潘營利

(渭南師范學(xué)院物理與電氣工程學(xué)院，陜西渭南714000)

玻色—愛因斯坦凝聚現(xiàn)象是玻色統(tǒng)計(jì)中的一種重要現(xiàn)象，許多文獻(xiàn)［1－4］都從不同角度對(duì)此做了闡述，但對(duì)其量子相變過程則討論得較少.本文以理想玻色—愛因斯坦氣體為例，從量子統(tǒng)計(jì)出發(fā)，對(duì)量子相變過程中的幾個(gè)問題作以全面探討，旨在使人們對(duì)此有一個(gè)全面的認(rèn)識(shí).

1 相變點(diǎn)方程及相變點(diǎn)曲線

對(duì)于理想玻色—愛因斯坦氣體，由玻色統(tǒng)計(jì)有［5］：

此即為用P，V表示的相變點(diǎn)方程，由該方程可得相變點(diǎn)曲線如圖1所示.

圖1 玻色—愛因斯坦氣體相變點(diǎn)曲線

應(yīng)該注意，玻色—愛因斯坦氣體出現(xiàn)凝聚相意味著不穩(wěn)定發(fā)生，這一點(diǎn)利用穩(wěn)定性判據(jù)即可看出［6］.在T＞TC時(shí)，凝聚相的粒子數(shù)為零，故

在T，V不變的條件下把(8)式對(duì)化學(xué)勢(shì)μ求導(dǎo)數(shù)，注意到μ=－ kTα，則有

這是臨界態(tài)的條件.由穩(wěn)定性判據(jù)知，若這個(gè)態(tài)是穩(wěn)定的，還要求=0.由于求導(dǎo)是在V不變下進(jìn)行的，故求可換為求.同理(9) 式可寫為

因此，這個(gè)臨界態(tài)是不穩(wěn)定的，要發(fā)生相的分離.

2 等溫線方程及等溫線

對(duì)于玻色—愛因斯坦氣體，當(dāng)T ＞TC時(shí)，μ≠0，α≠0;當(dāng)T ＜TC時(shí)，μ=0，α=0，所以，其等溫線方程在T＞TC和T＜TC時(shí)會(huì)表現(xiàn)出不同的形式.

2.1 T ＞ TC時(shí)

此時(shí)壓強(qiáng)和粒子數(shù)滿足關(guān)系式(2)和(3)，(3)/(2)得：

(14)式即為T＞TC時(shí)玻色—愛因斯坦氣體的物態(tài)方程，當(dāng)T一定時(shí)，即為T＞TC時(shí)的等溫線方程，其α值可由(2)確定，且α僅依賴于溫度T.

2.2 T ＜ TC時(shí)

此時(shí)，α→0，由于凝聚現(xiàn)象的發(fā)生，(2)式不再成立，其(3)式變?yōu)椋?/p>

(15)式即為T＜TC時(shí)玻色—愛因斯坦氣體的物態(tài)方程，可以看出，此壓強(qiáng)只依賴于溫度，與體積無關(guān)，并隨T→0而趨于零.當(dāng)T一定時(shí)，即為T＜TC時(shí)的等溫線方程.可以證明，當(dāng)T=TC時(shí)，(14)式和(15)式趨于一致.

綜合以上討論可得玻色—愛因斯坦氣體的等溫線方程為：

其等溫線如圖2所示.可見，等溫線在T=TC處是連續(xù)的，是一條連續(xù)的曲線.

圖2 玻色—愛因斯坦氣體等溫線(實(shí)線為等溫線，虛線為相變點(diǎn)曲線)

3 兩相平衡共存曲線方程和兩相平衡共存曲線

兩相平衡共存時(shí)，有μ1(T，P)= μ2(T，P)，從理論上講，由 μ1(T，P)= μ2(T，P) 可給出兩相平衡共存曲線.由于凝聚相的μ2(T，P)=0，故由兩相平衡共存條件得：

同理，由 S=k(lnΞ + αN+ βU) 及(1)、(2)、(17)、(18)式可得摩爾熵為：

(21)式即為兩相平衡共存曲線方程，由于兩相共存時(shí)T≤TC，所以，兩相平衡共存曲線有一個(gè)終點(diǎn);同時(shí)可以看出，利用量子統(tǒng)計(jì)理論可以給出兩相平衡共存曲線所滿足的方程.由兩相平衡共存曲線方程可給出兩相平衡共存曲線如圖3所示.

圖3 兩相平衡共存曲線

4 克勞修斯—克拉伯龍方程

克勞修斯—克拉伯龍方程描述的是兩相平衡共存曲線的斜率所滿足的方程.由(21)式可得：

(22)式即為玻色—愛因斯坦氣體的克勞修斯—克拉伯龍方程.對(duì)于該方程，也可由兩相平衡共存條件來得到.由(17) 式得：dμ1=0，而 dμ1= － s1dT+ ν1dP，所以

將(20)式代入(23)式即可得(22)式.

值得注意的是，這里所說的相變是在推廣的意義上來理解的，因?yàn)檫@里的相變不是發(fā)生在真實(shí)空間，而是發(fā)生在動(dòng)量空間里，因此，有些概念的理解不能完全和真實(shí)空間的相變過程一樣理解.

以上我們對(duì)玻色—愛因斯坦凝聚現(xiàn)象中的幾個(gè)問題作了全面的說明，了解這些對(duì)于全面掌握玻色—愛因斯坦凝聚現(xiàn)象是非常有用的.

［1］余學(xué)才，莫影.勢(shì)場(chǎng)中玻色—愛因斯坦凝聚的臨界溫度［J］.物理學(xué)報(bào)，2004，53(12)：4075－4080.

［2］李紅，林振權(quán).重力場(chǎng)中相對(duì)論玻色氣體的凝聚［J］.曲阜師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2011，37(3)：58－61.

［3］余學(xué)才，葉玉堂，程琳.勢(shì)阱中玻色—愛因斯坦凝聚氣體的勢(shì)場(chǎng)有效性和粒子數(shù)極限判據(jù)［J］.物理學(xué)報(bào)，2006，55(2)：551－554.

［4］劉澤專，楊志安.噪聲對(duì)雙勢(shì)阱玻色—愛因斯坦凝聚體系自俘獲現(xiàn)象的影響［J］.物理學(xué)報(bào)，2007，56(3)：1245－1251.

［5］汪志誠.熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理［M］.第3版.北京：高等教育出版社，2003.293.

［6］龔昌德.熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理學(xué)［M］.北京：人民教育出版社，1982.241，243.

［7］［美］L.E.雷克.統(tǒng)計(jì)物理現(xiàn)代教程［M］.北京：北京大學(xué)出版社，1983.291，338.