馮東榆 莊鴻新

2023年10月27日，第十屆“新課堂·新教師”海峽兩岸基礎(chǔ)教育交流研討活動(dòng)在福建省石獅市舉行。福州市鼓樓區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校葉育新老師為與會(huì)代表展示人教版五上“數(shù)學(xué)廣角——植樹問題”的教學(xué)。

教學(xué)片段一：化繁為簡(jiǎn)，自主生成

課件展示校園植樹情境。

有一條小路長(zhǎng)200米，在小路一邊每間隔5米種一棵樹，一共要種幾棵樹？

師：請(qǐng)你猜一猜，一共可以種幾棵樹？

生反饋：40棵，41棵。

師：我在其他班上課的時(shí)候還有同學(xué)說種了39棵，先來說說是怎么得到種40棵樹的想法呢？

生：小路長(zhǎng)200米，每隔5米種一棵樹，一共可以種40棵，小路的終點(diǎn)不種樹，就是40棵樹。

師：40棵樹是怎么得到的呢？

生：200除以5等于40。

師：小路每隔5米種一棵樹，5米是樹間距，全長(zhǎng)200米除以間距5米等于40，40表示什么意思呢？

生：40表示樹的數(shù)量。

師：每隔5米種一棵樹，全長(zhǎng)200米除以間距5米等于40，表示有40個(gè)間隔，40是間隔數(shù)，而我們要求的是樹的棵數(shù)，這個(gè)問題需要我們繼續(xù)研究。同樣是在200米的小路上種樹，為什么種樹的棵數(shù)不相同呢？

生：他們種樹的情況不一樣，41棵是路的起點(diǎn)和終點(diǎn)都種樹了，40棵是只有起點(diǎn)或者終點(diǎn)種樹。

師：在小路的一邊植樹有幾種情況呢？

生：有4種情況，第一種是小路的起點(diǎn)植樹，終點(diǎn)不植樹；第二種是小路的終點(diǎn)植樹，起點(diǎn)不植樹；第三種是小路的起點(diǎn)和終點(diǎn)都植樹；還有一種是小路的起點(diǎn)和終點(diǎn)都不植樹。

師：還有同學(xué)有不同意見嗎？來說說你的想法。

生：我覺得應(yīng)該只有三種不同的植樹情況，因?yàn)樾÷返钠瘘c(diǎn)植樹、終點(diǎn)不植樹和在小路的終點(diǎn)植樹、起點(diǎn)不植樹這兩種情況是一樣的，只能算一種。

師：說得很精彩，植樹的方式是不一樣的，在路的起點(diǎn)植樹、終點(diǎn)不植樹和在路的終點(diǎn)植樹、起點(diǎn)不植樹這兩種情況是一樣的，屬于只種一端；這條路的起點(diǎn)和終點(diǎn)都植樹，屬于兩端都種；這條路的起點(diǎn)和終點(diǎn)都不植樹，屬于兩端都不種。（課件圖略）

【賞析】葉老師通過在具體的現(xiàn)實(shí)生活情境中抽象出開放性的數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)地去“猜一猜”，學(xué)生基于已有的“包含除”知識(shí)基礎(chǔ)和實(shí)際生活經(jīng)驗(yàn)，在思考、分析、交流中由淺入深地探究植樹問題幾種不同的植樹情況。整個(gè)過程中，葉老師沒有刻意引導(dǎo)學(xué)生思考“間隔、間隔數(shù)和棵數(shù)”之間的關(guān)系，讓學(xué)生對(duì)已有的經(jīng)驗(yàn)性理解進(jìn)行改造和提煉，獲得了對(duì)植樹問題不同情況的概念性理解。

教學(xué)片段二：自主探究，建構(gòu)模型

葉老師展示學(xué)習(xí)單，布置學(xué)習(xí)小組分別對(duì)三種情況進(jìn)行探究。

活動(dòng)要求：

1.先畫一畫，選擇一條全長(zhǎng)（10米、15米、20米、25米……）的小路畫出示意圖。

2.再填一填，尋找其中的規(guī)律。

3.想一想，互相說一說。

①我發(fā)現(xiàn)，在（ ）情況下，植樹棵數(shù)可以這么求：植樹棵樹＝ ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

②你能說說這是為什么嗎？（可借助剛才的畫圖說明道理，和周邊同學(xué)先互相說一說）

學(xué)生進(jìn)行小組活動(dòng)，教師巡視指導(dǎo)。

第四小組學(xué)生匯報(bào)。

生：我們組選擇全長(zhǎng)20米的小路進(jìn)行畫圖探究只種一端的情況，它可能是起點(diǎn)種，終點(diǎn)不種；也可能是起點(diǎn)不種，終點(diǎn)種。

師：你們有什么發(fā)現(xiàn)呢？借助你畫的圖來說一說。

生：從圖1中，我們可以看到，20米長(zhǎng)的小路每隔5米種一棵樹，20÷5=4（個(gè)），有4個(gè)間隔，只種一端的情況下，20米長(zhǎng)的小路種4棵樹。

