所以AB⊥平面ADE。因為AB在平面ABCD內(nèi),所以平面ABCD⊥平面AED。過E作EO⊥AD于點O,則O是AD的中點。因為平面ABCD∩平面AED=AD,EO?平面ADE,所以EO⊥平面ABCD。

圖6

提醒:解決與折疊有關(guān)的問題的關(guān)鍵是搞清折疊前后的變化量和不變量。一般情況下,長度是不變量,而位置關(guān)系往往會發(fā)生變化,抓住不變量是解決問題的突破口。解決翻折問題的步驟:第一步,確定折疊前后各量之間的關(guān)系,搞清折疊前后的變化量和不變量;第二步,在折疊后的圖形中確定線和面的位置關(guān)系,明確需要用到的線面;第三步,利用判定定理或性質(zhì)定理進行證明。

考向三、線、面位置關(guān)系中的探索性問題

是否存在某點或某參數(shù),使得某種線、面位置關(guān)系成立問題,是近幾年高考命題的熱點,常在解答題的最后一問中出現(xiàn),解決這類問題的基本思路類似于反證法,即“在假設(shè)存在的前提下通過推理論證,如果能找到符合要求的點(或其他的問題),就肯定這個結(jié)論;如果在推理論證中出現(xiàn)矛盾,就說明假設(shè)不成立,從而否定這個結(jié)論”。

例3(2022年湖北省重點中學(xué)聯(lián)考)如圖7,等邊△ABC的邊長為3,D,E分別是AB,BC上的點,且滿足。如圖8,將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使得二面角A1-DE-B成直二面角,連接A1B,A1C。

圖7

圖8

(1)求證:A1D⊥平面BCED。

(2)在線段BC上是否存在點P,使得直線PA1與平面A1BD所成的角為60°? 若存在,求出PB的長;若不存在,請說明理由。

解析:(1)在圖7 中,由題得AE=2,AD=1,∠A=60°,在△ADE中,由余弦定理得DE==,故AD2+DE2=AE2,所以AD⊥DE,BD⊥DE。

在圖8 中,A1D⊥DE,BD⊥DE,所 以∠A1DB為二面角A1-DE-B的平面角,又二面角A1-DE-B為直二面角,所以∠A1DB=90°,故A1D⊥DB。因為DE∩DB=D,且DE,DB在平面BCED內(nèi),所以A1D⊥平面BCED。

(2)由(1)可知ED⊥DB,A1D⊥平面BCDE。

圖9

提醒:立體幾何中的探究性問題主要有兩類:一類是探究線面的位置關(guān)系;另一類是探究線面角或二面角滿足特定要求時的存在性問題。處理原則是:先建立空間直角坐標(biāo)系,引入?yún)?shù)(有些是題中已給出),設(shè)出關(guān)鍵點的坐標(biāo),然后探究這樣的點是否存在,或參數(shù)是否滿足要求,從而作出判斷。

近年來高考數(shù)學(xué)對立體幾何部分試題命制,仍以考查主干知識和基本方法為主,難度適中。復(fù)習(xí)備考中,應(yīng)以扎實掌握基本立體圖形的結(jié)構(gòu)特征為基礎(chǔ),夯實“平行、垂直”的推理論證能力,提升“空間角、距離”等運算的水平。養(yǎng)成良好的規(guī)范書寫習(xí)慣,達(dá)到精準(zhǔn)、高效突破解答題的目的。