覃儉

1) (中國科學技術大學,合肥微尺度物質科學國家研究中心,合肥 230026)

2) (中國科學技術大學,中國科學院量子信息與量子科技前沿卓越創(chuàng)新中心,上海 201315)

高斯玻色采樣是實現(xiàn)量子計算優(yōu)勢的主要途徑之一,同時也有望應用于加速稠密子圖、量子化學等問題.然而,實驗中必不可少的噪聲卻可能阻礙高斯玻色采樣的量子優(yōu)勢.此前的研究主要關注于光子損失和光子非全同噪聲.本文通過數(shù)值模擬研究了另一種噪聲—光源相位噪聲對高斯玻色采樣的影響.采用蒙特卡羅方法近似計算相位噪聲下高斯玻色采樣的輸出概率分布,發(fā)現(xiàn)隨著探測光子數(shù)的增加,相位噪聲帶來的誤差逐漸加大.同時,相位噪聲會導致采樣出大概率樣本的能力,即HOG (heavy output generation)值顯著降低.最后發(fā)現(xiàn),在輸入平均光子數(shù)相同時,有光子損失的高斯玻色采樣相比無損失情形對于相位噪聲有更大的容忍性.本文的研究有助于大規(guī)模高斯玻色采樣中更好地抑制相位噪聲.

1 引言

玻色采樣是實現(xiàn)量子計算優(yōu)勢的主要途徑之一[1],這里的量子計算優(yōu)勢,指在某個明確的計算任務上,量子計算展現(xiàn)出超過任何經典計算的能力.玻色采樣由Aaronson 和Arkhipov[2]于2011 年提出,其計算任務為:n個全同單光子輸入到一個隨機的m模式線性光學干涉網絡,對網絡輸出光子數(shù)分布做采樣.和通用量子計算相比,玻色采樣所需的資源要少得多,因此被提出以后受到了廣泛關注.近年來,實驗上3—7 光子的小規(guī)模玻色采樣[3-9]和十幾光子的中等規(guī)模玻色采樣[10]陸續(xù)被實現(xiàn);理論上,在模型的實驗驗證[11,12]、噪聲分析[13-16]以及模型變種[13,17-19]方面也取得了許多重要進展.

高斯玻色采樣,即將玻色采樣輸入態(tài)的單光子替換為高斯態(tài),通常是單模(雙模)壓縮真空態(tài),是2017 年提出的一個重要的玻色采樣變種模型[18].由于實驗上壓縮真空態(tài)相比單光子態(tài)要更易于制備,因此高斯玻色采樣有望達到更大的規(guī)模,從而實現(xiàn)量子優(yōu)勢.2020 年,實驗上首次基于高斯玻色采樣實現(xiàn)量子計算優(yōu)勢[20],最多探測到了76 個光子響應.隨后,更高量子優(yōu)勢的高斯玻色采樣也相繼被實驗實現(xiàn)[21,22].

盡管大規(guī)模高斯玻色采樣已經實現(xiàn),然而,隨著經典模擬算法的不斷進步,其所宣稱的量子優(yōu)勢有可能受到挑戰(zhàn)[23].此外,實驗中不可避免的各種噪聲,也可以被經典算法加以利用來減少甚至消除量子優(yōu)勢[16,24].因此,研究噪聲對玻色采樣的影響具有重要意義.在原始的單光子玻色采樣中,最主要的噪聲就是光子損失和光子非全同,它們對于采樣復雜度的影響已經有了許多深入的研究[13-16].對于高斯玻色采樣,輸入的壓縮態(tài)是不同光子數(shù)態(tài)的相干疊加,因此不同入口壓縮態(tài)之間的相位需要保持恒定,這就帶來了單光子玻色采樣所沒有的一種新噪聲源,即輸入光源的相位抖動噪聲.

