邢藝馨， 藍益鵬， 姜云風， 孫偉棟

(沈陽工業(yè)大學 電氣工程學院，遼寧 沈陽 110870)

0 引 言

“旋轉(zhuǎn)伺服電機和滾珠絲杠”結(jié)構(gòu)是精密數(shù)控機床最常用的傳動部件。其主要功能是將旋轉(zhuǎn)運動轉(zhuǎn)換為線性運動。該結(jié)構(gòu)中包含的中間傳動鏈導致了系統(tǒng)具有較大的運動慣性，大量機械結(jié)構(gòu)不可避免地導致大量機械結(jié)構(gòu)摩擦和變形，進而引起功率損失并造成系統(tǒng)誤差的積累[1]。由于滾珠絲杠的存在，整個系統(tǒng)的線速度、加速度和定位精度降低，無法滿足數(shù)控機床高精度、高速度的加工要求。使用磁懸浮直線電機是解決這一問題的有效方法之一[2]。

在電勵磁直線同步電動機(EELSM)中可以實現(xiàn)進給平臺和靜止導軌之間的相對獨立[3-4]。系統(tǒng)的效率以及靈敏性均會受到導軌與機床平臺摩擦力的影響，采用EELSM數(shù)控機床運動平臺，可以消除摩擦對系統(tǒng)的影響。但在EELSM磁懸浮系統(tǒng)上會存在外界擾動等不確定性作用，難以對系統(tǒng)進行精確控制。因此，消除不確定因素對系統(tǒng)產(chǎn)生的影響，并設(shè)計出控制性能良好的控制器是實現(xiàn)系統(tǒng)高精度控制的關(guān)鍵[5-6]。

在許多實際系統(tǒng)中，對象的動力學方程是非線性的。自適應(yīng)控制方法對于非線性系統(tǒng)來說具有較大的進步和發(fā)展。反步法是另一種應(yīng)用較為廣泛和有效的非線性控制設(shè)計，對控制器進行設(shè)計，之后與Lyapunov函數(shù)結(jié)合，使整個系統(tǒng)實現(xiàn)穩(wěn)定控制[7]。為了消除未知非線性動態(tài)引起的困難和挑戰(zhàn)，未知非線性擾動可以通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和模糊系統(tǒng)在線逼近[8]。為了降低系統(tǒng)非線性的影響，可通過徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(RBFNN)對系統(tǒng)的非線性部分進行逼近[9]。文獻[10]針對時滯未知、狀態(tài)不可測、存在外界干擾的不確定非線性系統(tǒng)，提出了一種基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)反步超扭滑?？刂品桨?保證了觀測器和跟蹤誤差快速收斂到原點附近。文獻[11]針對執(zhí)行器故障參數(shù)和模式完全未知的分數(shù)階非線性系統(tǒng)進行自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)反步控制設(shè)計。文獻[12-13]針對不確定多輸入多輸出非線性系統(tǒng)開發(fā)了具有狀態(tài)反饋情況的自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)反步控制。

分析了EELSM磁懸浮平臺控制系統(tǒng)數(shù)學模型與狀態(tài)方程，采用非線性自適應(yīng)控制對EELSM磁懸浮系統(tǒng)所具有的非線性以及不確定性擾動有較強的適應(yīng)性。本文設(shè)計了一種基于徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)反步控制器(RBFNN-ABC)，在自適應(yīng)反步控制中，對于未知的動力學問題，通過使用徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(RBFNN)作為函數(shù)逼近器來解決。其中的外部干擾與不確定性擾動通過自適應(yīng)反步算法來估計。系統(tǒng)的穩(wěn)定性通過Lyapunov函數(shù)方法來證明。將所提出的基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)反步控制器(RBFNN-ABC)的仿真結(jié)果與經(jīng)典比例積分(PI)控制器和自適應(yīng)反步控制器(ABC)的仿真結(jié)果進行了比較。通過MATLAB仿真試驗結(jié)果證明，與經(jīng)典PI控制器和ABC相比，所提出的RBFNN-ABC在處理參數(shù)不確定性和干擾方面具有更加良好的性能。

1 EELSM的結(jié)構(gòu)與運行機理

圖1為EELSM磁懸浮進給平臺結(jié)構(gòu)，整個系統(tǒng)包含多個機構(gòu)。固定平臺主要由定子、光柵尺及導軌構(gòu)成，運動平臺主要由動子及電渦流傳感器組成。

圖1 EELSM磁懸浮平臺結(jié)構(gòu)圖

EELSM的平臺基座下是定子鐵心與勵磁繞組，運動平臺上為動子鐵心和電樞繞組，數(shù)控機床進給平臺與其動子固定連接驅(qū)動平臺運動。

平臺的懸浮由導軌和平臺之間的氣隙磁場產(chǎn)生的麥克斯韋力對動子鐵心的吸引力實現(xiàn)，若想使平臺穩(wěn)定懸浮，可以改變勵磁電流的大小，使氣隙達到所需要的數(shù)值，與平臺的重力相持。EELSM的勵磁繞組可形成勵磁磁場，勵磁磁場和行波磁場產(chǎn)生電磁推力，平臺的水平運動是由電磁推力來推動的，推力大小則通過調(diào)節(jié)q軸電流來改變。

