程 勇， 李思卿， 李森豪

(西安科技大學(xué) 電氣與控制工程學(xué)院，陜西 西安 710600)

0 引 言

隨著電力電子技術(shù)的發(fā)展和材料技術(shù)的進(jìn)步，永磁同步電機(PMSM)的制作工藝和控制性能均得到了提高，其展現(xiàn)出了高功率密度、高工作效率、結(jié)構(gòu)簡單等優(yōu)點，在軌道交通、工廠機床、航空領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[1-3]，因此其控制方法也成為了學(xué)者們研究的熱點。

在PMSM的控制方法中，一般要求控制方法可以使控制系統(tǒng)有較快的響應(yīng)速度，較強的干擾抑制能力，在參數(shù)失配后可以維持控制性能的魯棒性。為了達(dá)到相應(yīng)的控制要求，多種針對PMSM的控制方法應(yīng)運而生，目前使用較為廣泛的就是PI控制。其控制結(jié)構(gòu)簡單，不依賴于控制系統(tǒng)的模型，因此對電機參數(shù)失配可以表現(xiàn)出較好的魯棒性。但在面對控制性能要求較高的場合時，PI控制很難呈現(xiàn)出相應(yīng)的控制性能，在面對非線性系統(tǒng)時，不能調(diào)整自身的特性來應(yīng)對復(fù)雜的控制對象[4]。因此，學(xué)者們不斷深入研究，提出了內(nèi)?？刂?、滑模控制(SMC)、自適應(yīng)控制和智能控制等控制方法。其中SMC結(jié)構(gòu)簡單、魯棒性強[5]，在實踐中已經(jīng)獲得了廣泛的應(yīng)用。SMC是一種非線性的變結(jié)構(gòu)控制，在多數(shù)文獻(xiàn)中均已應(yīng)用于電機的控制性能改善。在文獻(xiàn)[6]中，提出使用滑模觀測器(SMO)來觀測誤差，并以此對SMC和PI控制器進(jìn)行實時的權(quán)重分配，同時根據(jù)SMO設(shè)計了轉(zhuǎn)角速度補償器對誤差進(jìn)行補償，提高了轉(zhuǎn)速環(huán)的控制性能。但是在SMC的過程中，由于滑模自身的結(jié)構(gòu)特點，通常會產(chǎn)生一定程度的抖振現(xiàn)象。在文獻(xiàn)[7]中提出了一種新型混合趨近律，并結(jié)合積分型滑模面，提高了控制系統(tǒng)的干擾抑制能力，有效地降低了抖振。在文獻(xiàn)[8]中使用模糊控制建立規(guī)則動態(tài)的調(diào)節(jié)SMC的收斂速度，同時使用連續(xù)函數(shù)代替?zhèn)鹘y(tǒng)SMC中的開關(guān)函數(shù)，有效改善了SMC的抖振。

然而，在傳統(tǒng)線性滑模面分析中，發(fā)現(xiàn)線性滑模面控制不能使?fàn)顟B(tài)變量在有限時間內(nèi)收斂到0。針對此問題，在文獻(xiàn)[9]中提出了一種非奇異終端滑模控制(NTSMC)來代替?zhèn)鹘y(tǒng)的PI控制，有效提高了控制精度，降低了超調(diào)。在文獻(xiàn)[10]中引入了擴張狀態(tài)觀測器來觀測擾動，對NTSMC進(jìn)行前饋補償，增強了系統(tǒng)的抗干擾能力。然而，在對于NTSMC的進(jìn)一步研究中發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)遠(yuǎn)離平衡點時收斂速度慢。針對此問題，文獻(xiàn)[11]中提出將線性滑模面與非線性滑模面進(jìn)行組合應(yīng)用，結(jié)合線性滑模面在遠(yuǎn)離平衡點收斂速度快的優(yōu)點，提高了SMC在全局過程中的收斂性。同時，設(shè)計了擾動觀測器，降低對滑模高增益的依賴性。

在本文中，設(shè)計了一種新型的基于線性和非線性組合的積分型滑模面，解決NTSMC系統(tǒng)狀態(tài)遠(yuǎn)離平衡點時收斂速度不佳的問題。其次為了提高SMC在全局階段的趨近速率，在傳統(tǒng)的冪次趨近律中設(shè)計了以滑模面為自變量的可變因子，改善傳統(tǒng)冪次趨近律，以適應(yīng)在不同階段的控制要求。最后，本文使用了積分型滑模面的SMO來觀測控制系統(tǒng)中的未知干擾，減小觀測器的穩(wěn)態(tài)誤差，再將觀測值補償?shù)娇刂破髦校档鸵蚧８咴鲆嫠鶐淼亩墩?。本文通過仿真和試驗證明所提出的SMC方法具有更好的全局收斂性。