輸入光源相位不同將導致高斯玻色采樣輸出概率分布的不同,這在文獻[21]中已經得到了證實.然而,就我們所知,關于光源相位抖動對高斯玻色采樣的更深入的影響,還未曾報道.本文從多個角度較為系統(tǒng)地研究了相位噪聲下的高斯玻色采樣.通過數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn),樣本光子數(shù)的增加會導致輸出概率分布和理想分布的偏離加大,同時減小產生重要樣本的能力,即減小HOG (heavy output generation)值.此外,相同輸入平均光子數(shù)下,有光子損失的高斯玻色采樣相比無損失情形更能抵抗光源相位噪聲.

2 模 型

2.1 理論模型

單模壓縮真空態(tài)|r,?〉的相位?由于環(huán)境噪聲等原因產生抖動,該相位抖動通常服從高斯分布[21],設為N(μ,σ2),不妨令μ=0,則相位噪聲下的單模壓縮態(tài)由|r,0〉 變成如下混態(tài):

由直接的計算可知,無論σ多大,ρ(r,σ) 仍然是一個非經典態(tài)(無法表示成相干態(tài)的概率混合的量子態(tài)稱為非經典態(tài)[25]).這暗示著,經典算法嚴格模擬相位噪聲下的高斯玻色采樣,或許也是一個困難問題.

2.2 計算模擬

于是,對于具體的r和σ,可以通過數(shù)值積分得到保真度F(r,σ) 的近似值.當輸入K個單模壓縮態(tài)時,總輸入態(tài)ρin(r,σ;K) 和理想態(tài)的總保真度為Ft=F(r,σ)K-1.當輸入壓縮態(tài)存在光子損失時,首先計算無光子損失情形理想態(tài)和噪聲態(tài)在截斷的Fock 空間下的密度矩陣,再由文獻[26]中的方法求得經過損耗后兩者的密度矩陣,最后算出有光子損失下理想態(tài)和相位噪聲態(tài)的保真度.

圖1 不同相位噪聲下單模壓縮真空態(tài)的Wigner 函數(shù)Fig.1.Wigner function of single-mode squeezed vacuum state under different phase noise.

為了進一步定量分析相位噪聲對高斯玻色采樣輸出概率分布的影響,需要計算相位噪聲下的輸出概率分布.當輸出態(tài)是m模高斯態(tài)時,其輸出概率分布可通過計算矩陣函數(shù)Hafnian 得到[18].具體地,設采樣結果為S=|s1,s2,···,sm〉,則產生該結果的概率為

其中Σ是m模高斯態(tài)的HusimiQ表示下的協(xié)方差矩陣,矩陣函數(shù) H af(·) 是Hafnian,矩陣A滿足:

當輸入的K個單模壓縮真空態(tài)的相位為?=(0,?1,?2,···,?K-1) 時,記采樣到S的概率為p(S;r,?),則ρin(r,σ;K) 輸入下采樣得到結果S的 概率為

ξi=(0,ξi,1,···,ξi,K-1)ξi,j N(0,σ2)嚴格計算pnoise(S) 比較困難,因此本文采用蒙特卡羅方法近似求解(6)式中的高維積分.先產生Ns個隨機變量,其中 為獨立同分布的隨機變量,服從高斯分布,則有:

在本文的數(shù)值實驗中,輸入單模壓縮態(tài)個數(shù)為K=5,壓 縮量為r=0.88,對應單模平均光子數(shù)=1,隨機線性干涉網絡的模式數(shù)為m=9,Ns通常取為300 或者以上來獲得較小的誤差,實驗中的相對誤差一般在10%以下.

