趙桂琛， 何建華， 章恩澤， 王保防

(1.青島大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，山東 青島 266071；2.揚(yáng)州大學(xué) 信息工程學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州 225009)

0 引 言

伺服系統(tǒng)又稱(chēng)隨動(dòng)系統(tǒng)，是一種能使負(fù)載位置等輸出被控量隨輸入信號(hào)變化的自動(dòng)控制系統(tǒng)[1-3]。隨著科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展，大功率工業(yè)應(yīng)用的出現(xiàn)對(duì)伺服系統(tǒng)提出了更高的要求。大功率交流伺服系統(tǒng)用于雷達(dá)和火炮，通常需要由多個(gè)電機(jī)同步驅(qū)動(dòng)。在多電機(jī)伺服系統(tǒng)中，一些因素限制了系統(tǒng)跟蹤性能的提高，包括電機(jī)特性的差異，系統(tǒng)參數(shù)擾動(dòng)引起的溫度和負(fù)載變化，負(fù)載慣性不確定性和扭矩?cái)_動(dòng)、摩擦以及非線性動(dòng)態(tài)扭矩引起的齒槽效應(yīng)，力矩、柔性傳動(dòng)機(jī)構(gòu)引起的低頻共振等。

摩擦是影響伺服系統(tǒng)性能的主要因素之一。為了提高系統(tǒng)的性能，可采用適當(dāng)?shù)哪Σ裂a(bǔ)償方法來(lái)減少或消除摩擦對(duì)伺服系統(tǒng)性能的影響。實(shí)際中，在處理摩擦問(wèn)題時(shí)主要是基于摩擦模型進(jìn)行補(bǔ)償[4-5]。根據(jù)不同的情況，提出了多種摩擦模型用于建模和補(bǔ)償。其中常用的模型有Dahl模型[6]、LuGre模型[7]、彈塑性模型[8]、Leuven模型[9]和GMS模型[10]。本文使用LuGre模型，因?yàn)槠淇梢栽诘退倌Σ羷?dòng)力學(xué)方面準(zhǔn)確地描述摩擦現(xiàn)象[11]。

為了克服摩擦對(duì)系統(tǒng)的影響，許多學(xué)者提出了不同的補(bǔ)償策略。文獻(xiàn)[12]提出了一種基于多級(jí)坐標(biāo)搜索算法的LuGre模型參數(shù)辨識(shí)方法，并設(shè)計(jì)了一個(gè)非線性摩擦觀測(cè)器來(lái)估計(jì)LuGre模型不可測(cè)的內(nèi)部狀態(tài)。為了解決具有摩擦非線性伺服系統(tǒng)的控制問(wèn)題，提出了一種改進(jìn)的LuGre摩擦模型。徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(RBFNN)因?yàn)榫哂型ㄓ帽平匦?，所以可用?lái)實(shí)現(xiàn)估計(jì)和補(bǔ)償[13]。文獻(xiàn)[1]提出了一種能夠自適應(yīng)地調(diào)整基函數(shù)的中心和寬度并在線逼近LuGre摩擦的控制器，并證明了該方法的有效性。文獻(xiàn)[14]提出了一種新型的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)觀測(cè)器來(lái)觀測(cè)不易測(cè)的內(nèi)部狀態(tài)，并引入魯棒自適應(yīng)控制器實(shí)現(xiàn)高精度跟蹤控制。

對(duì)于高階非線性伺服系統(tǒng)，反步法被認(rèn)為是一種設(shè)計(jì)高性能跟蹤控制器的有效方法[15-17]。反步法廣泛應(yīng)用于非線性系統(tǒng)的控制，可以通過(guò)與自適應(yīng)控制相結(jié)合來(lái)解決一大類(lèi)不確定非線性系統(tǒng)的控制問(wèn)題。然而，在控制器設(shè)計(jì)過(guò)程中，需要反復(fù)地對(duì)虛擬控制信號(hào)進(jìn)行求導(dǎo)。隨著系統(tǒng)復(fù)雜性的增加，會(huì)出現(xiàn)“微分爆炸”現(xiàn)象，導(dǎo)致控制器設(shè)計(jì)過(guò)程變得更加繁瑣。針對(duì)反步法計(jì)算復(fù)雜的問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者提出了大量的解決方法。其中，典型的技術(shù)方法有動(dòng)態(tài)面技術(shù)[18-20]和命令濾波技術(shù)[21-23]。