師：20÷5=4（個(gè)），既然是4個(gè)間隔，為什么是種了4棵樹呢？能結(jié)合圖說清楚你的想法嗎？

生：這種情況是只種一端，我們可以終點(diǎn)種、起點(diǎn)不種，在圖中就是一個(gè)間隔種了一棵樹，一個(gè)間隔又種了一棵樹，一共是4個(gè)間隔，就種了4棵樹。

師：20米長(zhǎng)的小路探究完了，長(zhǎng)10米、15米、25米的小路在只種一端的這種情況下是怎樣的呢？

生：在表格中，全長(zhǎng)10米的小路，10÷5=2（個(gè)），有2個(gè)間隔，因?yàn)橹环N一端，植樹棵數(shù)是2棵；全長(zhǎng)15米的小路，15÷5=3（個(gè)），有3個(gè)間隔，植樹棵數(shù)也是3棵；最后全長(zhǎng)25米的小路，25÷5=5（個(gè)），有5個(gè)間隔，植樹棵數(shù)也是5棵。（表格略）

師：你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)盡管小路的長(zhǎng)度不一樣，但是在只種一端的情況下，間隔數(shù)都等于樹的棵數(shù)。

師：為什么“間隔數(shù)=樹的棵數(shù)”，你能進(jìn)一步解釋一下嗎？

生（結(jié)合圖示說明，圖略）：只種一端，我們可以先看起點(diǎn)種、終點(diǎn)不種的情況，在圖中，一棵樹對(duì)應(yīng)著一個(gè)間隔，一棵樹對(duì)應(yīng)著一個(gè)間隔……最后每棵樹都對(duì)應(yīng)著一個(gè)間隔，所以間隔數(shù)=樹的棵數(shù)。

師：你的想法真精彩，原來在只種一端的情況下，每個(gè)間隔都對(duì)應(yīng)著一棵樹，間隔數(shù)和棵數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的，那植樹棵數(shù)怎么求呢？

生：間隔數(shù)=全長(zhǎng)÷間距，樹的棵數(shù)=全長(zhǎng)÷間距。

【賞析】雖然植樹問題的三種情況各有不同，但本質(zhì)是一樣的，教學(xué)時(shí)都是引導(dǎo)學(xué)生通過“一一對(duì)應(yīng)”理解間隔數(shù)和棵數(shù)之間的關(guān)系，從而建立數(shù)學(xué)模型。在上述片段中，葉老師給予了學(xué)生充足的時(shí)間以小組合作探究的形式對(duì)植樹問題中的只種一端情況展開學(xué)習(xí)。學(xué)生用畫線段關(guān)系圖的方式從簡(jiǎn)單的問題開始探究，充分理解間隔數(shù)與棵數(shù)之間的關(guān)系。學(xué)生借助直觀的表格探索“只種一端”的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)間隔數(shù)和樹的棵數(shù)相等的關(guān)系，再次理解一個(gè)間隔對(duì)應(yīng)著一棵樹，從而建立起只種一端情況下的數(shù)學(xué)模型，就此向?qū)W生滲透“一一對(duì)應(yīng)”的數(shù)學(xué)思想。

教學(xué)片段三：模型識(shí)別，遷移類推

師：原來植樹當(dāng)中還有那么多的規(guī)律，現(xiàn)在就讓我們帶著規(guī)律去解決問題吧。（習(xí)題略）

師：這道題屬于我們今天學(xué)習(xí)的植樹問題三個(gè)類型中的哪一類？你覺得題目中哪些地方需要注意？自己動(dòng)手算一下。

師：在植樹問題中，一定要是“樹”嗎？除了“樹”，還能換成別的事物嗎？

教師出示圖片：福州地鐵一號(hào)線，有紐扣的襯衫，整齊排列的禮炮與士兵。

師：你能發(fā)現(xiàn)這里面有植樹問題嗎？把什么看作是樹？

生：地鐵站可以看作樹，紐扣可以看作樹，禮炮也可以看作樹。

【賞析】在習(xí)題環(huán)節(jié)，葉老師通過引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)知識(shí)進(jìn)行應(yīng)用、小結(jié)、發(fā)散，解決教材例題1至3，以及練習(xí)中的習(xí)題，加強(qiáng)對(duì)植樹問題模型的概念性理解，并以點(diǎn)到面拓展應(yīng)用。本課尾聲，葉老師提出“在植樹問題中，一定要是‘樹嗎”，在師生的精彩問答中激活學(xué)生的發(fā)散思維，順勢(shì)豐富植樹模型內(nèi)涵，以“樹”為支點(diǎn)，巧妙激起學(xué)生對(duì)“間隔數(shù)”類型問題的研究興趣。

［作者單位：廣東省深圳市寶安小學(xué)（集團(tuán)）羅租小學(xué) 廣東省深圳市新安中學(xué)（集團(tuán)）外國語學(xué)校 責(zé)任編輯：王彬］