3 結果與討論

首先考慮只有相位噪聲,而沒有其他噪聲(如光子損失、光子非全同等)的情形.相位噪聲壓縮態(tài)和理想態(tài)之間的保真度可以度量出兩者之間的相似度,從而能夠部分反映出相位噪聲下高斯玻色采樣輸出概率分布Pnoise和理想分布Pideal之間的偏離.兩個分布P和Q之間的偏離程度可以用海林格距離(Hellinger distance,HLD)來衡量,定義為其 中p i(qi) 為分布P(Q) 中出現(xiàn)結果i的概率.海林格距離為0 時,兩個分布完全相同.通過保真度可以得到海林格距離的上界:

其中,P ρ1,Pρ2分別為密度矩陣ρ1和ρ2在任一測量基矢下的概率分布.因此,保真度越高,則Pnoise和Pideal的偏離越小.

單個相位噪聲壓縮態(tài)和理想態(tài)之間的保真度隨噪聲大小的變化如圖2(a)所示,圖中給出了三種不同的單模平均光子數(shù)的結果.可以看出,一方面,隨著相位噪聲的增加,保真度單調下降,最終會收斂于某一定值,該定值對應于相位完全隨機的壓縮態(tài)和理想態(tài)之間的保真度.另一方面,σ相同時,平均光子數(shù)更大時保真度更低,這表明壓縮量越大,對相位噪聲越敏感.當輸入K個相位噪聲壓縮態(tài)時,總保真度為F=F(r,σ)K-1.因此,輸入多個壓縮態(tài)時,保真度對于相位噪聲的敏感度遠高于單個壓縮態(tài).圖2(b)給出了K=100 時不同σ和下的保真度,若=1,達到0.9 的保真度要求噪聲σ≤0.032 .該結果表明,對于大規(guī)模高斯玻色采樣而言,足夠精確的光源相位鎖定是必不可少的.

圖2 相位噪聲壓縮態(tài)和理想態(tài)的保真度 (a)不同單模平均光子數(shù) 下保真度隨噪聲大小σ 的變化;(b)輸入壓縮態(tài)個數(shù)K=100 時,總保真度隨 和σ 的變化Fig.2.Fidelity between squeezed state under phase noise and the ideal state: (a) Fidelity as a function of phase noise level σ under different single-mode mean photon number ;(b) when the number of input squeezed states is K=100,the total fidelity as a function of and σ.

接下來進一步更細致地研究相位噪聲對高斯玻色采樣輸出概率分布的影響.考慮輸入壓縮態(tài)個數(shù)K=5,單個模式平均光子數(shù)=1,模式數(shù)m=9 的情形.理論上輸出態(tài)的希爾伯特空間是無窮維的,受限于算力本文只考慮總探測光子數(shù)k≤8 的子空間.圖3(a)給出了三種不同相位噪聲水平下噪聲輸出分布與理想分布的海林格距離,這里將總的輸出分布劃分為了不同光子數(shù)構成的子空間,在無光子損耗時k只能是偶數(shù).可以看出,σ一定時,海林格距離隨著探測光子數(shù)的增加而增加,表明光子數(shù)更多的子空間對相位噪聲更敏感.物理上,對光子數(shù)為k的樣本,其樣本概率幅由兩部分組成,即由隨機干涉儀引起的多條路徑的疊加和源于K個輸入態(tài)的不同輸入光子數(shù)態(tài)的疊加.前者和光源相位無關,而后者會受光源相位影響.于是,光子數(shù)越多的樣本,其可能的輸入光子數(shù)配置也越多,其樣本概率也就越容易受相位噪聲的影響.此外,當光源相位產生?的抖動時,其n光子分量的相位抖動被放大為n ?,所以光子數(shù)越多的樣本,感受到的相位抖動越大.