本文研究了基于LuGre摩擦模型的雙電機(jī)伺服系統(tǒng)自適應(yīng)反步控制方法，并應(yīng)用了非線性摩擦觀測(cè)器和命令濾波技術(shù)。其中非線性觀測(cè)器用于摩擦的估計(jì)和補(bǔ)償，命令濾波器用于處理反步法的虛擬控制信號(hào)，避免了反復(fù)求導(dǎo)引起的復(fù)雜性問(wèn)題，并使用誤差補(bǔ)償方程來(lái)減小濾波誤差。為了保證同步性能，設(shè)計(jì)了速度同步反饋信號(hào)。最后，利用李雅普諾夫理論證明系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

1 問(wèn)題描述與系統(tǒng)建模

在雙電機(jī)伺服系統(tǒng)中，兩臺(tái)電機(jī)通過(guò)減速器、小齒輪和大齒圈一起帶動(dòng)旋轉(zhuǎn)負(fù)載。雙電機(jī)同步驅(qū)動(dòng)伺服系統(tǒng)的機(jī)械架構(gòu)示意圖如圖1所示[24]。

圖1 雙電機(jī)同步驅(qū)動(dòng)伺服系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

忽略齒隙的影響，雙電機(jī)同步驅(qū)動(dòng)伺服系統(tǒng)理想模型為

(1)

式中：下標(biāo)j為不同的組，j=1,2;θj、ωj、Jmj、KTj、Kej分別為負(fù)載和電機(jī)的角位置、角速度、慣量、電磁轉(zhuǎn)矩常數(shù)、反電動(dòng)勢(shì)常數(shù)；ij、Rj、Lj、uj分別為各電機(jī)的電流、電阻、電感、控制電壓；KL為傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的剛度系數(shù)；θL、ωL、JL分別為轉(zhuǎn)換到電機(jī)側(cè)的負(fù)載的角位置、角速度、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；bj為常數(shù)；Tf為L(zhǎng)uGre摩擦模型建立的摩擦力矩。

Tf的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

(2)

(3)

σ0g(ωL)=FC+(FS-FC)e-(ωL/ωs)2

(4)

式中:σ0為摩擦剛性系數(shù)；σ1為摩擦阻尼系數(shù)；σ2為黏性摩擦系數(shù)；FC為庫(kù)侖摩擦力矩；FS為靜摩擦力矩；ωS為Stribeck速度;z為摩擦狀態(tài)；g(ωL)為刷毛在兩個(gè)接觸面之間的平均撓度，是一個(gè)大于0且有界的函數(shù)。

雙電機(jī)伺服系統(tǒng)的控制方法如圖2所示。

圖2 雙電機(jī)伺服驅(qū)動(dòng)控制方案

定義狀態(tài)變量：x1=θLθ*、x2=ωL、x3j=θj、x4j=ωj、x5j=ij，可得狀態(tài)方程為

(5)

式中:a0=KL/JL,β1j=KTj/Jmj,β2j=KL/Jmj,β3j=Rj/Lj,β4j=Kej/Lj,β5j=1/Lj;x3=x31+x32、x4=x41+x42。

對(duì)式(5)所示系統(tǒng)做如下假設(shè):

注1控制目標(biāo)是在Lugre摩擦模型的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)控制信號(hào)u1和u2，以減小摩擦轉(zhuǎn)矩的影響，保證兩臺(tái)電機(jī)同步運(yùn)行，并保證y能夠穩(wěn)定跟蹤預(yù)期信號(hào)yd。

注2雙電機(jī)伺服系統(tǒng)有兩個(gè)控制輸入信號(hào)。分別考慮各電機(jī)的輸入時(shí)，系統(tǒng)仍然滿足嚴(yán)格反饋形式，滿足反步法設(shè)計(jì)的要求。