1 PMSM及其數(shù)學(xué)模型

PMSM根據(jù)轉(zhuǎn)子上永磁體擺放位置的不同可以分為表貼式PMSM和內(nèi)置式PMSM，對于表貼式PMSM而言，永磁體緊貼在轉(zhuǎn)子的外表面，氣隙均勻[12]，氣隙的磁密波形更加趨近于正弦波，電機的運行性能更高。

為了對電機進(jìn)行更加有效的分析，將電機的數(shù)學(xué)模型建立在dq軸下，同時對電機做出理想化處理，不計渦流和磁滯損耗，假設(shè)轉(zhuǎn)子上無阻尼繞組，忽略定子鐵心飽和，假設(shè)永磁體產(chǎn)生的磁場和三相繞組產(chǎn)生的感應(yīng)磁場呈正弦分布。得到的PMSM電壓模型如下：

(1)

式中：ud、uq分別為dq軸的電壓；id、iq為dq軸的電流；Rs為定子電阻;ωe為轉(zhuǎn)子電角速度;ψd、ψq為dq軸的定子磁鏈。

定子磁鏈方程為

(2)

式中:Ld、Lq為dq軸電感；ψf為永磁體磁鏈。

電磁轉(zhuǎn)矩方程為

(3)

式中：pn為極對數(shù)。

對于表貼式PMSM來說，dq軸的電感是相等的。所以式(3)可以簡化為

(4)

電機轉(zhuǎn)速環(huán)的參考模型為

(5)

式中:J為轉(zhuǎn)動慣量；Te為電磁轉(zhuǎn)矩；TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩；ωm為轉(zhuǎn)子角速度;B為摩擦系數(shù)。

2 SMC設(shè)計

2.1 滑模收斂性分析

SMC是一種變結(jié)構(gòu)的控制，可以在動態(tài)過程中，有目的的進(jìn)行變化，具有實現(xiàn)簡單，響應(yīng)快，對參數(shù)不敏感的優(yōu)點[13]。圖1為狀態(tài)空間中在切換面上三種點的特性。

圖1 滑模面上三種點的特性

圖1所示，s=0為切換面，將狀態(tài)空間分為s>0和s<0兩部分。在狀態(tài)空間中，運動點可以分為穿過切換面的通常點，離開切換面的起始點和趨向于切換面的終止點三種。SMC中，將切換面某一區(qū)域內(nèi)的所有點均變?yōu)榻K止點。則可以迫使靠近這一區(qū)域的運動點在該區(qū)域運動，此時系統(tǒng)在切換面上的運動就叫做滑模運動。

在SMC中，切換面即為滑模面。傳統(tǒng)的線性滑模面如下所示：

s=cx1+x2

(6)

式中：x1、x2為系統(tǒng)狀態(tài)變量；c為正的常數(shù)，其中x2為x1的一階導(dǎo)數(shù)，在系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)滑模面之后，滑模面值為0，綜合上述可得：

(7)

對上述微分方程進(jìn)行求解得到狀態(tài)變量x1從初始位置x(0)到達(dá)零點所用時間ts如下表示：

(8)

可知，狀態(tài)變量無法在有限時間內(nèi)收斂到0。在NTSMC的設(shè)計中，滑模面如下表示:

(9)

式中:0

有效避免了終端滑模的奇異問題[14]，取滑模面的值為0，得到如下微分方程:

(10)

對微分方程進(jìn)行求解，得到NTSMC中狀態(tài)變量x1從初始位置x(0)到達(dá)零點所用時間ts，表示如下:

(11)

可知，NTSMC可以使?fàn)顟B(tài)變量x1在有限時間內(nèi)收斂到0。

綜上所述，NTSMC可以解決傳統(tǒng)線性滑模面構(gòu)成的滑?？刂葡到y(tǒng)狀態(tài)變量不能在有限時間內(nèi)收斂到0的問題，但是NTSMC仍存在有在系統(tǒng)遠(yuǎn)離平衡點時趨近速率不佳的問題，導(dǎo)致滑?？刂品磻?yīng)速度慢。

2.2 復(fù)合終端滑?？刂破髟O(shè)計

為了改善NTSMC在遠(yuǎn)離平衡點位置趨近速度慢的缺點，將線性滑模面和非線性滑模面進(jìn)行組合，得到如下所示的滑模面：

(12)