圖3 相位噪聲對輸出概率分布的影響 (a)不同相位噪聲下,噪聲輸出分布和理想分布的海林格距離隨探測光子數(shù)的變化,圖中每個點代表10 個隨機干涉網絡結果的均值;(b)光子數(shù) k=8 時,典型的相位噪聲下樣本概率和理想樣本概率(藍色曲線)的相對誤差的對數(shù)曲線(淺紅色),紅色曲線為淺紅色曲線的步長為15 的移動平均值,相位噪聲 σ=0.8 ;(c) Δ HOG 隨相位噪聲大小的變化;圖(a)—(c)采用的參數(shù)為輸入壓縮態(tài)個數(shù) K=5,單模平均光子數(shù) =1,模式數(shù) m=9Fig.3.Effect of phase noise on output probability distribution: (a) Hellinger distance of phase noisy distribution and ideal distribution as a function of total detected photon number k under different noise level,each point is the mean result of 10 random choosed interferometer;(b) logarithmic curve (light red) of relative error of noisy sample probability and ideal sample probability (blue curve),the red curve is the 15-point moving mean of light red curve,phase noise σ=0.8 ;(c) Δ HOG as a function of phase noise.In panels (a)-(c),the number of input squeezed states is K=5,the single-mode mean photon number is =1,the mode number is m=9 .

圖3(b)給出了σ=0.8 時,噪聲樣本概率和理想采樣概率的相對誤差是如何分布的.在探測光子數(shù)k=8 的子空間下將所有12870 個輸出樣本按照理想采樣下的樣本概率(圖中藍色線)大小排序,圖中淺紅色曲線為噪聲樣本概率的相對誤差的對數(shù),紅色曲線為先對噪聲樣本概率誤差取步長為15 的移動平均,再取對數(shù).可以看出,相對誤差表現(xiàn)為先下降然后略微上升的趨勢.換言之,理想樣本概率取極小或者極大值時,相對誤差更大.這個結果是意料之中的,因為理想樣本概率的極小值主要來源于全同光子多條干涉路徑的相干相消,而光源相位抖動會破壞相干相消條件,使樣本概率發(fā)生顯著偏離.類似地,理想樣本概率的極大值也有一部分源于多條干涉路徑的相干相長,這部分對相位噪聲也很敏感.盡管圖3(b)中只給出了k=8 和噪聲為σ=0.8 的結果,對于其他的光子數(shù)子空間和噪聲水平,噪聲樣本概率誤差的變化趨勢是類似的.

海林格距離描述的是兩個分布間的總體偏離,有時“產生重要性樣本的能力”,即分布的HOG 是我們更為關心的.噪聲分布Q相對于理想分布P的HOG 定義為其中pi(qi) 為分布P(Q) 中出現(xiàn)結果i的概率.由定義可知HOG 越大,出現(xiàn)大概率樣本(稱為重要性樣本)的可能性越高.HOG 不僅是一種用于實驗高斯玻色采樣中排除其他仿冒樣本的驗證方法[20],同時在一些基于高斯玻色采樣的實際應用中,如求解稠密子圖、分子拼接問題等[27,28],足夠高的HOG 是實現(xiàn)量子加速的關鍵.因此,研究相位噪聲對HOG 的影響是很有意義的.定義 ΔHOG=HOG(Q,P)-HOG(P,P),則 Δ HOG 越小說明噪聲分布產生大概率樣本的能力越弱.圖3(c)給出了不同光子數(shù)子空間下 Δ HOG 隨相位噪聲水平的變化,可以看出,Δ HOG 始終小于0,說明相位噪聲只會減小HOG.同時,隨著相位噪聲的增加,ΔHOG逐漸下降,表明相位噪聲對HOG 的影響逐漸加大.此外,光子數(shù)越多的子空間,HOG 下降得越快,再一次印證了光子數(shù)越多的樣本對相位噪聲越敏感.