引理1命令濾波器定義如下[25]：

(6)

2 控制器設(shè)計(jì)

本節(jié)設(shè)計(jì)了一種基于雙觀測(cè)器的命令濾波器自適應(yīng)反步跟蹤控制器，用于具有Lugre摩擦的雙電機(jī)伺服系統(tǒng)。假設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)跟蹤誤差為

(7)

式中:x2,c、x3,c、x4,c、x5j,c分別為x2、x3、x4、x5j的期望虛擬控制信號(hào)；x4,c/2為狀態(tài)x4j的期望虛擬控制信號(hào);es和et分別為兩臺(tái)電機(jī)的轉(zhuǎn)速差和驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩均衡誤差。

注3所提出的控制器由非線性摩擦觀測(cè)器、命令濾波器、濾波誤差補(bǔ)償系統(tǒng)和雙電機(jī)伺服系統(tǒng)組成。其中，將命令濾波器應(yīng)用于虛擬控制信號(hào)，解決了復(fù)雜的計(jì)算爆炸問(wèn)題。利用濾波誤差補(bǔ)償方程，提高了系統(tǒng)的濾波精度和跟蹤精度。該觀測(cè)器用于非線性摩擦的估計(jì)和補(bǔ)償。最后，利用李雅普諾夫理論設(shè)計(jì)了整體控制器，并證明了其穩(wěn)定性。

第一步，定義補(bǔ)償后的跟蹤誤差為v1=e1-ζ1，考慮Lyapunov函數(shù)為

(8)

將式(5)與式(7)相結(jié)合，V1的時(shí)間導(dǎo)數(shù)為

(9)

構(gòu)造虛擬控制律α1和補(bǔ)償信號(hào)ζ1為

(10)

(11)

將式 (10)、式(11)代入式(9)可得：

(12)

第二步,考慮非線性狀態(tài)z不可測(cè)，使用兩個(gè)狀態(tài)觀測(cè)器估計(jì)狀態(tài)z[26]：

(13)

觀測(cè)摩擦力矩定義如下：

(14)

定義：

(15)

(16)

所以有：

(17)

(18)

同樣，將補(bǔ)償后的跟蹤誤差定義為v2=e2-ζ2。選擇Lyapunov函數(shù):

(19)

式中:γ0、γ1、γ2為大于0的常數(shù)。

(20)

構(gòu)造虛擬控制律α2和補(bǔ)償信號(hào)ζ2分別為

(21)

(22)

將式(21)和式(22)代入(20)，可以獲得：

(23)

根據(jù)式(23)，得到以下更新定律：

(24)

(25)

因此可以得到：

(26)

第三步,補(bǔ)償信號(hào)為v3=e3-ζ3。選擇Lyapunov函數(shù)為

(27)

V3的導(dǎo)數(shù)為

(28)

同樣，構(gòu)造虛擬控制律α3、補(bǔ)償信號(hào)ζ3為

(29)

(30)

將式(29)和式(30)代入式(28)，可以得到：

(31)

第四步,類(lèi)似地，定義v4=e4-ζ4，選擇以下Lyapunov函數(shù)：

(32)

V4的導(dǎo)數(shù)為

α41-a0β21(x31-x1)-a0b1x41+

e52+(x52,c-α42)+α42-

(33)

構(gòu)造虛擬控制律α4j和補(bǔ)償信號(hào)ζ4為

α4j=a0β2j(x3j-x1)+a0bjx4j+

(34)

(35)

將式(34)和式(35)代入式(33)，可以得到：

(36)

第五步,類(lèi)似地，定義v5=e5-ζ5，選擇Lyapunov函數(shù)如下：

(37)

V5的導(dǎo)數(shù)為

a0β11β41x41+a0β11β51u1-

(38)

根據(jù)需要構(gòu)造控制信號(hào)u1、u2和補(bǔ)償信號(hào)ζ5如下所示:

(39)

(40)

(41)

3 穩(wěn)定性分析

(42)