2 EELSM的數(shù)學模型

為了使模型更加簡化，做出如下假設(shè)條件[14-15]：

(1) 不計電機鐵心飽和；

(2) 對磁滯與渦流損耗不予計算；

(3) 電樞繞組中通入三相對稱電流，只考慮基波分量；

(4) 忽略齒槽效應(yīng)的影響。

在d-q軸系下，電壓與磁鏈方程如下。

電壓方程為

(1)

式中：ud、uq分別為電樞繞組d軸、q軸的電壓分量；uf為磁極勵磁的電壓分量；ψd、ψq為電樞繞組d軸、q軸的磁鏈；ψf為勵磁磁極磁鏈分量;v為運動平臺的運動速度；id、iq分別為電樞繞組d軸、q軸的電流分量；if為磁極勵磁的電流分量；rf為磁極勵磁繞組的電阻；rs為電樞繞組的電阻。

磁鏈方程為

(2)

式中：Lmd、Lmq為d軸、q軸的主電感；Lσf為勵磁繞組的漏感；Lσ為電樞繞組的漏感。

勵磁磁場由勵磁繞組通入直流電流產(chǎn)生，其對動子鐵心有吸引力，采用id=0的矢量控制懸浮力計算式如下[16]:

(3)

垂直方向的運動方程：

(4)

式中：m為動子平臺的質(zhì)量；fy為不確定性擾動；K為磁懸浮系數(shù)，K=5.659×10-6；δ為動子平臺實際的懸浮氣隙高度；g為重力加速度；Ld=Lσ+Lmd，Lσ不隨懸浮氣隙高度變化。

將電樞磁場對勵磁磁場產(chǎn)生的影響作為擾動處理。因此，垂直方向總擾動為

(5)

(6)

3 非線性RBFNN-ABC的設(shè)計

設(shè)計一種自適應(yīng)控制方法在線估計系統(tǒng)中的未知參數(shù)，對于系統(tǒng)中的不確定性擾動，使用RBFNN作為函數(shù)逼近器進行逼近，并補償回控制器，以提升系統(tǒng)的性能。

3.1 構(gòu)造虛擬控制變量和誤差變量

根據(jù)式(6)可得系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

(7)

初始懸浮高度為δ0=0.003 m，根據(jù)反步方法構(gòu)造新的誤差變量z1和z2:

z1=x1-δ*

(8)

z2=x2-α1-δ*

(9)

式中：δ*為懸浮高度的參考值，δ*=0.002 5 m；α1為虛擬控制變量。

反步控制設(shè)計第一步，定義Lyapunov函數(shù)為

(10)

對V1求微分可得：

(11)

將虛擬控制變量定義為

α1=-c1z1

(12)

式中：c1為虛擬控制變量系數(shù)，c1>0 。

由式(11)和式(12)可得：

(13)

反步控制設(shè)計的第二步，計算z2的導數(shù)為

(14)

α1的導數(shù)為

(15)

將式(15)代入式(14)中可得：

(16)

定義第二個Lyapunov函數(shù)為

(17)

對V2求微分可得：

(18)

控制律可以設(shè)計為

(19)

式中：c2為設(shè)計參數(shù)，c2>0。

將式(19)代入式(18)可得：

(20)

3.2 RBFNN原理

由于擾動f為未知量，利用RBFNN萬能逼近的特性，來逼近擾動f，將其作為函數(shù)逼近器來使用。圖2為RBFNN結(jié)構(gòu)圖。

圖2 RBFNN結(jié)構(gòu)

網(wǎng)絡(luò)算法為

(21)

式中:h為網(wǎng)絡(luò)的高斯基函數(shù)輸出；x為網(wǎng)絡(luò)的輸入；j為網(wǎng)絡(luò)隱含層第j個節(jié)點；bj為高斯核寬度。

有如下函數(shù)：

f=W*Th(x)+ε

(22)

式中：W*為網(wǎng)絡(luò)的理想權(quán)值；ε為網(wǎng)絡(luò)的逼近誤差，ε≤εN。

(23)

3.3 控制律與參數(shù)自適應(yīng)律

采用RBFNN逼近擾動f，根據(jù)式(19)，此時的控制律為

(24)

式中：η>0 。

設(shè)計第三個李雅普諾夫函數(shù)為

(25)

式中：μ>0 。

對V3求微分可得：

(26)

取自適應(yīng)律為

(27)

(28)

由此可得出，基于RBFNN下的該自適應(yīng)反步控制律，整個閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