前面分析了無光子損耗情況下光源相位噪聲對高斯玻色采樣的影響,而實驗中光子損失是不可避免的.因此,有必要結合光子損失做進一步的研究.為了簡單起見,這里只考慮均勻損耗情形,此時光源制備中的損耗、線性光學干涉網絡的損耗以及探測器的損耗可以等效于一個總的損耗(指光子透過率)η,不妨把該損耗計入光源損耗中.由于高斯玻色采樣的計算復雜度主要取決于最終探測到的平均光子數(shù),因此我們想要考察在輸入相同的平均光子數(shù)(損耗后的)時,不同損耗大小的輸入態(tài)對于相位噪聲的容忍度.首先分析在保持相同的單模平均光子數(shù)=ηsinh2r=1 情形下,不同損耗大小時相位噪聲壓縮態(tài)和理想態(tài)(此時理想態(tài)為有損耗的單模壓縮真空態(tài))的保真度,結果如圖4(a)所示.可以看出,在相同的σ和下,損耗越大,保真度反而越高,表明有光子損失的壓縮態(tài)相比于無損耗情形具有更好的抗相位噪聲能力.可以從相空間中來解釋這一點,產生相位偏移?對應于相空間中對Wigner 函數(shù)做角度為?的旋轉.對于壓縮真空態(tài)而言,旋轉相同的角度時,壓縮量越大,產生的偏離也越大.而在相同的平均光子數(shù)下,有損耗的壓縮態(tài)相比無損耗情形,其實際壓縮量會變小,因此更能夠抵抗相位噪聲.下面通過計算來說明這一點,設無損耗和有損耗的壓縮量分別為r1和r2,損耗為η,由 于相同所以有易知x方向的方差分別為化簡得Δ2-Δ1=2 sinh(r2-r1)×sinhr1/sinhr2＞0,說明有損耗時實際的壓縮更小.

由于有損耗時相位噪聲壓縮態(tài)和理想態(tài)的保真度更大了,可以合理推測最后噪聲輸出概率分布和理想分布的距離會更近.如圖4(b)所示,本文對比了相位噪聲σ=0.8 時,總損耗η=0.7 和無損耗時的噪聲分布和理想分布的海林格距離.可以看出,有損耗時海林格距離顯著降低了,印證了我們的猜測.

圖4 光子損失的影響,保持輸入平均光子 數(shù)=1 不 變(a)不同光子損耗η 下保真度和相位噪聲大小的關系;(b)在相位噪聲 σ=0.8 時,比 較有光子損失 η=0.7 情 形(藍色點)和無光子損失(紅色點)下噪聲分布和理想分布的海林格距離,可以看出有損耗時海林格距離顯著降低了Fig.4.The effect of photon loss.Keeping the mean photon number =1 unchanged: (a) Relationship between fidelity and phase noise under different photon losses;(b) for σ=0.8,comparing the Hellinger distance of phase noisy distribution and the ideal distribution with photon loss η=0.7 (blue point) and without photon loss (red point).The Hellinger distance is significantly lower with the photon loss case.

4 結論

本文系統(tǒng)研究了光源相位噪聲對高斯玻色采樣的影響.光源相位噪聲會導致輸入態(tài)由高斯態(tài)變成非高斯的混態(tài)系綜.在給定噪聲水平下,混態(tài)系綜和無噪聲理想態(tài)的保真度隨著輸入平均光子數(shù)的增加單調下降.同時,發(fā)現(xiàn)相位噪聲下輸出概率分布和理想分布的偏離隨著探測光子數(shù)的增加而增大,表明光子數(shù)更高(對應的采樣復雜度也更高)的樣本對相位噪聲更敏感.此外,相位噪聲還將導致輸出分布產生重要樣本的能力,即HOG 值下降,這會影響高斯玻色采樣在求解稠密子圖等問題中的量子加速.最后,發(fā)現(xiàn)當輸入平均光子數(shù)相同時,有光子損失的高斯玻色采樣相比無損失情形對相位噪聲具有更大的容忍性.本文結果對以后實現(xiàn)更低噪聲的大規(guī)模高斯玻色采樣,以及高斯玻色采樣的實際應用具有一定意義.

感謝中國科學技術大學陸朝陽教授、鐘翰森博士、鄧宇皓、彭禮超和尤祥的有益討論.