式中：c1、c2分別為線性滑模面系數(shù)和非線性滑模面系數(shù)，均為正常數(shù)。

將所設(shè)計的滑模面代入到電機控制系統(tǒng)中，定義狀態(tài)變量如下：

(13)

將狀態(tài)變量定義為轉(zhuǎn)速誤差的積分與誤差，可以更好地減少系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差[15]，同時定義適當(dāng)?shù)姆e分初值可有效降低轉(zhuǎn)速超調(diào)。

在定義了狀態(tài)變量和滑模面之后，對滑模面進(jìn)行求導(dǎo)：

(14)

為了保證狀態(tài)變量的收斂性，選擇趨近律為冪次趨近律，如下所示：

(15)

冪次趨近律可以在啟動過程中狀態(tài)變量反饋值較大時，使得SMC收斂速度快。隨著狀態(tài)變量的收斂，收斂速度降低，最終平穩(wěn)趨向滑模面。

通常來說，在SMC的過程中主要可以分為兩個階段，階段一是系統(tǒng)狀態(tài)從初始位置趨近到滑模面的趨近階段，階段二是系統(tǒng)狀態(tài)在滑模面上滑動的滑動階段[16]。在傳統(tǒng)的冪次趨近率中，α為可調(diào)系數(shù)，當(dāng)滑模運動處于階段一時，增大α?xí)r，可以提高SMC的反應(yīng)速度，但是SMC到達(dá)階段二時，滑模面的值在0附近波動，α過大時，反而會降低SMC的趨近速率，因此本文中提出將α定義為以滑模面s為自變量的函數(shù),如下所示：

(16)

式中:a為α的上界；b為α的下界,且滿足1>a>b>0；h1、h2為自變量的系數(shù)。

根據(jù)反正切函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)自變量s增大時，α的值會逐漸趨近于上界a；當(dāng)自變量s減小時，α的值會逐漸趨近于下界b。調(diào)節(jié)參數(shù)h1、h2可以調(diào)整α對自變量s的敏感性。

將式(13)、式(14)代入式(15)中得：

(17)

將式(5)代入式(17)中得控制器如下：

(18)

為了證明控制器的穩(wěn)定型，定義SMC的Lyapunov函數(shù)為

(19)

對Lyapunov函數(shù)求導(dǎo)得:

(20)

將式(17)代入式(20)中得到：

(21)

最終根據(jù)Lyapunov第二穩(wěn)定性的定義可知，本文所設(shè)計的復(fù)合終端滑?？刂?CTSMC)策略是漸近穩(wěn)定的。然而，在實際的電機控制系統(tǒng)中，電機在運行過程中所遭受的負(fù)載轉(zhuǎn)矩是未知的，所以為了保證控制系統(tǒng)的抗干擾性往往會增大SMC的增益，但是同時也會使得控制器輸出有較大的抖振現(xiàn)象，影響控制系統(tǒng)的精度[17]。

3 SMO設(shè)計

為了解決第2節(jié)中提出的問題，本文提出改進(jìn)型的SMO來補償受到干擾的控制系統(tǒng)，針對PMSM的轉(zhuǎn)速環(huán)建立如下模型，將負(fù)載轉(zhuǎn)矩當(dāng)作未知干擾，摩擦力定義為未建模動態(tài)：

(22)

式中:F為控制系統(tǒng)所受到的總干擾，包括未知干擾和未建模動態(tài);f(t)定義為控制系統(tǒng)的未建模動態(tài);d(t)定義為系統(tǒng)運行中所受的未知干擾。

為了提高系統(tǒng)的全局收斂性，本文設(shè)計了改進(jìn)型SMO觀測系統(tǒng)中的干擾與未建模動態(tài):

(23)

將SMO模型與系統(tǒng)模型作差可得：

(24)

為了保證觀測器的跟隨性，定義如下滑模面：

(25)

在上述滑模面的設(shè)計中采用積分型滑模面，改善觀測器穩(wěn)態(tài)誤差，可以得到更加準(zhǔn)確的干擾觀測值。

對滑模面求導(dǎo)得:

(26)

取滑模趨近率為冪次趨近率得:

(27)

ksmo為正的常數(shù)，結(jié)合式(24)得:

(28)

(29)

usmo=ksmo|ssmo|αsign(ssmo)+c3esmo

(30)