定理對(duì)于可由式(1)中描述的雙電機(jī)伺服系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了控制器式(39)、命令濾波器式(6)、濾波補(bǔ)償子系統(tǒng)和非線性摩擦觀測(cè)器式(17)。在這些條件下，閉環(huán)控制系統(tǒng)的跟蹤誤差將收斂到原點(diǎn)的一個(gè)足夠小的鄰域，并且系統(tǒng)的所有狀態(tài)均是有界的。

證明：

Lyapunov函數(shù)將整個(gè)系統(tǒng)定義為

(43)

V的時(shí)間導(dǎo)數(shù)為

(44)

(x52,c-α42)-(x51,c-α41)

(45)

由引理1得|(x52,c-α42)-(x51,c-α41)|≤ε和ε>0，則式(45)可表示為

(46)

(47)

將式(46)和式(47)代入式(44)可得：

(48)

定義：

(49)

(50)

可得：

(51)

對(duì)于任意的t≤t0，存在：

(52)

根據(jù)引理2，可以看到負(fù)載位置跟蹤誤差收斂到原點(diǎn)附近足夠小的鄰域。

所設(shè)計(jì)控制器主要優(yōu)勢(shì)在于通過(guò)命令濾波器降低了控制器的計(jì)算復(fù)雜度，此外，結(jié)合同步反饋信號(hào)進(jìn)一步提高兩個(gè)電機(jī)之間的同步性能。然而，穩(wěn)定性證明最后的結(jié)論僅能得到實(shí)用穩(wěn)定性的結(jié)果，即所有系統(tǒng)狀態(tài)均是有界穩(wěn)定的。

4 試驗(yàn)分析

雙電機(jī)伺服系統(tǒng)進(jìn)行了對(duì)比試驗(yàn)，比較了PI控制和基于觀測(cè)器的命令濾波自適應(yīng)反步控制OCFABC方法下的雙電機(jī)伺服系統(tǒng)運(yùn)行性能。負(fù)載位置施加正弦信號(hào)和斜坡信號(hào)。

試驗(yàn)所用電機(jī)型號(hào)為科爾摩根B-402-B，慣量為0.000 323 kg·m2，電動(dòng)勢(shì)常數(shù)為0.64 V·s/rad，轉(zhuǎn)矩常數(shù)為1.11 N·m/A?？刂破鲄?shù)[c1c2…c5]分別為[500 1 500 100 200 10]，同步反饋控制參數(shù)[kskc]=[1 1.5]。

試驗(yàn)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 雙電機(jī)試驗(yàn)平臺(tái)

圖4 位置跟蹤誤差1

圖5 速度同步誤差1

圖6 位置跟蹤誤差2

圖7 速度同步誤差2

試驗(yàn)結(jié)果如圖4～圖7所示。圖4和圖6給出了兩種控制方法的位置跟蹤誤差。圖5和圖7顯示了兩種控制方法的同步誤差。從圖4～圖7可以看出，OCFABC的位置誤差和同步誤差均小于PI控制。因此，通過(guò)試驗(yàn)可以得出OCFABC具有更好的跟蹤性能和同步性能。

5 結(jié) 語(yǔ)

本文針對(duì)具有LuGre摩擦的雙電機(jī)伺服系統(tǒng)，構(gòu)造了一種基于觀測(cè)器的命令濾波自適應(yīng)反步控制器。該控制器中的觀測(cè)器用于觀測(cè)和摩擦補(bǔ)償，并與命令濾波技術(shù)相結(jié)合，避免了反步控制設(shè)計(jì)過(guò)程中的“計(jì)算爆炸”問(wèn)題，并在兩個(gè)電機(jī)同步時(shí)實(shí)現(xiàn)了良好的跟蹤性能。與其他方法相比，試驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了該控制方法的有效性以及良好的跟蹤和同步性能。本文研究的雙電機(jī)同步伺服系統(tǒng)控制策略仍處于理論研究與試驗(yàn)驗(yàn)證階段，將所設(shè)計(jì)的控制策略應(yīng)用在實(shí)際的多電機(jī)驅(qū)動(dòng)及伺服系統(tǒng)中，是未來(lái)的重點(diǎn)研究?jī)?nèi)容。