4 仿真分析

圖3為EELSM控制系統(tǒng)的仿真框圖。

圖3 EELSM磁懸浮控制系統(tǒng)框圖

傳統(tǒng)的PI控制器用來調(diào)節(jié)系統(tǒng)中勵磁電流，懸浮氣隙高度通過所設(shè)計的非線性RBFNN-ABC控制。在仿真持續(xù)過程中，EELSM的仿真參數(shù)為,極對數(shù)p=3,dq軸電感Ld=Lq=0.018 74 H，電樞電阻rs=1.2 Ω，τ=0.048 m，m=10 kg,Lmd=Lmq=0.095 H，if=5.7 A，g=9.8 m/s2，rf=5 Ω。

c1、c2的變化會影響系統(tǒng)的恢復時間與響應(yīng)速度。當c1、c2選取過小時，系統(tǒng)抗擾能力較差；選取過大時系統(tǒng)不穩(wěn)定。μ對擾動起到魯棒控制的作用，η參數(shù)值不能選取過大，否則會引起系統(tǒng)抖振。選取PI控制器參數(shù)為P=100,I=1 500，選取非線性RBFNN-ABC的基本參數(shù)為c1=100,c2=100,μ=615,η=12。

4.1 EELSM起動性能分析

平臺初始氣隙高度3 mm，起動后，高度減小到目標高度2.5 mm。圖4為空載起動時不同控制器氣隙高度的響應(yīng)曲線。當控制器為PI控制時，約0.1 s可以到達目標氣隙高度；采用ABC控制時，約0.06 s到達2.5 mm；采用RBFNN-ABC控制時，達到穩(wěn)定的時間約0.03 s。觀察圖4中可得三種控制方法均無超調(diào)。從仿真結(jié)果可以看出，RBFNN-ABC控制到達目標氣隙高度時間最短，起動性能比另外兩種控制要更加具有優(yōu)勢。

圖4 起動時磁懸浮高度響應(yīng)曲線

4.2 EELSM抗干擾能力分析

系統(tǒng)穩(wěn)定運行后，在0.3 s時，加入額定負載擾動的20%～30%，并在0.6 s移除。圖5為不同控制器在加入干擾后的氣隙高度響應(yīng)曲線。PI控制系統(tǒng)氣隙高度動態(tài)降落的距離大約0.058 mm,由下降高度恢復至目標高度2.5 mm耗時大約0.192 s。ABC控制系統(tǒng)中，突加階躍負載擾動后，高度降落大約0.025 mm，恢復到目標高度耗時約為0.079 s。RBFNN-ABC控制系統(tǒng)中，加入階躍負載擾動后，高度降落約為0.011 mm,恢復時間約為0.021 s。突加負載擾動后，RBFNN-ABC系統(tǒng)所受影響最小，與PI和ABC系統(tǒng)相比高度下降分別減少了56.9%和81.1%，恢復目標高度的速度分別提高了58.9%和89.1%。由此可以看出RBFNN-ABC控制系統(tǒng)的抗干擾能力明顯強于PI及ABC系統(tǒng)。

圖5 加入負載擾動氣隙高度響應(yīng)曲線

圖6為加入負載擾動后的勵磁電流響應(yīng)曲線。由圖6中可以看出RBFNN-ABC控制的勵磁電流的恢復時間明顯優(yōu)于PI控制以及ABC控制，恢復時間比PI控制提高了85.6%，比ABC控制提高了73.4%。由此可見RBFNN-ABC的抗擾能力是非常強大的。

圖6 突加負載擾動勵磁電流響應(yīng)曲線

4.3 EELSM端部效應(yīng)擾動的抑制能力分析

系統(tǒng)穩(wěn)定運行后，0.3 s時，加入f=15sin(20t)的端部效應(yīng)擾動。圖7為加入端部效應(yīng)擾動后的氣隙高度響應(yīng)曲線。由圖7可以看出，PI控制系統(tǒng)在加入端部擾動后曲線波動較劇烈，有較大的超調(diào)量，抗擾能力弱。ABC控制系統(tǒng)中，波動程度有明顯增強，與PI控制系統(tǒng)相比，ABC控制系統(tǒng)的抗擾能力較強。RBFNN-ABC控制系統(tǒng)中，系統(tǒng)幾乎沒有波動，明顯看出此系統(tǒng)的抗擾能力比前兩種系統(tǒng)要優(yōu)越。

圖7 正弦擾動下氣隙高度響應(yīng)曲線

5 結(jié) 語

為了提高數(shù)控機床進給平臺EELSM磁懸浮系統(tǒng)的性能，提出了一種非線性RBFNN-ABC方法，通過研究得出以下的結(jié)論：

(1) 對EELSM磁懸浮系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)以及運行機理進行了分析，采用id=0的矢量控制對模型進行簡化。將電樞磁場對勵磁磁場產(chǎn)生的影響作為不確定性擾動處理，建立EELSM磁懸浮系統(tǒng)的數(shù)學模型，并推導出磁懸浮力的解析表達式。

(2) 提出非線性RBFNN-ABC方法，構(gòu)造誤差變量及虛擬控制量，并將輸出誤差限制在比較小的范圍之中。設(shè)計了ABC，將RBFNN當作函數(shù)逼近器對不確定性擾動進行逼近，降低了不確定擾動對系統(tǒng)的影響，使系統(tǒng)趨于穩(wěn)定。

(3) 構(gòu)造Lyapunov函數(shù)對系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行了證明，充分證明了系統(tǒng)可漸近收斂至邊界層內(nèi)。仿真結(jié)果證明了非線性RBFNN-ABC控制規(guī)律的有效性。