由上述可知，以反饋轉(zhuǎn)速和q軸電流為輸入的SMO可以成功地觀測到系統(tǒng)運行過程中的未知干擾和為建模動態(tài)。為了證明觀測器的穩(wěn)定性，同樣定義Lyapunov函數(shù)如下：

(31)

對SMO的Lyapunov函數(shù)求導(dǎo)得:

(32)

最終得到的基于改進(jìn)SMO的PMSM NTSMC系統(tǒng)如圖2所示。

圖2 PMSM控制框圖

4 仿真分析

利用MATLAB/Simulink對本文提出的方法進(jìn)行仿真，來證明所提出方法的可行性，仿真中所使用的電機參數(shù)如下表1所示。

表1 電機參數(shù)表

在仿真中轉(zhuǎn)速的參考值為1 500 r/min,在仿真的0.2 s處，突加10 N·m的負(fù)載，并在0.7 s處降低負(fù)載，變?yōu)? N·m，使用PI控制器、NTSMC和本文提出的基于改進(jìn)SMO的CTSMC控制器進(jìn)行對比，來證明所提出方法的優(yōu)越性。

在CTSMC仿真中，調(diào)整滑模面系數(shù)c1、c2，在一定區(qū)間范圍向區(qū)域內(nèi)進(jìn)行夾逼得到最優(yōu)值?；Ｔ鲆鎘調(diào)整方式與上述相同。值得注意的是可變因子的調(diào)整，其中a在取值范圍內(nèi)盡可能取大值，b在取值范圍內(nèi)盡可能取小值。h1、h2應(yīng)取較大數(shù)量級的值，保證α在變化過程中具有快速性和穩(wěn)定性。

圖3為PI控制器，NTSMC與本文所提出的CTSMC轉(zhuǎn)速對比。在電機起動時，PI控制器超調(diào)6.6%，并在0.1 s后到達(dá)參考轉(zhuǎn)速，NTSMC控制器超調(diào)3.6%，在0.02 s后到達(dá)參考轉(zhuǎn)速，CTSMC控制器無超調(diào)；在達(dá)到參考轉(zhuǎn)速后，本文所提出的CTSMC控制器在面對突加和突減負(fù)載轉(zhuǎn)矩，可在約0.02 s的時間內(nèi)恢復(fù)到參考轉(zhuǎn)速，NTSMC可在約0.03 s的時間內(nèi)恢復(fù)到參考轉(zhuǎn)速，PI控制則需要約0.08 s。

圖3 轉(zhuǎn)速波形對比圖

圖4和圖5為使用PI、NTSMC和CTSMC的dq軸電流對比圖，使用本文所提出的CTSMC方法中q軸電流在起始階段可以以最快的速度到達(dá)參考值，并穩(wěn)定在空載時的參考電流值。且在穩(wěn)態(tài)時CTSMC控制策略q軸電流波動也小于NTSMC和PI控制器，對于d軸電流來說，CTSMC在±0.5 A的范圍內(nèi)波動，而PI和CTSMC波動均超出了±0.5 A。

圖4 q軸電流波形對比圖

圖5 d軸電流波形對比圖

圖6為使用改進(jìn)趨近律與傳統(tǒng)冪次趨近律控制方法下的穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)速對比，可以看出在改進(jìn)趨近律的作用下穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)速可以穩(wěn)定在參考值的±0.4 r/min之內(nèi)波動，較大程度上提高了穩(wěn)態(tài)時的控制性能。

圖6 穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)速對比

最后，圖7為CTSMC和NTSMC狀態(tài)變量收斂對比圖，從圖7中可知CTSMC比NTSMC在遠(yuǎn)離平衡點時具有更好的收斂性。

圖7 CTSMC和NTSMC狀態(tài)變量收斂對比圖

此外，為了證明本文所設(shè)計的SMO可以有效地觀察到系統(tǒng)運行中的負(fù)載轉(zhuǎn)矩和未建模動態(tài)。對觀測器的結(jié)果進(jìn)行分情況仿真，如圖8所示，圖8(a)為取摩擦系數(shù)為0時的干擾觀測值，此時，仿真中的干擾僅包含負(fù)載轉(zhuǎn)矩。起始狀態(tài)時，所得到干擾觀測值為0，在0.2 s處逼近值跟隨負(fù)載轉(zhuǎn)矩輸入值在0.1 s后上升為10 N·m，收斂到準(zhǔn)確值，在0.7 s后轉(zhuǎn)矩跟隨負(fù)載轉(zhuǎn)矩輸入值降低為5 N·m，觀測結(jié)果準(zhǔn)確跟隨指令值。圖8(b)為加入摩擦系數(shù)時的轉(zhuǎn)矩觀測值，在電機起動時，觀測器輸出了因摩擦力所產(chǎn)生的干擾，并在加載或者減載以后，觀測器輸出了負(fù)載轉(zhuǎn)矩和摩擦的疊加值。

圖8 轉(zhuǎn)矩觀測值

5 試驗結(jié)果

為了驗證本文所提出SMC和SMO方法的有效性，對上文中所提出的方法搭建試驗平臺。試驗平臺主要由電機及電機驅(qū)動模塊、信號轉(zhuǎn)換模塊、信號發(fā)送采集模塊等部分組成。在電機的試驗過程中由張力控制器為試驗提供負(fù)載轉(zhuǎn)矩,試驗所用設(shè)備如下圖9所示。

圖9 PMSM控制系統(tǒng)實物圖

圖10所示，定義試驗中的參考轉(zhuǎn)速為600 r/min,參數(shù)調(diào)整原理可參考仿真，傳統(tǒng)的PI和NTSMC均產(chǎn)生不同程度的超調(diào)，PI控制超調(diào)5%左右，NTSMC超調(diào)3%左右，而本文所提出的CTSMC則不發(fā)生超調(diào)。在試驗的第30 s加入2 N·m的負(fù)載，傳統(tǒng)PI控制轉(zhuǎn)速下降為參考轉(zhuǎn)速的94%左右，且恢復(fù)速度慢，NTSMC轉(zhuǎn)速緩慢下降，下降為參考轉(zhuǎn)速的96.6%，同樣恢復(fù)速度慢。而本文所提出的基于SMO的CTSMC轉(zhuǎn)速下降為參考轉(zhuǎn)速的98.5%,在5 s左右后可恢復(fù)到參考轉(zhuǎn)速，對于突加負(fù)載反應(yīng)速度，抗干擾能力強。在試驗的60 s處卸下負(fù)載，同樣在轉(zhuǎn)速變化和恢復(fù)速度上，CTSMC均優(yōu)于PI和NTSMC。

圖10 試驗中的轉(zhuǎn)速對比圖

圖11為基于改進(jìn)冪次趨近律的CTSMC和使用傳統(tǒng)冪次趨近律的NTSMC穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)速對比圖，可以看出本文所提基于改進(jìn)冪次趨近律的CTSMC在穩(wěn)態(tài)時轉(zhuǎn)速波動在±1.5 rad/min左右，而使用傳統(tǒng)冪次趨近律的NTSMC穩(wěn)態(tài)時轉(zhuǎn)速波動在±3 rad/min左右，可有效減小穩(wěn)態(tài)時的轉(zhuǎn)速波動。

圖11 試驗中的穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)速對比圖

圖12為PI、NTSMC和CTSMC的d軸反饋電流對比。

圖12 試驗中的d軸反饋電流

由圖12可知，PI控制起動和加減載的過程中電流會產(chǎn)生較大波動，在約10 s后進(jìn)入穩(wěn)態(tài)；NTSMC在加載后電流波動增大，在減載后恢復(fù)到穩(wěn)定值；本文所提出的CTSMC在起動時刻尖峰電流最小，在加減載之后的誤差也小于PI和NTSMC。

圖13為三種控制方法q軸反饋電流的對比圖，由圖13可知PI控制器在起動，加載減載的過程中均出現(xiàn)了較大的超調(diào)和波動，而NTSMC在起動，加減減載的過程中產(chǎn)生了少許尖峰電流，但很快趨于穩(wěn)定，而本文所提出的CTSMC在起動時刻超調(diào)最小，在加減載的過程中反應(yīng)速度均比PI和NTSMC快，且穩(wěn)態(tài)誤差小。

圖13 試驗中的q軸反饋電流

6 結(jié) 語

本文通過分析線性滑模面和非線性滑模面的特點，提出將線性滑模面和非線性滑模面組合，設(shè)計了一種新型的復(fù)合積分滑模面，并且在基于傳統(tǒng)冪次趨近的基礎(chǔ)上設(shè)計了新型的改進(jìn)冪次趨近律，使得控制器在運行過程中根據(jù)滑模面的值來調(diào)整趨近速度，提高控制器的全局收斂性。最后，引入SMO觀測系統(tǒng)的未知干擾和未建模動態(tài)，對控制器進(jìn)行前饋補償，降低滑模控制因高滑模增益而產(chǎn)生的抖振。通過仿真和試驗證明CTSMC可以提高滑模控制在全局階段的收斂性，改善滑?？刂频男阅?。